1、序 言 数学是一门基础科学，一切自然科学都离不开数学严密的计算和推理，数学也是人文科学和逻辑思维的基础。 趣味数学是以传统的课堂教学为基础，以开放，创新的思维模式，集中体现了素质教育思想，立足培养兴趣，旨在提高成绩，通过讲，学，练这一科学有效的训练方法，培养学生的数学兴趣和教学思维。立足基础知识，结合教学实际，博采众长，寓理于例，重在思维训练，并加以适合的延伸和拓展，以提高学生对数学的兴趣，启发学生的创造力和思维能力，爱学，乐学，增强孩子的学习主动性，提高学生思维的敏捷性，灵活性，准确性和深刻性是我们的宗旨和目标。 “千里之行，始于足下”愿广大学生在汗水中积累知识，在灵感中启迪智慧，在和谐中走
2、向成功！目 录第一部分：课程目标第二部分：课程的组织形式与实施计划第三部分：课程内容简介第1讲 集合中的趣题“集合”与“模糊数学 第2讲 函数中的趣题 一份购房合同 第3讲 函数中的趣题孙悟空大战牛魔王 第4讲 三角函数的趣题直角三角形 第5讲 三角函数的趣题月平均气温问题 第6讲 数列中的趣题柯克曼女生问题 第7讲 数列中的趣题数列的应用 第8讲 不等式性质应用趣题两边夹不等式的推广及趣例 第9讲 不等式性质应用趣题均值不等式的应用 第10讲 立体几何趣题正多面体拼接构成新多面体面数问题 第11讲 立体几何趣题球在平面上的投影 第12讲 解析几何中的趣题神奇的莫比乌斯圈 第13讲 解析几何中
3、的趣题最短途问题 第14讲 排列组合中的趣题抽屉原理第15讲 排列组合中的趣题摸球游戏 第16讲 概率中的趣题 第17讲 简易逻辑中的趣题 第18讲 解数学题的策略 第四部分：课程评价第一部分：课程目标1.启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；2. 能利用一次函数及其图象解决简单的实际问题，发展学生数学应用能力.3. 体会数学在实际问题中的应用价值4. 探索直角三角形在生活中应用，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用。5.通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性，培养学生的创新精神和创造能力。它要求教师给学生提供研究的问题及背景，让学生
4、自主探究知识的发生发展过程6了解均值不等式在日常生活中的应用，训练学生空间想象能力，动手动脑能力，提高学习数学兴趣，培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系第二部分：课程的组织形式与实施计划1、组织形式：校本课程的开课以自选班为单位安排在“地方与我校课程”课时中进行，具体教学时间是每周一节课，也可以进行集中安排（如考察、社会实践等活动）。2、课程实施：1）校本课程由我校教师开发，只有讲义，学生不需要教材，减轻学生的经济负担，体现“以生为本”的教学理念。2）授课教师结合我校的校本课程，依据学生层次特点、接受能力等可以适当补充材料，逐步实施，并在实施
5、中进一步完善教材内容，发现问题，及时反思，总结经验。3）任课教师精心备课，准备资料，设计好教学过程，按时上好校本课程，并及时对学生的学习情况做出评价。4）教学过程中所需材料、设备、设施由学校统一安排。学生需要外出调查、参观时，由学校出面联系，学校领导和班主任、任课教师一起带领学生外出，确保师生安全。第三部分：课程内容第1讲 集合中的趣题 “集合”与“模糊数学”教学目标：启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；教学过程：一、情境引入1965年，美国数学家扎德发表论文模糊集合，开辟了一门新的数学分支模糊数学。二、实例尝试，探求新知模糊数学是经典集合概念的推广。在
6、经典集合论当中，每一个集合都必须由确定的元素构成，元素对于集合的隶属关系是明确的，这一性质可以用特征函数：来描述。扎德将特征函数改成所谓的“隶属函数”，这里A称为“模糊函数”，称为x对A的“隶属度”。经典集合论要求隶属度只能取0，1二值，模糊集合论则突破了这一限制，=1时表示百分之百隶属于A；=0时表示不属于A还可以有百分之二十隶属于A，百分之八十不隶属于A等等，这些模糊集合为对由于外延模糊而导致的事物是非判断上的上的不确性提供了数学描述。由于集合论是现代数学的重基石,因此,模糊数学的概念对数学产生了广泛的影晌，人们将模糊集合引进数学的各个分支，从而出现了模糊拓扑、模糊群论、模糊测度与积分、模
7、糊图论等等，它们一起形成通常所称的模糊数学， 模糊数学是20世纪数学发展中的新新事物，它在理论上还不够成熟，方法上也未臻统一，它将随着计算机科学的发展而进一步发展。例1、学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参加，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参加，那么这两次运动会这个班共有多少名同学参赛？如果有5名同学两次运动会都参加了，问这两次运动会这个班共有多少名同学参赛？如果每一位同学都只参加一次运动会, 问这两次运动会这个班共有多少名同学参赛？解析：可能有的同学两次运动会都参加了，因此，不能简单地用加法解决这个问题。（1） 因为这5名同学在统计人数时，计算了两次，所以要减去8+125
