1、 导数备课资料一.高二部分知识点归纳导数的概念及运算 导数与函数的单调性 导数与函数的极值、最值（1）切线方程一求切线方程类型一：在某点求切线类型二：过某点求切线二公切线问题 两曲线相切于一点 类型一：两曲线相切于一点类型二：直线与两曲线相切于两点（2）数极值最值问题1. 可导函数的极值：如果函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f(a)=0；而且在点x=a附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，我们就把a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.如果函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f(b)=0；而且在
2、点x=b附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，我们就把b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值.注意：. 可导函数y=f（x）在点x0取得极值的充要条件是f(x0)=0，且在点x0左侧和右侧，f(x)异号 . 导数为0的点不一定是极值点，比如y=x3即导数为0的点是该点为极值点的必要条件，而不是充分条件。 .若极值点处的导数存在，则一定为0 2. 求可导函数极值的步骤：.确定函数的定义域求导f(x)求方程f(x)=0的根把定义域划分为部分区间，并列成表格，检查f(x)在方程根左右的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值。（3）
3、零点问题（4）参数范围问题（5）恒成立问题中的整数问题题型整理（1）切线方程一求切线方程类型一：在某点求切线已知为偶函数，当时，则曲线在点处的切线方程是_类型二：过某点求切线（2）已知点在函数的图象上，则过点的曲线的切线方程是_。公切线问题 两曲线相切于一点 类型一：两曲线相切于一点类型二：直线与两曲线相切于两点例题：（1）若直线ykx+b是曲线ylnx+2的切线，也是曲线yex的切线，则b（）A0B1C0或1D0或1（2）导数与函数的极值(1)已知函数的解析式求极值（2019江苏苏州市高二期末（理）已知函数，若在处取得极小值，则实数的值为_.(2) 根据极值点和极值求参数（2019江苏苏州市
4、高二期末（文）已知函数在x1处取得极大值，则实数a的取值范围是_(3) 根据极值个数求参数范围（3）零点问题题型一：零点存在性定理直接应用题型二：零点存在性定理与函数单调性题型三：零点存在性定理与参数范围（4）参数范围问题考点一 已知函数的单调性求参数的取值范围【典型例题】【例1】已知函数.(1)若,求曲线在点处的切线方程;(2)若在R上单调递增,求实数的取值范围.【方法归纳 提炼素养】利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路：(1)由函数在区间a,b上单调递增(减)可知f(x) 0(f(x)0)在区间a,b上恒成立列出不等式.(2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题.(3)对等号单独
5、检验,检验参数的取值能否使f(x)在整个区间恒等于0,若f(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点处有f(x)=0,则参数可取这个值.考点二 已知函数的极值点情况,求参数的值或取值范围【典型例题】【例2】设函数.（1）若是的极大值点，求的取值范围；（2）略.【方法归纳 提炼素养】掌握已知函数极值点或极值求参数的2个要领：(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解(2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.考点三 已知不等式恒成立,求参数的取值范围【必备知识】不等式恒成立问题中的常用结论(1)恒
6、成立，(2)恒成立，(3)恒成立,构造，则，(4).【典型例题】【例3】已知函数.(1)当时，求函数的图像在点处的切线方程.(2)若对于任意，恒成立，求实数a的取值范围.【方法归纳 提炼素养】不等式恒成立问题解题策略：（分离参数法）：若f(x)a或g(x)a恒成立,只需满足f(x)mina或g(x)maxa即可,利用导数方法求出f(x)的最小值或g(x)的最大值,从而问题得解.当参数不宜进行分离时，还可直接建立关于参数的不等式求解，例如，要使不等式恒成立，可求得的最小值，令即可求出的取值范围.考点四 探索存在性问题,求参数的取值范围【典型例题】【例4】已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若
7、f(x)在(-,+)上单调递增,求实数a的取值范围;(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,试说明理由.【方法归纳 提炼素养】解决存在性问题常见的解题策略：（1）；（2）；（3）.（5）恒成立问题中的整数问题一、参数的范围与整数相关此类问题，只是将传统的在实数范围内求解的恒成立问题，向整数范围作了一个简单的迁移，只是传统问题在整数范围内的具体化，分析问题的思路和解题的方法与在实数范围内的讨论相同，我们来看具体的问题.设函数在上是单调递增.（）求实数的取值范围；（）若时，求满足条件的最大整数的值.（其中是自然对数的底数）（方法二）分离参数法对
