1、一次函数的应用小专题一次函数的应用小专题之之直 面 河 北 中 考（1）把把C（m，4）代入代入一次函数一次函数y x5，得得4m5，解得，解得m2，C（2，4）。设设l2的表达式为的表达式为yax，则则42a，解得，解得a2。l2的表达式为的表达式为y2x。解：解：例例1、（、（2018河北中考河北中考2410分）如图，在平面直角坐标系分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数中，一次函数y x5的图像的图像l1分别与分别与x轴、轴、y轴轴交于交于A，B两点，正比例函数的图像两点，正比例函数的图像l2与与l1交于点交于点C（m，4）。）。（1）求）求m的值及的值及l2的表达式；的表达式；（
2、2）求）求SAOCSBOC的值；的值；（3）一次函数）一次函数ykx1的图像为的图像为l3，且，且l1，l2，l3不能围不能围 成三角形，直接写出成三角形，直接写出k的值。的值。1212（2）求）求SAOCSBOC的值；的值；过点过点C作作CDAO于点于点D，CEBO于点于点E，则则CD4，CE2。y x5，令令x0，则，则y5；令令y0，则，则x10，A（10，0），），B（0，5）。）。AO10，BO5。SAOCSBOC 104 5215。解：解：121212（3）一次函数）一次函数ykx1的图像为的图像为l3，且，且l1，l2，l3不能围成不能围成 三角形，直接写出三角形，直接写出k的值
3、。的值。y2x解析：解析：当当l3经过点经过点C时，时，（2，4）42k1，解得，解得，k 32当当l3l2时，时，k 2，当当l3l1时，时，k ，12故故k的值为的值为2或或 或或 。3212若直线若直线yxb与与AOC的边界无公共点，求的边界无公共点，求b的取值范围的取值范围。问题拓展1解：解：当直线当直线yxb 经过点经过点C时，有时，有 2b4，解得解得b2，当直线当直线yxb 经过点经过点A（10，0）时，）时，有有10b0，解得，解得b10，要使直线要使直线yxb与与AOC的边界无公共点，的边界无公共点，则则b的取值范围为的取值范围为b2或或b10。【数形结合思想】若点【数形结合
4、思想】若点P（m1，m1）在）在AOB的内的内部，求部，求m的取值范围。的取值范围。问题拓展2解：解：若点若点P（m1，m1）在在AOB的内部，则有的内部，则有 解得解得1m3。12y x50m1100m1 （m1）512 若直线若直线 xa与直线与直线 l1和直线和直线 l2分别交于点分别交于点M，N，且且MN2，求，求a的值。的值。问题拓展3解：解：当直线当直线 xa在点在点 C左端时，有左端时，有 x52x2，解得，解得，x ；当直线当直线 xa在点在点C 右端时，有右端时，有 2x（x5）2，解得解得x a的值为的值为 或或 。12y x512126514565145典题速递1、（、（
5、2018保定满城区龙门中学期末）如图，在平面保定满城区龙门中学期末）如图，在平面 直角坐标系中，一次函数的图像经过点直角坐标系中，一次函数的图像经过点A（6，3）和点和点B（2，5）。）。（1）求该一次函数的表达式；）求该一次函数的表达式；（2）求该函数图像与坐标轴围成的三角形的面积；）求该函数图像与坐标轴围成的三角形的面积；（3）判断点）判断点C（2，2）是在直线）是在直线AB的上方（右边）的上方（右边）还是下方（左边）。还是下方（左边）。解：解：（1）设一次函数的表达式为）设一次函数的表达式为 ykxb,把把A（6，3）与）与B（2，5）代入，得代入，得36kb52kb一次函数的表达式为一
