1、难题突破题型（四）“K”字型相似研究题型解读相似基本图形中除了常见的“A”字型、“X”字型相似外,还有一个“K”字型相似,也常用于各种相似图形中.“K”字型相似由特殊到一般,题型往往丰富多彩,也是近几年浙江省中考题中常见的一种基本图形.了解一个基本图形,有助于我们在复杂图形中渗透其中的奥秘,从而找到解决问题的突破口.例例1 条件:如图Z4-1,B,C,E三点共线,B=ACD=E=90.结论:ABCCED.证明:【分层分析】(1)证明两个三角形相似有哪些方法?(2)除了B=E=ACD之外,图中还可以找出哪些角相等?|类型一|“K”字型相似基本图形1图Z4-1证明过程略.【应用】如图Z4-2,已知
2、点A(0,4),B(4,1),BCx轴于点C,点P为线段OC上一点,且PAPB,则点P的坐标为.【分层分析】(1)根据“K”字型相似,图中可以找到哪两个三角形相似?根据相似三角形又可以得到怎样的比例式?(2)设P(x,0),则根据比例式列出方程即可求得x的值,从而得到点P的坐标.图Z4-2答案(2,0)【方法点析】“K”字型相似基本图形1,在于寻找三个直角相等,熟记基本图形有利于快速找到相似三角形,从而通过建立方程解决问题.例例2 条件:如图Z4-3,B,D,C三点共线,B=EDF=C=.结论:BDECFD.证明:【分层分析】(1)“K”字型相似基本图形2与基本图形1有何联系?(2)如何证明E
3、=CDF?|类型二|“K”字型相似基本图形2图Z4-3证明:B=EDF=C=,由三角形外角性质可知EDC=B+E=+E.又EDC=EDF+FDC=+FDC,E=FDC.又B=C,BDECFD.【应用】1.如图Z4-4,在平面直角坐标系中,四边形OABC是梯形,CBOA,OC=BA,OA=7,BC=1,AB=5,点P为x轴上的一个动点,点P不与点O,A重合.连结CP,过点P作PD交AB于点D.(1)直接写出点B的坐标:;(2)当点P在线段OA上运动时,使得CPD=OAB,且BD AD=3 2,求点P的坐标.图Z4-4【分层分析】(1)过点B作BQx轴于点Q,依题意可得OQ=4,AQ=3,已知AB
4、=5,根据勾股定理求出QB即可解答.解:(1)(4,4)1.如图Z4-4,在平面直角坐标系中,四边形OABC是梯形,CBOA,OC=BA,OA=7,BC=1,AB=5,点P为x轴上的一个动点,点P不与点O,A重合.连结CP,过点P作PD交AB于点D.(2)当点P在线段OA上运动时,使得CPD=OAB,且BD AD=3 2,求点P的坐标.图Z4-4【分层分析】(2)根据“K”字型相似,图中可以找到哪两个三角形相似?根据相似三角形又可以得到怎样的比例式?图Z4-5【分层分析】(1)利用待定系数法求出直线y=kx的函数表达式,根据A点坐标用勾股定理可求出线段OA的长度.图Z4-5【分层分析】(2)先
5、求出线段AB的长,由已知条件BAE=BED=AOD,可得到“K”字型相似的基本图形2,故可得到ABEOED,设OE=a,则由对应边的比例关系可以得到关于a的一元二次方程,然后根据根的判别式得到a的值分别为1个,2个时m的取值范围.【方法点析】“K”字型相似基本图形2,根据三个角相等,联想到“K”字型相似基本图形1,便于快速找到相似三角形,从而利用相似的有关性质解决问题.|题型精练|1.如图Z4-6,已知矩形ABCD的顶点A,D分别落在x轴、y轴上,OD=2OA=6,AD AB=3 1,则点C的坐标是()A.(2,7)B.(3,7)C.(3,8)D.(4,8)图Z4-6A图Z4-7答案 D图Z4
6、-84.如图Z4-9,矩形ABCD中,E,F分别是边BC,CD上的点,AB=4,AD=8,CF=3,若ABE与ECF相似,则BE的长为.图Z4-95.如图Z4-10,在菱形ABCD中,AB=2,B=60,点M是AB边的中点,MDME于点M,则ME=.图Z4-10图Z4-11答案(1)6图Z4-11答案(2)2或5图Z4-128.如图Z4-13,在四边形ABCD中,已知ADBC,B=90,AB=7,AD=9,BC=12,在线段BC上任取一点E,连结DE,作EFDE,交直线AB于点F.(1)若点F与B重合,求CE的长;(2)若点F在线段AB上,且AF=CE,求CE的长.图Z4-13解:(1)如图,
7、当点F和B重合时,EFDE,DEBC.B=90,ABBC,ABDE.ADBC,四边形ABED是平行四边形,AD=EF=9,CE=BC-EF=12-9=3.8.如图Z4-13,在四边形ABCD中,已知ADBC,B=90,AB=7,AD=9,BC=12,在线段BC上任取一点E,连结DE,作EFDE,交直线AB于点F.(2)若点F在线段AB上,且AF=CE,求CE的长.图Z4-139.如图Z4-14,在ABC中,AB=AC,点P,D分别是BC,AC边上的点,且APD=B.(1)求证:ACCD=CPBP;(2)若AB=10,BC=12,当PDAB时,求BP的长.图Z4-149.如图Z4-14,在ABC
8、中,AB=AC,点P,D分别是BC,AC边上的点,且APD=B.(2)若AB=10,BC=12,当PDAB时,求BP的长.图Z4-1410.ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形,BAC=EDF=90,DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合,将DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图Z4-15,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:BPE CQE.(2)如图,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:BPECEQ;并求当BP=2,CQ=9时BC的长.图Z4-1510.ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形,BAC=EDF=90,
9、DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合,将DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.(2)如图,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:BPECEQ;并求当BP=2,CQ=9时BC的长.图Z4-1511.2019兰州 如图Z4-16,RtABC内接于O,ACB=90,BC=2,将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到AD,过点D作DEAC于点E,DAE=ABC,DE=1,连结DO交O于点F.(1)求证:AD是O的切线;(2)连结FC交AB于点G,连结FB.求证:FG2=GOGB.图Z4-16证明:(1)O为RtABC的外接圆,O为斜边AB的中点,AB为直径.ACB=90,ABC+BAC=90.DAE=ABC,DAE+BAC=90,BAD=180-(DAE+BAC)=90,ADAB,AD是O的切线.11.2019兰州 如图Z4-16,RtABC内接于O,ACB=90,BC=2,将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到AD,过点D作DEAC于点E,DAE=ABC,DE=1,连结DO交O于点F.(2)连结FC交AB于点G,连结FB.求证:FG2=GOGB.图Z4-16图Z4-17图Z4-17