8、于恒成立问题，我们通常有一种解决方式，即去解决分离参数法，这样做的目的是尽可能地减少讨论.（方法三）猜想验证法对于这类问题，可先通过对取值，缩小的范围，猜测的取值，并对一般情况加以证明.二、函数的表达式与整数相关已知函数其中nN*,a为常数.（）当n=2时，求函数f(x)的极值；（）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x2时，有f(x)x1.综上所述，结论成立.（方法二）放缩法三、自变量的范围与整数相关已知函数，.（）若函数依次在处取到极值（i）求的取值范围；（ii）若，求的值（）若存在实数，使对任意的，不等式 恒成立求正整数的最大值第一问属于常规问题，略解如下：第二问，通过观察题中函数的形
9、式，尝试使用分离参数法.四、方程的根（函数的零点）与整数相关已知函数，其中是自然数的底数，。（）当时，解不等式；（）若在，上是单调增函数，求的取值范围；（）当时，求整数的所有值，使方程在，上有解。五、与整数相关的综合应用已知函数， 设 （1）是否存在唯一实数，使得，若存在，求正整数m的值；若不存在，说明理由。导数恒成立问题中的整数问题，目前在导数问题中出现的频率还相对较低，因此对这类问题的研究还不够深入。虽然这类问题和其它导数问题的整体解决思路，用到到数学思想和方法大致相同，但是还是有自己一些独立的特点，这就需要我们进一步去共同去挖掘。高三：知识点：隐零点问题1设函数f（x）exax2（1）求
10、f（x）的单调区间；（2）若a1，k为整数，且当x0时，（xk）f（x）+x+10，求k的最大值2函数f（x）lnx，g（x）x2xm（1）若函数F（x）f（x）g（x），求函数F（x）的极值；（2）若f（x）+g（x）x2（x2）ex在x（0，3）恒成立，求实数m的取值范围3已知函数f（x）lnx+x2cosx+1证明：（1）f（x）在区间上存在唯一的零点（2）对任意x（0，+），都有f（x）+2xlnx+xx2cosx+1双变量问题的解决策略一、变更主元例1对任意nN*，若不等式对任意的nN*都成立，求实数a的最大值。二、指定主变量例2求证：。三、化归为值域问题或最值问题例3已知函数f（x
11、）lnx+ax23x（aR）。（1）函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y2，求函数f（x）的极值；（2）当a1时，对于任意x1，x21，10，当x2x1时，不等式恒成立，求出实数m的取值范围四、化归为函数单调性思想例4已知函数，对任意x1x20，都有f（x1）-f（x2）x1-x2恒成立，求实数k的取值范围。五、整体代换，变量归一例5已知函数（lR）。（）若函数f（x）为单调函数，求l的取值范围；（）在（）的条件下，求证：当0x1x2时，都有。六、借助参照物，建构桥梁例10已知函数 f（x）（x2）ex+a（x1）2ax有两个零点。（1）求实数a的取值范围；（2）若x1，x2是f（x
12、）的两个零点，求证：x1+x22。构造法解决导数问题一）利用 f (x) 进行抽象函数构造（xf (x),） 利用 f (x) 与 x 构造；常用构造形式有 xf (x), ；这类形式是对u v,型函数导数计算的推广及应用，我们的观察可得知， u v 型导函数中体现的是“ + ”法，型导函数中体现的是“- ”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“ + ”法形式时，优先考虑构造u v 型，当导函数形式是“”法形式时，优先考虑构造 【例 1】 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，当 x 0 时， f (x) + xf (x) 0 的解集为 【例 2】设 f (x)是定义在 R 上的偶函数
13、，且f (1) = 0 ， 当 x 0 恒成立，则不等式 f (x) 0 的解集为 （二） 利用 f (x) 与ex 构造；f (x) 与 ex 构造， 一方面是对 u v,函数形式的考察， 另外一方面是对(ex ) = ex 的考察.所以对于 f (x) f (x) 类型，我们可以等同xf (x),的类型处理，“ + ”法优先考虑构造F (x) =f (x) ex ，“-”法优先考虑构造 F (x) =【例 3】已知 f (x) 是定义在(-,+) 上的函数，导函数 f (x) 满足 f (x) e2 f (0), f (2014) e2014 f (0) B 、 f (2) e2014 f
14、 (0)C 、 f (2) e2 f (0), f (2014) e2014 f (0) D 、 f (2) e2 f (0), f (2014) 0, f (0) = 1 ，则不等式f (x) e2 x 的解集为 同构函数或因枝以振叶，或沿波而讨源，或本隐以之显，或求易而得难；俯仰之形，因宜适变，离之则双美，合之则两伤；同构之精髓在于母函数之选取，选取之核心在于地位等价之破绽同构“母函数”综述：在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一函数），无疑大大加快解决问题的速度找到这个函数模型的方法，我们就称为同构法如若能等
15、价变形为，然后利用的单调性，如递增，再转化为，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法当然，用同构法解题，除了要有同构的思想意识外，对观察能力、对代数式的变形能力的要求也是比较高的【例1】（2021全国模拟）已知，若对于，都有恒成立，则的取值范围为A BCD【例2】（2021南阳期末）已知函数，其中，若对于任意的且，都有成立，则的取值范围是A B C D【例3】（2021贵州调研）设实数，若对任意的，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）A BCD【例4】（2021全国模拟）已知函数，求证【例5】（2021重庆模拟）若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的最小值是 .【例6】（2020河北正定中学月考）不等式在上恒成立，求的取值范围 .