6、次函数的表达式为 yx3。解得解得 ，k1b 3解：解：（2）求该函数图像与坐标轴围成的三角形的面积；求该函数图像与坐标轴围成的三角形的面积；yx392 函数函数 yx3的图像与坐标轴的图像与坐标轴的交点坐标分别为（的交点坐标分别为（0，3）和（）和（3，0），），图像与坐标轴围成的三角形的图像与坐标轴围成的三角形的 面积是面积是 33 。12 当当x2时，时，y231，点点C（2，2）在直线）在直线AB的上方（右边）。的上方（右边）。（3）判断点）判断点C（2，2）是在直线）是在直线AB的的 上方（右边上方（右边 还是下方（左边）。还是下方（左边）。解：解：典题速递2、（、（2019邯郸模拟
7、）如图，已知点邯郸模拟）如图，已知点A（1，3），），B（5，1），），C（1，1）。）。（1）ABC的面积是的面积是 ；（2）求直线）求直线AB的表达式；的表达式；（3）一次函数）一次函数 ykx2与线段与线段AB有有 公共点，求公共点，求 k 的取值范围；的取值范围；（4）y 轴上有一点轴上有一点P，且，且ABP与与ABC的面积相等，的面积相等，则点则点P坐标是坐标是 。4解解（2）设直线设直线AB的表达式为的表达式为 ykxb，将，将A（1，3），），B（5，1）代入，得）代入，得 ，直线直线AB的表达式为的表达式为 yx 3。3kb15kb解得解得 ，k1b 3（3）一次函数）一次函数
8、 ykx2与线段与线段AB有公共点，有公共点，求求 k 的取值范围；的取值范围；解解（3）当当k0，ykx2过过A（1，3）时，）时，3k2，解得解得 k1。一次函数一次函数 ykx2与线段与线段AB有公共点，则有公共点，则0k1。当当 k0，ykx2 过过B（5，1）时，）时，15k2，解得解得 k 。1515一次函数一次函数 ykx2与线段与线段AB有公共点，则有公共点，则 k0。综上，满足条件的综上，满足条件的k的取值范围是的取值范围是0k1或或 k0。15典题速递3、（、（2019石家庄长安区三模）如图，在平面直角坐标系石家庄长安区三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点中，过点A（
9、6，0）的直线）的直线l1与直线与直线l2：ykx1相交相交于点于点C（4，2），直线），直线l2与与x轴交于点轴交于点B。（1）求）求k的值及的值及l1的函数表达式；的函数表达式；（2）求）求SABC的值；的值；（3）直线）直线ya与直线与直线l1和直线和直线l2 分别交于点分别交于点M，N。直接写出直接写出M，N都在都在y轴轴 右侧时右侧时a的取值范围；的取值范围；在的条件下，以在的条件下，以MN为边为边 作正方形作正方形MNDE，边，边DE恰好恰好 在在x轴上，直接写出此时轴上，直接写出此时a的值。的值。将将C（4，2）代入）代入ykx1，得，得，24k1，解得，解得k 。设直线设直线l
10、1的函数表达式为的函数表达式为 ymxn（m0），），将将A（6，0），），C（4，2）代入代入ymxn，得得直线直线l1的函数表达式为的函数表达式为 yx6。（1）求）求k的值及的值及l1的函数表达式；的函数表达式；解解（1）（6，0）（4，2）3406kb24kb解得解得 ，k1b 6（6，0）（4，2）（2）求）求SABC的值；的值；在在 y x1中，中，令令y0，则，则 x10，解得解得x 。点点B的坐标为（的坐标为（，0），），AB6 。SABC AByC 2 。解解（2）34344343431431212143143（3）直线）直线ya与直线与直线l1和直线和直线l2分别交于点分别
11、交于点M，N。直接写出直接写出M，N都在都在y轴右侧时轴右侧时a的取值范围；的取值范围；在的条件下，以在的条件下，以MN为边作正方形为边作正方形MNDE，边，边 DE恰好在恰好在x轴上，直接写出此时轴上，直接写出此时a的值。的值。当当 x0时，时，y2 x11，y1x66。M，N都在都在 y 轴右侧时轴右侧时 a 的的 取值范围为取值范围为1a6。解解（3）3416（3）直线）直线ya与直线与直线l1和直线和直线l2分别交于点分别交于点M，N。在的条件下，以在的条件下，以MN为边作正方形为边作正方形MNDE，边，边DE恰好在恰好在x轴上，直接写出此时轴上，直接写出此时a的值。的值。当当yNa时
