1、张家港高级中学校本课程 趣味数学5 储聪忠大自然中的分形现象 从海洋贝壳到螺旋状的星系，从海洋贝壳到螺旋状的星系，再到人体肺部的结构，在我们周再到人体肺部的结构，在我们周围有着各种各样的形状。分形是围有着各种各样的形状。分形是指一个粗糙或零碎的几何形状，指一个粗糙或零碎的几何形状，能够分成数个部分，每一部分都能够分成数个部分，每一部分都（至少近似）是整体缩小后的形（至少近似）是整体缩小后的形状。状。这种花椰菜变体堪称终极的分形蔬菜，其形状代表了斐波那契数列（又称黄金螺线）。这种花椰菜变体堪称终极的分形蔬菜，其形状代表了斐波那契数列（又称黄金螺线）。旧金山湾的盐滩进行商业制盐的旧金山湾的盐滩进行
2、商业制盐的历史已经超过了一个世纪。如果历史已经超过了一个世纪。如果你将一个分形图案进行分割，你你将一个分形图案进行分割，你就会得到一个近似于整体的缩小就会得到一个近似于整体的缩小版本。版本。旧金山湾的盐滩进行商业制盐的历史已经超过了一个世纪。旧金山湾的盐滩进行商业制盐的历史已经超过了一个世纪。如果你将一个分形图案进行分割，你就会得到一个近似于如果你将一个分形图案进行分割，你就会得到一个近似于整体的缩小版本。整体的缩小版本。菊石菊石菊石是已经灭绝了6500万年的海洋头足类动物，具有螺旋形的带腔室的外壳。这些腔室之间的组隔壁被称为缝线（sutures），是复杂的分形曲线。菊石菊石菊石外壳的生长也遵
3、循着对数螺线，这种螺线在自然界中经常可以见到。分形的数学之美在于，这种无限的复杂性是基于相对简单的方程式。通过多次迭代和重复生成分形的方程式，随机的输出就会创造出独特的美丽图案。在大自然中，我们可以看到众多令人惊叹的分形图案。巴塞罗教堂中楼梯巴塞罗教堂中楼梯菊石外壳还启发了西班牙巴塞罗那这座教堂中楼梯的设计。山脉山脉山脉是构造力将地壳向上推动，以及一部分地壳受到侵蚀之后的结果。图中为喜马拉雅山脉，拥有许多世界最高的山峰。7000万年前，印度板块和欧亚板块的碰撞造成了喜马拉雅山脉，该山脉至今还在上升。蕨类植物蕨类植物蕨类是自相似的典型例子。蕨类植物蕨类植物描述蕨类植物的数学方程以迈克尔巴恩斯利（
4、Michael Barnsley）命名，第一个揭示了混沌尽管不可预知，但总体上遵循着基于非线性迭代方程的规则。植物的枝叶植物的枝叶许多植物的枝叶生长都遵循着简单的递推公式。闪电闪电闪电发生时，其路径是一步一步向地面推进的。闪电的路径也是分形图案。孔雀的羽毛孔雀的羽毛孔雀依靠羽毛上重复的图案来吸引异性。水结晶水结晶水结晶形成了雪花上重复的图形。雪花雪花科赫雪花（Koch snowflake）是第一种被描述的分形曲线。瀑布瀑布与峡谷一样，不规则的岩石和重力作用产生了重复的水流模式。v 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。相对于传统几何学的研究对象为整数维数如，零维的点、一维的线、二
5、维的面、三维的立体乃至四维的时空。v 分形几何学的研究对象为分数维数,如0.63、1.58、2.72。因为它的研究对象普遍存在于自然界中，因此分形几何学又被称为“”。v 客观自然界中许多事物,具有自相似的“层次”结构，适当的放大或缩小几何尺寸,整个结构并不改变.v 客观事物有它自己的特征长度,要用恰当的尺度去测量。用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又嫌太长。从而产生了特征长度。万里长城大肠杆菌v 还有的事物没有特征尺度，就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度,这叫做“无标度性”的问题。湍流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。流体宏
6、观运动的能量，经过大、中、小、微等许许多度尺度上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态，就要借助“无标度性”解决问题，湍流中高漩涡区域，就需要用分形几何学。木星大气轻烟小溪中的湍流分形几何简介v 在二十世纪七十年代，法国数学家芒德勃罗在他的著作中探讨了“英国的海岸线有多长”这个问题。这依赖于测量时所使用的尺度。英国的海岸线v 如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。v 由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘
