1、第二节参数方程,总纲目录,教材研读,1.参数方程的概念,考点突破,2.直线、圆、圆锥曲线的参数方程,考点二参数方程的应用,考点一参数方程与普通方程的互化,考点三极坐标方程与参数方程的综合问题,1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C上任意一点P的坐标x,y都是某个变数t的函数?并且对于t的每一个允许值,由?所确定的点P(x,y)都在曲线C上,那么?叫做这条曲线的参数方程,变数t叫做参变数,简称参数.注意:相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.,教材研读,2.直线、圆、圆锥曲线的参数方程(1)过点M0(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程为?(t为参数
2、),设M是直线l上任一点,则相应的参数t的绝对值等于M到M0的距离.(2)圆心在点M0(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为?(为参数).(3)圆锥曲线的参数方程:椭圆?+?=1(ab0)的参数方程为?(为参数).,双曲线?-?=1(a0,b0)的参数方程为?(为参数).抛物线y2=2px的参数方程为?(t为参数).,1.若直线l:?(t为参数)与曲线C:?(为参数)相切,则实数m的值为?()A.-4或6B.-6或4C.-1或9D.-9或1,A,答案A由?(t为参数),得直线l:2x+y-1=0,由?(为参数),得曲线C:x2+(y-m)2=5,因为直线l与曲线C相切,所以圆心到直线的距离等
3、于半径,即?=?,解得m=-4或m=6.故选A.,2.曲线?(为参数)的对称中心?()A.在直线y=2x上B.在直线y=-2x上C.在直线y=x-1上D.在直线y=x+1上,B,答案B曲线?(为参数)的普通方程为(x+1)2+(y-2)2=1,该曲线为圆,圆心(-1,2)为曲线的对称中心,且在直线y=-2x上,故选B.,3.已知两曲线的参数方程分别为?(0)和?(tR),则它们的交点坐标为.,答案?1,解析消去参数得普通方程为?+y2=1(0y1),表示椭圆的一部分.消去参数t得普通方程为y2=?x,表示抛物线,联立两方程,可知两曲线有一个交点,解得交点坐标为?1,?.,4.在直角坐标系xOy
4、中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为(sin -3cos )=0,曲线C的参数方程为?(t为参数),l与C相交于A,B两点,则|AB|=.,答案2,解析直线l的直角坐标方程为y-3x=0,曲线C的普通方程为y2-x2=4.由?得x2=?,即x=?,则|AB|=?|xA-xB|=?=2?.,5.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为?(t为参数),椭圆C的参数方程为?(为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.,解析椭圆C的普通方程为x2+?=1.将直线l的参数方程?代入x2+?=1,得?+?=1,即7t2+16t=0,解得t1=0
5、,t2=-?.所以AB=|t1-t2|=?.,典例1把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线.(1)?(t为参数);(2)?(t为参数).,考点突破,考点一参数方程与普通方程的互化,解析(1)由x=1+?t得t=2x-2,y=2+?(2x-2),?x-y+2-?=0,此方程表示直线.(2)?由2-2得x2-y2=4,此方程表示双曲线.,方法技巧将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法等,对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数基本关系式消参,如sin2+cos2
6、=1等.(2)将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解.,1-1将下列参数方程化为普通方程.(1)?(为参数);(2)?(t为参数).,解析(1)由(sin +cos )2=1+sin 2=2-(1-sin 2),得y2=2-x.又x=1-sin 20,2,故所求的普通方程为y2=2-x,x0,2.(2)由参数方程得et=x+y,e-t=x-y,(x+y)(x-y)=1,即x2-y2=1(x1).,1-2求直线?(t为参数)与曲线?(为参数)的交点的个数.,解析将?消去参数t得直线x+y-1=0;将?消去参数得圆x2+y2=9.又圆心(0,0)到直线x+y-1=0的距离d=?
