1、三棱锥顶点射影问题三角形的三角形的“心心”1、重心、重心:三条中线的交点三条中线的交点2、垂心、垂心:三条高的交点三条高的交点3、外心、外心:三条边垂直平分线的交点（或三条边垂直平分线的交点（或说外接圆的圆心）说外接圆的圆心）4、内心、内心:三个角平分线的交点（或说三个角平分线的交点（或说内接圆圆心）内接圆圆心）5、中心中心（正正 特有特有）正的重心、垂正的重心、垂心、内心、外心重合的点心、内心、外心重合的点例例1 1：已知三棱锥：已知三棱锥P-ABCP-ABC的三条侧棱的三条侧棱PA=PB=PCPA=PB=PC试判断点试判断点P P在底面在底面ABCABC的射影的位置？的射影的位置？PABC
2、OOA=OB=OCO为三角形为三角形ABC的的外心外心例例2 2：已知三棱锥：已知三棱锥P-ABCP-ABC的三条的三条侧棱侧棱PA,PB,PCPA,PB,PC两两垂直两两垂直,试判断点试判断点P P在底面在底面ABCABC的射影的位置？的射影的位置？PABCO O为三角形为三角形ABCABC的的垂心垂心DOADBCPADBCPPOPABCPOBCPA平面例例3 3：已知三棱锥：已知三棱锥P-ABCP-ABC的的顶点顶点P P到底面到底面三角形三角形ABCABC的三条边的距离相等的三条边的距离相等,试判断试判断点点P P在底面在底面ABCABC的射影的位置？的射影的位置？PABCO O为三角形
3、为三角形ABCABC的的内心内心OEF典型：典型：四面体四面体P-ABC的的顶点顶点P在平面上的射影为在平面上的射影为O(1)P到三顶点距离相等到三顶点距离相等(3)P到三边到三边AB、BC、AC距离相等距离相等(2)侧棱两两垂直侧棱两两垂直PABCO外外垂垂内内 O是是 ABC的的心心 O是是 ABC的的心心 O是是 ABC的的心心对棱两两垂直对棱两两垂直OPABC例：四面体例：四面体P-ABC中，中，ACPBBC,PAABPC求证：若三棱锥有两组对边互相垂直，则若三棱锥有两组对边互相垂直，则另一组对边必然垂直另一组对边必然垂直O O是垂心是垂心垂垂 O是是 ABC的的心心(1)若若PA=P
4、B=PC，则，则O是是ABC的的 .PABC O外心外心关于三角形的四心问题关于三角形的四心问题 设设O为三棱锥为三棱锥PABC的顶点的顶点P在底面上的射影在底面上的射影.(2)若若PA=PB=PC,C=900,则则O是是AB的的_点点.中中PABC O关于三角形的四心问题关于三角形的四心问题垂心垂心EFPABC O (3)若三条側棱两两互相垂直若三条側棱两两互相垂直,则则O是是ABC的的 .关于三角形的四心问题关于三角形的四心问题EFPABC O (5)若三条側棱与底面成相等的角，则若三条側棱与底面成相等的角，则O是是ABC的的_.外心外心关于三角形的四心问题关于三角形的四心问题ABCD证明
5、：E 例例：在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，AB=AD，CB=CD，求证：对角线求证：对角线AC BD。CEAEEBD,连接的中点取ACBDACEAC,平面QACEBDECEAE,平面又QBDCEDCBC,QBDAEADAB,Q练习例例1、已知直角、已知直角ABC所在平面外有一点所在平面外有一点P，且，且PA=PB=PC，D是斜边是斜边AB的中点，的中点，求证：求证：PD平面平面ABC.ABCPD 证明：证明：PA=PB，D为为AB中点中点 PDAB，连接，连接CD，D为为RtABC斜边的中点斜边的中点 CD=AD,又又PAPC,PD=PD PAD PCD 而而PDAB PDCD,CD
6、AB=D PD平面平面ABC例例2、如图、如图 平面平面、相交于相交于PQ，线段线段OA、OB分别垂直平面分别垂直平面、，求证：求证：PQABPQOAB证明：证明：OA PQ OAPQ OB,PQ OBPQ 又又OAOB=0 PQ平面平面OAB 而而AB平面平面OAB PQABSABCSBSBSCSCSAHABCSHABC作业：如图 是所在平面外一点，SA，是的垂心，求证；平面SABCHSABCSBSBSCSCSAHABCSHABC作业：如图 是所在平面外一点，SA，是的垂心，求证；平面SASBSASCSASBCSBSCS平面SABCAHBCSAAHABCSHA面SABCHHABC是的 垂 心
7、ABSHBCABB同理BCSHSHABC面1.如图,已知点M是菱形ABCD所在平面外一点，且MA=MC求证：AC平面BDMMABCDOBD ACBDACO证明：连接，设，连接MOABCDACBDO四边形是菱形ACBDOAC是中点MOACACBDBDMOOMAMCAMC是等腰ACMBD面PABCO3.如图，圆如图，圆O所在一平面为所在一平面为 ，AB是圆是圆O 的直径，的直径，C 在圆周上在圆周上,且且PA AC,PA AB,求证：（求证：（1）PA BC （2）BC 平面平面PAC ,解：（1）且又ABACABACAPAAC PAABPABCPABC QQQQ PACBCAACPAPABCACBC，ABOC面又得由为直径上一点为圆QQ,1)2(例：平面内有一个三角形ABC，平面外有一点P，自P向平面作斜线PA，PB，PC，且PAPBPC，若点O是ABC的外心，求证：PO平面ABC.【解】如图所示，分别取AB，BC的中点D，E，连接PD，PE，OD，OE.因为PAPBPC，所以PDAB，PEBC，因为O是ABC的外心，所以ODAB，OEBC，又因为PDDOD，OEPEE，所以AB平面PDO，BC平面PEO，于是有ABPO，BCPO，ABBCB，从而推得PO平面ABC.