7、上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。v 还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特征，就要用分维。v 为什么长度已不是海岸线的特征量？为什么长度已不是海岸线的特征量？任何海岸线在一定意义上都是无限长的.v 为什么在测量海岸线长度时，随测量单位的减小，海岸为什么在测量海岸线长度时，随测量单位的减小，海岸线长度会越来越大？线长度会越来越大？逼近v 如何建立海岸线的数学模型如何建立海岸线的数学模型 Koch曲线v 数千年以来，我们涉及的
8、和研究的主要是欧氏几何。欧氏几何主要是基于中小尺度上，点线、面之间的关系，这种观念与特定时期人类的实践认识水平是相适应的，欧氏几何是人们认识、把握客观世界的一种工具、但不是唯一的工具。v 进入20世纪以后，科学的发展极为迅速。特别是二战以后，大量的新理论、新技术以及新的研究领域不断涌现，同以往相比，人们对物质世界以及人类社会的看法有了很大的不同。其结果是，有些研究对象已经很难用欧氏几何来描述了，如对植物形态的描述，对晶体裂痕的研究，等等。v 美国数学家B.Mandelbrot曾出这样一个著名的问题：英格兰的海岸线到底有多长？这个问题在数学上可以理解为：用折线段拟合任意不规则的连续曲线是否一定有
9、效？这个问题的提出实际上是对以欧氏几何为核心的传统几何的挑战。v 实际上，数学家们很早就认识到，有的曲线不能用欧式几何与微积分研究其长度。但那时解决办法是讨论具备什么条件的曲线有长度。而没有长度的曲线就没有深入研究。此外，在湍流的研究。自然画面的描述等方面，人们发现传统几何依然是无能为力的。因此就产生一种新的能够更好地描述自然图形的几何学，就是。v 数学家科赫(Koch)从一个三角形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线”变成无限曲线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大。可以看到分维才是“Koch岛”海岸线的确切特征量，即海岸线的分维均介于1到2之间。v 根据分形的次数不同，生成的Koc
10、h 曲线也有很多种。下面以三次 Koch 曲线为例，介绍构造方法：第一步，给定一个初始图形一条线段；第二步，将这条线段中间的 1/3 处向外折起；第三步，按照第二步的方法不断的把各段线段中间的 1/3 处向外折起。这样无限的进行下去，最终即可构造出Koch曲线。vCantor集集v 康托三分集 由重复删除直线段中间的三分之一开区间而创造出来的。v 康托集的被扣下去的部分是等比级数，其长度v 这样，康托集的总长度为1-1=0。计算表明康托集不包括任何非零的长度。事实上，令人惊讶的是，它可能在所有中间被扣掉的部分之和就等于它的最初的长度。然而，仔细观察这个过程却有很重要的东西被剩下，因为重复地消除
11、只是中间的1/3开集（这个集合不包含它的端点）。从最初的0，1线段中除去(1/3,2/3)，而两个端点1/3和 2/3被留下。随后的操作，不移动这些端点，因为被移除的部分总是在剩余部分的内部。所以康托集是非空的，而事实上，它包括无限多个点。Mandelbrot集集v 除了自相似性以外，分行具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性。下面的动画所演示的是对Mandelbrot集的放大，只要选对位置进行放大，就会发现：无论放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。但是，注意观察会发现：每次放大的图形却并不和原来的图形完全相似。这告诉我们：其实，分形并不要求具有完全的自相似特性。曼德勃罗集逐步放大图Si
12、erpinski三角形三角形v Sierpinski三角形也是比较典型的分形图形，具有严格的自相似特性（但是在前面说述的Mandelbrot集合却并不严格自相似）v 谢尔宾斯基地毯的构造与谢尔宾斯基三角形相似，区别仅在于谢尔宾斯基地毯是以正方形而非等边三角形为基础的。将一个实心正方形划分为的9个小正方形，去掉中间的小正方形，再对余下的小正方形重复这一操作便能得到谢尔宾斯基地毯。v 它是康托尔集和谢尔宾斯基地毯在三维空间的推广。v 把正方体的每一个面分成9个正方形，这将把正方体分成27个小正方体，像魔方一样。v 把每一面的中间的正方体去掉，把最中心的正方体也去掉，留下20个正方体。v 把每一个留下的小正方体都重复前面的步骤。v 把以上的步骤重复无穷多次以后，得到的图形就是门格海绵。三维谢氏塔的自相似结构 分形艺术用数学创造美丽的世界