12、，时，x1a，解得解得 xN a 。点点N的坐标为的坐标为（a ，a）当当yMa时，时，x6a，解得解得 xM6a。34434343点点M的坐标为的坐标为（6a，a），），43四边形四边形MNDE为正方形，为正方形，|a|a|，14373解得解得 a1 ，a2 。7572a的值为的值为 或或 。7572MN|6a a|a|，434314373解解（3）直线直线yxb交交 y轴轴于点于点P（0，b），由题意，得），由题意，得 b0，t0，b1t 。当当 t3时，时，b4，故故l的表达式为的表达式为 yx4。中考再现4、（、（2013河北）如图，河北）如图，A（0，1），），M（3，2），），N（
13、4，4）。）。动点动点P从点从点A出发，沿出发，沿 y 轴以每秒轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，个单位长度的速度向上移动，且过点且过点P的直线的直线l：yxb也随之移动，设移动时间为也随之移动，设移动时间为 t 秒。秒。（1）当）当 t3时，求时，求 l 的表达式；的表达式；（2）若点）若点M，N位于位于 l 的异侧，确定的异侧，确定 t 的取值范围；的取值范围；（3）直接写出）直接写出 t 为何值时，点为何值时，点M 关于关于 l 的对称点落在坐标轴上的对称点落在坐标轴上。解解（1）（2）若点）若点M，N位于位于 l 的异侧，确定的异侧，确定 t 的取值范围；的取值范围；当直线当直线 y
14、xb 过过点点M（3，2）时，）时，23b，解得，解得b5。51t，解得，解得 t4.当直线当直线yxb过点过点 N（4，4）时，）时，44b，解得，解得 b8。81t，解得，解得 t7。故若点故若点M，N位于位于l的的异侧异侧，t 的取值范围是的取值范围是4t7。解解（2）（3）直接写出）直接写出 t 为何值时，点为何值时，点M关于关于 l 的对称点落在坐标轴上的对称点落在坐标轴上。过点过点M作作MF直线直线l，交，交y轴于点轴于点F，交交x轴于点轴于点E，则点，则点E，F为点为点M在在坐标轴上的对称点。坐标轴上的对称点。过点过点M作作MDx轴于点轴于点D，则则OD3，MD2。可证得可证得M
15、EDOEF45，则则MDE与与OEF均为均为 等腰直角三角形，等腰直角三角形，DEMD2，OEOF1。E（1，0），），F（0，1）。）。解解（3）EFDEFDM（3，2），），F（0，1），），线段线段MF中点坐标为（中点坐标为（，），），直线直线 yxb 过点（过点（，），），则则 b，解得，解得 b2。21t，解得，解得 t1。M（3，2），），E（1，0），），线段线段ME中点坐标为（中点坐标为（2，1）。）。直线直线 yxb过点（过点（2，1），），则则 12b，解得，解得b3。31t，解得，解得 t2。故点故点M关于关于 l 的对称点，的对称点，当当 t1时，落在时，落在 y 轴上
16、，当轴上，当 t2时，落在时，落在 x 轴上。轴上。解解（3）1232123212325、如图所示、如图所示,直线直线l1的解析式为的解析式为 y=2x+2,且且l1与与 x 轴交于轴交于 点点D,直线直线 l2经过点经过点A（4,0）,B（0,1）,两直线交于点两直线交于点C。（1）点）点D的坐标为的坐标为;（2）求直线）求直线 l2的表达式的表达式;（3）求）求ADC的面积的面积;（4）若有过点）若有过点C的直线的直线CE （E在在x轴上）把轴上）把ADC的的 面积分为面积分为 2 1两部分两部分,请直请直 接写出直线接写出直线CE的表达式。的表达式。典题速递把把 y0 代入代入 y2x2
