1、题型六圆的综合题题型六圆的综合题(杭州杭州2考；温州考；温州4考；台州：考；台州：2018.24)考情总结圆的综合题，杭州主要考查纯几何综合题主要是利用圆的基考情总结圆的综合题，杭州主要考查纯几何综合题主要是利用圆的基本性质进行相关的证明及计算，考查形式灵活，综合性强与函数结合的本性质进行相关的证明及计算，考查形式灵活，综合性强与函数结合的证明及计算，台州考查证明及计算，台州考查1次，涉及利用线段间的关系求最值次，涉及利用线段间的关系求最值类型一纯几何图形的证明及计算类型一纯几何图形的证明及计算典例精讲典例精讲(杭州：杭州：2019、2017.23；温州：；温州：20152018.24)例例1
2、(2019杭州杭州23题题12分分)如图，已知锐角三角形如图，已知锐角三角形ABC内接于内接于O，ODBC于点于点D，连接，连接OA.(1)若若BAC60，求证：求证：OD OA；当当OA1时，求时，求ABC面积的最大值；面积的最大值；例1题图(1)证明：如解图，连接证明：如解图，连接OB，OC，OBOC，ODBC，BOD BOC 2BAC60，OD OB OA；解：如解图，过点解：如解图，过点A作作AFBC于点于点F，AFADAOOD ，当点，当点A，O，D在同一条直线上时取等号在同一条直线上时取等号.由由知，知，BC2BD ，SABC ，12121212323即即ABC面积的最大值是面积的
3、最大值是 ；例1题解图【思维教练】【思维教练】要证要证OD OA，结合已知条件可联想到需构造半径，弦的一，结合已知条件可联想到需构造半径，弦的一半及圆心到弦的距离三者构成的半及圆心到弦的距离三者构成的RtOBD或或RtOCD，解直角三角形即可；，解直角三角形即可；结合结合可知，可知，ABC是以边是以边BC为底边的三角形，要使其面积最大，即圆上的点为底边的三角形，要使其面积最大，即圆上的点到到BC的距离要最大，易知，当点的距离要最大，易知，当点A位于过位于过O点且垂直于点且垂直于BC的直线上时，此时面的直线上时，此时面积最大积最大12(2)点点E在线段在线段OA上，上，OEOD，连接，连接DE，
4、设，设ABCmOED，ACBnOED(m，n是正数是正数)，若，若ABCACB，求证：，求证：mn20.(2)证明：证明：OEOD，设设OEDODE，CODBOD，AOCAOB2BOD360，ABC是锐角三角形，是锐角三角形，即即(mn)180.又又ABCACB，EODAOCDOC2m，OEDODEEOD180，2(m1)180.联立联立，得，得mn2(m1)，即即mn20.【思维教练】要证【思维教练】要证mn20，且，且m，n分别与分别与ABC，OED和和ACB，OED有关，因此想到，需利用圆周角定理等圆的基本性质来转换角度之间的有关，因此想到，需利用圆周角定理等圆的基本性质来转换角度之间的
5、关系，进一步得到等量关系式关系，进一步得到等量关系式类型二与函数结合的证明及计算类型二与函数结合的证明及计算典例精讲典例精讲(台州：台州：2018.24)例例2(2018台州台州24题题14分分)如图，如图，ABC是是 O的内接三角形，点的内接三角形，点D在在 上，点上，点E在弦在弦AB上上(E不与不与A重合重合)，且四边形，且四边形BDCE为菱形为菱形BC例2题图(1)求证：求证：ACCE；(1)证明：证明：四边形四边形ABDC是是 O的内接四边形，的内接四边形，BDCBAC180，四边形四边形BDCE是菱形，是菱形，BDCBEC，BECCEA180，CEACAE，CECA；【思维教练】要证
6、【思维教练】要证ACCE，即要证，即要证ACEA，由圆内接四边形的对角互补，由圆内接四边形的对角互补，可知可知AD180，由四边形，由四边形BDCE为菱形得到为菱形得到DBEC，而，而BECAEC180，即可得证，即可得证(2)求证：求证：BC2AC2ABAC；(2)证明：如解图，过点证明：如解图，过点C作作CFAB于点于点F，CECA，AFEF.在在RtBCF中，中，BC2BF2CF2，在，在RtACF中，中，AC2AF2CF2，BC2AC2(BF2CF2)(AF2CF2)BF2AF2(BEEF)2AF2BE22BEEFEF2AF2BE(BE2EF)BEAB，四边形四边形BDCE是菱形，是菱
7、形，BECEAC，BC2AC2ABAC；例2题解图【思维教练】由所证结论【思维教练】由所证结论BC2AC2易想到，需构造直角三角形，结合易想到，需构造直角三角形，结合ACCE可可想到过点想到过点C作作CFAB得到得到RtBCF和和RtACF，利用勾股定理得到关于，利用勾股定理得到关于BC2，AC2的关系式，两者作差即可得证的关系式，两者作差即可得证(3)已知已知O的半径为的半径为3.若若 ，求，求BC的长；的长；当当 为何值时，为何值时，ABAC的值最大？的值最大？(3)解：解：，设设AB5k，AC3k，由由(2)知知BC2 k，如解图，连接如解图，连接OB，ED交交BC于点于点M，四边形四边
8、形BDCE是菱形，是菱形，ED垂直平分垂直平分BC，点点O在在ED上，上，BMCM k，在在RtBDM中，由勾股定理得，中，由勾股定理得，DM k，OMODDM3 k，在在RtBOM中，由勾股定理得中，由勾股定理得OB2BM2MO2，即即32(k)2(3 k)2，解得解得k1 ，k20(舍去舍去)，BC2 k2 4 ；令令 t，设，设ACx，则，则ABtx，则，则ABACtx2，由由(2)得得BC2ABACAC2(1t)x2，BC x，BM x.在在RtBDM中，由勾股定理得中，由勾股定理得BM x，解得解得DM x，OMODDM3 x，在在RtBOM中，由勾股定理得中，由勾股定理得BM2OM
9、2BO2，即即 x)232，解得解得x3 或或x0(舍舍)，ABACtx29t(3t)9(t )2 ，90，则当则当t 时，时，ABAC的值最大的值最大.【思维教练】【思维教练】由由 的值结合的值结合(2)中所证结论，可得到中所证结论，可得到AB，AC，BC三者的比三者的比值，而四边形值，而四边形BDCE为菱形，为菱形，ACCEBD，由此想到连接，由此想到连接ED，且点，且点O在在ED上，上，构造以构造以BD，BC长度的一半所组成的直角三角形，同时在长度的一半所组成的直角三角形，同时在O中构造以半径中构造以半径BC长长度的一半，点度的一半，点O到弦到弦BC的距离所组成的直角三角形，二者结合即可解决问题；的距离所组成的直角三角形，二者结合即可解决问题；设设 t，按照，按照中的思路求解即可中的思路求解即可ABACABAC