7、3.因此直线与圆相交,故直线与曲线有2个交点.,1-3在平面直角坐标系xOy中,若直线l:?(t为参数)过椭圆C:?(为参数)的右顶点,则常数a的值.,解析由直线l的参数方程?(t为参数)消去参数t得直线l的普通方程:y=x-a,由椭圆的参数方程可知其右顶点为(3,0).因为直线l过椭圆的右顶点,所以3-a=0,即a=3.,典例2(2017课标全国,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为?(为参数),直线l的参数方程为?(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为?,求a.,考点二参数方程的应用,解析(1)曲线C的普通方程为?+y2=1
8、.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由?解得?或?从而C与l的交点坐标为(3,0),?.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos ,sin )到l的距离为d=?.,当a-4时,d的最大值为?,由题设得?=?,所以a=8;当a-4时,d的最大值为?,由题设得?=?,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.,规律总结应用参数方程解决问题的方法(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时,要注意普通方程与参数方程的互化公式,主要是通过互化解决圆、圆锥曲线上与动点有关的问题,如最值、范围等.(2)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义,有如下常用结论
9、:过定点M0的直线与圆锥曲线相交,交点为M1,M2,所对应的参数分别为t1,t2.弦长l=|t1-t2|;弦M1M2的中点?t1+t2=0;|M0M1|M0M2|=|t1t2|.,2-1(2017陕西宝鸡质量检测(一)极坐标系的极点为直角坐标系xOy中的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,已知曲线C的极坐标方程为=2(cos +sin ).(1)求C的直角坐标方程;(2)直线l:?(t为参数)与曲线C交于A,B两点,与y轴交于点E,求|EA|+|EB|.,解析(1)由=2(cos +sin )得2=2(cos +sin ),得曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y,即(
10、x-1)2+(y-1)2=2.(2)将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,化简得t2-t-1=0,点E对应的参数t=0,设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=1,t1t2=-1,所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=?=?.,2-2(2016课标全国,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为?(为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin?=2?.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.,解析(1)C1的普通方程为?
11、+y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(2)由题意,可设点P的直角坐标为(?cos ,sin ).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值,d()=?=?.当且仅当=2k+?(kZ)时,d()取得最小值,最小值为?,此时P的直角坐标为?.,典例3(2017课标全国,22,10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为?(t为参数),直线l2的参数方程为?(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos +sin )-?=0,M为l3与C的交
12、点,求M的极径.,考点三极坐标方程与参数方程的综合问题,解析(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=?(x+2).设P(x,y),由题设得?消去k得x2-y2=4(y0).所以C的普通方程为x2-y2=4(y0).(2)C的极坐标方程为2(cos2-sin2)=4(02,).联立,规律总结处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合问题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程.(2)数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用和的几何意义,直
13、接求解,能达到化繁为简的解题目的.,3-1(2017河北石家庄质量检测(一)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是?(t为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2cos2+22sin2=12,且直线l与曲线C交于P,Q两点.(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l恒过的定点A的坐标;(2)在(1)的条件下,若|AP|AQ|=6,求直线l的普通方程.,解析(1)y=sin ,x=cos ,曲线C的直角坐标方程为x2+2y2=12,即?+?=1.由?(t为参数),得当t=0时,x=2,y=0,直线l恒过的定点为A(2,0).(2)把直线l的参数方程代入曲线C的
14、直角坐标方程得(sin2+1)t2+4tcos -8=0.由t的几何意义知|AP|=|t1|,|AQ|=|t2|.点A在椭圆内,这个方程必有两个实根,t1t2=-?,|AP|AQ|=|t1t2|=6.,即?=6,sin2=?.(0,),sin =?,cos =?,k=?.直线l的方程为y=?(x-2)或y=-?(x-2).,3-2(2017福建福州综合质量检测)已知直线l的参数方程为?(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,椭圆C的极坐标方程为2cos2+32sin2=12,其左焦点F在直线l上.(1)若直线l与椭圆C交于A,B两点,求|FA|FB|的值;(2)求椭圆C的内接矩形周长的最大值.,解析(1)将曲线C的极坐标方程2cos2+32sin2=12化为直角坐标方程为?+?=1,则其左焦点为(-2?,0),所以m=-2?.将直线l的参数方程,与?+?=1联立,整理得t2-2t-2=0,所以|FA|FB|=|t1t2|=2.(2)设曲线C上任意一点P的坐标为(2?cos ,2sin )(为参数),则以P为顶点的内接矩形的周长为4(2?cos +2sin )=16sin?,所以椭圆C的内接矩形周长的最大值为16.,