17、,可得可得 2x20，解得，解得 x1,所以点所以点D的坐标为（的坐标为（1，0）。故填）。故填（1，0）。（1，0）解解（1）（2）求直线）求直线 l2的表达式的表达式;设设 l2的表达式为的表达式为 ykxb。根据题意根据题意,得得所以所以l2的表达式为的表达式为 y x1。（4，0）（0，1）04kb1b解得解得 ，kb 11414解解（2）解方程组解方程组所以点所以点C的坐标为（的坐标为（，）,过点过点C作作CFAD于点于点F，如图所示，如图所示,SADC ADCF 3 1，所以，所以ADC的面积为的面积为1。（3）求）求ADC的面积的面积;（4，0）（0，1）解解（3）y2x2y x
18、114解得解得 ，xy 43234323121223（4）若有过点）若有过点C的直线的直线CE（E在在x轴上）把轴上）把ADC的的 面积分为面积分为 2 1两部分两部分,请直接写出直线请直接写出直线CE的表达式。的表达式。解解（4）当过点当过点C的直线的直线CE把把ADC的面积分为的面积分为 2 1 两部分时两部分时,可得可得DE EA 2 1 或或DE EA1 2,可得点可得点E的坐标为（的坐标为（3，0）或（或（2，0）,利用待定系数法可得利用待定系数法可得直线直线CE的表达式为的表达式为 y x同理，可得直线同理，可得直线CE的表达式为的表达式为 y x2。故直线故直线CE的表达式为的表
19、达式为 y x 或或 yx2。（4，0）（0，1）25656525EE17（2017河北）如图，在平面直角坐标系河北）如图，在平面直角坐标系xOy中，中，A（0，5），），直线直线 x5与与 x 轴交于点轴交于点D，直线，直线 y x 与与x轴及直线轴及直线x5分别交于点分别交于点C，E。点。点B，E关于关于x轴对称，连接轴对称，连接AB。（1）求点）求点C，E的坐标及直线的坐标及直线AB的表达式；的表达式；（2）设面积的和）设面积的和SSCDES四边形四边形ABDO，求，求S的值的值（3）在求）在求(2)中中S时，嘉琪有个想法：时，嘉琪有个想法：“将将CDE沿沿x轴翻折轴翻折到到CDB的位置
20、，而的位置，而CDB与四边形与四边形ABDO拼接后可看拼接后可看成成AOC，这样求，这样求S便转化为直接求便转化为直接求AOC的面积不更的面积不更快捷吗？快捷吗？”但大家经反复验算，发现但大家经反复验算，发现SAOCS，请通过计算解释他的想法错在哪里。请通过计算解释他的想法错在哪里。38398解：解：（1）把）把 y0代入代入y x ，得，得 x13。C（13，0）。）。把把 x5代入代入 y x ，得，得 y3。E（5，3）。）。点点B，E关于关于x轴对称，轴对称，B（5，3）。）。设直线设直线AB的表达式为的表达式为ykxb，则，则 （2）CD8，DEDB3，OAOD5，SCDE 8312
21、，S四边形四边形ABDO (35)520，即，即S32。38398383985b35kb1212直线直线AB的表达式为的表达式为 y x5。25解得解得 ，k25b 5（3）当）当 x13时，时，y x50.20，点点C不在直线不在直线AB上，上，即即A，B，C三点不共线三点不共线 他的想法错在将他的想法错在将CDB与四边形与四边形ABDO拼接后看拼接后看成了成了AOC。（3）在求（）在求（2）中）中S时，嘉琪有个想法：时，嘉琪有个想法：“将将CDE沿沿x轴轴翻折到翻折到CDB的位置，而的位置，而CDB与四边形与四边形ABDO拼接后可拼接后可看成看成AOC，这样求，这样求S便转化为直接求便转化为直接求AOC的面积不更的面积不更快捷吗？快捷吗？”但大家经反复验算，发现但大家经反复验算，发现SAOCS，请通过计算解释他的想法错在哪里。请通过计算解释他的想法错在哪里。解解：25一次函数的应用小专题一次函数的应用小专题之之直 面 河 北 中 考