8、=15（2） 8+12=20.这两次运动会这个班共有20名同学参赛.三、本课小结通过“模糊数学”了解到数学的发展是靠坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神而进步的。四、作业下列各组对象能否形成集合？（1）高一年级全体男生；（2）高一年级全体高个子男生；（3）所有数学难题；（4）不等式的解；第2讲 函数中的趣题 一份购房合同教学目标：能利用一次函数及其图象解决简单的实际问题，发展学生数学应用能力.教学过程：一、情境引入最早把函数（function）这个词用作数学术语的数学家是莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716，德国数学家），但其含义和
9、现在不同，他把函数看成是像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等所有与曲线上的点有关的量. 1718年，瑞士数学家约翰。贝努利（John Bernoulli，1667-1748，欧拉的数学老师）将函数概念公式化，给出了函数的一个定义，同时第一次使用了变量这个词。他写到：变量的函数就是变量和变量以任何方式组成的量。他的学生，瑞士数学家欧拉（Leonard Euler，1707-1783，被称为历史上最多产的数学家）将约翰。贝努利的思想进一步解析化，他在无限小分析引论中将函数定义为：变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式，欧拉的函数定义在18世纪后期占据了统治地位。二
10、、实例尝试，探求新知例1、陈老师急匆匆的找我看一份合同，是一份下午要签字的购房合同。内容是陈老师购买安居工程集资房72m2,单价为每平方米1000元，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担。房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为一年，等额付款，分付10次，10年后付清，年利率为7.5%, 房地产开发公司要求陈老师每年付款4200元，但陈老师不知这个数是怎样的到的。同学们你们能帮陈老师算一算么？解析：陈老师说自己到银行咨询，对方说算法是假设每一年付款为a元,那么10年后第一年付款的本利和为1.0759a元，同样的方法算得第二年付款的本利和为1.0758a元、第三年
11、为1.0757a元，第十年为a元，然后把这10个本利和加起来等于余额部分按年利率为7.5%计算10年的本利，即1.0759a+1.0758a+1.0757a+a =(721000-28800-14400)1.07510,解得的a的值即为每年应付的款额。他不能理解的是自己若按时付款，为何每期的付款还要计算利息？我说银行的算法是正确的。但不妨用这种方法来解释：假设你没有履行合同，即没有按年付每期的款额，且10年中一次都不付款，那么第一年应付的款额a元到第10年付款时，你不仅要付本金a元，还要付a元所产生的利息，共为1.0759a元，同样，第二年应付的款额a元到第10年付款时应付金额为1.0758a
12、元，第三年为1.0757a元，第十年为a元，而这十年中你一次都没付款，与你应付余款721000-28800-14400在10年后一次付清时的本息是相等的。仍得到1.0759a+1.0758a+1.0757a+a =(721000-28800-14400)1.07510用这种方法计算的a值即为你每年应付的款额。例2、经调查得知，若我们把每日租金定价为160元，则可客满；而租金每涨20元，就会失去3位客人。每间住了人的客房每日所需服务、维修等项支出共计40元。我们该如何定价才能赚最多的钱？解析：日租金360元。虽然比客满价高出200元，因此失去30位客人，但余下的50位客人还是能给我们带来360*
13、50=18000元的收入；扣除50间房的支出40*50=2000元，每日净赚16000元。而客满时净利润只有160*80-40*80=9600元三、本课小结通过本课学习我们认识到，生活是多面的，我们在研究一个问题时，可以多角度、多层次的思考，如若正面不行，亦可利用反面思考四、作业家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层臭氧含量呈指数函数型变化，满足关系式，其中是臭氧的初始量，是所经过的时间1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？2）多少年后将会有一半的臭氧消失？第3讲 函数中的趣题孙悟空大战牛魔王教学目标：体会数学在实际问题中的应用价值教学过程：一、故事引入孙悟空大战牛魔王。牛魔王
14、不是孙悟空的对手，力倦神疲，败阵而逃。可是，牛魔王不简单，他会变。他见悟空紧紧追赶，便随身变成一只白鹤，腾空飞去。悟空一见，立刻变成一只丹凤，紧追上去。牛魔王一想：凤是百鸟之王，我这只白鹤那里斗得过这个丹凤？！他无可奈何，只好飞下山崖，变作一只香獐，装着悠闲的样子，在崖前吃草。悟空心里想：好牛精，你休想混过我老孙的火眼金睛！他马上变作一只饿虎，猛扑过去。牛魔王心慌，赶快变了个狮子，来擒拿饿虎。悟空看得分明，就地一滚，变成一只巨象，撒开长鼻，去卷那头狮子。牛魔王拿出绝招，现出原形，原来是一头大白牛。这白牛两角坚似铁塔，身高八千余丈，力大无穷。他对悟空说：“你还能把我怎样？”只见悟空弯腰躬身，大喝
15、一声“长”！立即身高万丈，手持大铁棒朝牛魔王打去。牛魔王见势不妙，只好复了本象相，急忙逃去。孙悟空与牛魔王杀得惊天动地，惊动了天上的众神，前来帮助围困牛魔王。牛魔王困兽犹斗，又变成一头大白牛，用铁角猛顶托塔天王，被哪吒用火轮烧得大声吼叫，最后被天王用照妖镜照定，动弹不得，只得连声求饶，献出芭蕉扇，扇灭火焰山烈火，唐僧四人翻越山岭，继续往西天取经二、实例尝试，探求新知这段故事很吸引人，而且它和初中代数中所学的函数概念有关。首先，就从这个“变”字谈起。孙悟空和牛魔王都神通广大，都能变。他们能变飞禽、走兽；大喝一声，身躯能“顶天立地”，也可变成一个小虫儿。当然，这些都是神话，不是真情实事。不过，世界
16、上一切事物的确无有不在变化着的。既然物质在变化，表示它们量的大小的数，自然也要随着而变化了。这就告诉我们，要从变化的观点来研究数和量以及它们之间的关系。其次，我们再来看一看，是不是所有的量在任何情况下，都始终变化着的呢？不是的。研究问题的某个特定过程中，在一定的范围内，有的数量是保持不变的。或者，虽然它也在变，但变化微小，我们把它看成是不变的。还是用唐僧师徒来做例子。孙悟空的本事最大，能七十二变；唐僧最没用，一点也不会变，所以妖怪一看就认得他。都想吃他的肉。在代数中，把研究某一问题过程中不断变化着的量叫做变量，孙悟空就好象是一个“变量”；把一定范围内保持不变的量叫做常量，唐僧就好象是一个“常量
17、”。例1、1202年，意大利比萨的数学家斐波那契(约1170年约1250年)在他所著的算盘书里提出了这样一个有趣的问题：假定1对一雌一雄的大兔，每月能生一雌一雄的1对小兔，每对小兔过两个月就能长成大兔。那么，若年初时有1对小兔，按上面的规律繁殖，并且不发生死亡等意外情况，1年后将有多少对兔子？解析：第一个月时，有小兔1对；第二个月时，小兔还没有长大，因此兔子数仍是1对；第三个月时，小兔已长成大兔，并且生下1对小兔，这时兔子数是2对；第四个月时，原来的兔子又生了1对小兔，但上个月刚生的小兔尚未成熟，这时兔子数是3对；第五个月时，原来的兔子又生了1对小兔，第三个月出生的小兔这时也已长大并且也生了1
18、对小兔，因此共有兔子5对；一直这样推算下去，可以得到下面的表：如果仔细观察，就不难发现其中的规律：从第三个月份起，每个月的兔子对数都是前两个月的兔子对数之和。表中兔子对数构成的一列数1，1，2，3，5，8就称为斐波那契数列。斐波那契数列有很有趣的性质和重要的应用。例2、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. 解析：假设果园增种x棵橙子树,果园橙子的总产量为y(个)，依题意，果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个
19、橙子. y=(100+x)(600-5x) =-5x+100x+60000. =-5(x-10)2+60500即种：100+10=110棵时，产量最高是：60500三、本课小结通过本课学习我们知道了，不仅西游记和我们的数学还很有关系其实，只要我们留意，到处都充满着数学的原理。四、作业某市20名下岗职工在近郊承包50亩土地办农场这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表： 作物品种 每亩地所需职工数 每亩地预计产值 蔬菜 1/2 1100元 烟叶 1/3 750元 小麦 1/4 600元 请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20名职工都有工作，且使农作物预
20、计总产值最多。（设工人数） 第4讲 三角函数的趣题 直角三角形 教学目标：探索直角三角形在生活中应用，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用。教学过程：一、情境引入直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.二、例题分析例1、海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25的
21、C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?解析：过A作BC的垂线，交BC于点D.得到RtABD和RtACD，从而BD=ADtan55，CDADtan25，由BD-CDBC，又BC20海里.得 ADtan55-ADtan2520. AD(tan55-tan25)20， AD=20.79(海里).这样AD20.79海里10海里，所以货轮没有触礁的危险例2、如图，某货船以20海里时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里时的速度由A向北偏西60方向移动，距台风中心200海里的
22、圆形区域(包括边界)均受到影响.(1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?解析：(1)过点B作BDAC.垂足为D. 依题意，得BAC30，在RtABD中，BD= AB=2016=160200， B处会受到台风影响. (2)以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于E、F，由勾股定理可求得DE=120.AD=160. AE=AD-DE=160 -120， =3.8(小时).因此，陔船应在3.8小时内卸完货物.练习：一个人从山底爬到山顶，需先爬40的山坡300 m，再爬30的山坡100 m，求山高.(结果精确到0.01 m)三、本课小结
23、本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和解决实际问题的能力.四、作业如图，RtABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号)第5讲 三角函数的趣题月平均气温问题教学目标：选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.教学过程：一、谈话导入数学的应用，随着人类的进步和科技的发展，已经渗透到社会的各个方面，“数学已无处不在”。下面我们看看三角函数在生活中有哪些应用。二、典例分析例1、受日月的引力，海水会发生
24、涨落，这种现象叫做潮汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞，卸货后落潮时返回海洋，某港口水的深度y（米）是时间t（，单位：时）的函数，记作y=f(t)，下面是该港口在某季节每天水深的数据。t（时）0361215182124y（米）10.013.09.910.013.010.17.010.0 根据数据求出y=f(t)的拟合函数，一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时，认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多少时间？（忽略进出港所需时间）解析：依题意，该船进出港时
25、，水深应不小于5+6.5=11.5米，3，2，得12，在同一天内，取k=0或1，或，所以该船最早能在凌晨1时进港，下午17时退出，在港口内最多停留16小时。例2、某工厂因生产需要，要生产1200个如图形状的三角形铁片，已知在中，问要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积（精确到1cm2）. 解析： sin+cos=， （sin+cos）. sincos. 0， sin，cos0. （sin-cos）=1-sincos=， sin-cos. +，得sin=， 要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积为：答：所以要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积约3477cm2.三、本课小结三角函数不但应用于数学的各个
26、分支,也广泛应用于其他的学科及社会生产实践中, .在实际生活中,也会经常碰到一些需要运用三角函数来解决的问题,特别是一些线段的度量和角的计算等问题我们要灵活运用四、作业把一段半径为R的圆木，锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法，才能使横截面积最大？第6讲 数列中的趣题柯克曼女生问题教学目标: 通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性教学过程：一、问题引入：有一个学校有15个女生，她们每天要做三人行的散步，要使每个女生在一周内的每天做三人行散步时，与其她同学在组成三人小组同行时，彼此只有一次相遇在同一小组，应怎样安排？二、典例分析例1、大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设在第k
27、层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）分析：设相邻两层楼梯长为a，则分n为奇数和n为偶数两类讨论.例2、某地区荒山2200亩，从1995年开始每年春季在荒山植树造林，第一年植树100亩，以后每一年比上一年多植树50亩.（1）若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化?（2）若每亩所植树苗、木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率为20%，那么全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为S，求S的表达式.（3）若1.24.3，计算S（精确到1立方米）.分析：由题意可知，各年植树亩数为：100，150，200，成等差数列 三、本课
28、小洁：下面回到课前问题，设位女生用下面个符号表示：x , a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 , d1 , d2 , e1 , e2 , f1 , f2 , g1 ,g2 ;将它们排成七行，每天五个三人行小组（共十五人），使处于七行中的最前一位置上：(x,a1,a2); (x,b1,b2); (x,c1,c2); (x,d1,d2); (x,e1,e2); (x,f1,f2);(x,g1,g2).于是只须分配个元素，再每一行中，后继三人行小组，即对有下标的七个元素，进行三元素组合，填入每行，但每个字母只许出项两次。即Sunday: (x,a,a), (b,d,f), (b,
29、e,g), (c,d,g),(c,e,f);Monday: (x,b,b), (a,b,e), (a,f,g), (c,d,g),(c,e,f);Tuesday: (x,c,c), (a,d,e), (a,f,g),(b,d,f),(b,e,g);Wednsday:(x,d,d), (a,b,c), (a,f,g),(b,e,g),(c,e,f);Thursday: (x,e,e), (a,b,c), (a,f,g),(b,d,f), (c,d,g)Friday: (x,f,f), (a,b,c), (a,d,e), (b,e,g),(c,d,g);Saturday:(x,g,g), (a,b
30、,c), (a,d,e),(b,d,f), (c,e,f)现在来填下标，如果在同一行中，可以有两个相同字母，例如在第三行中bdf,beg中，b出现两次，可标上不同的脚标b1,b2;若每一个“三人行”，有两个脚标已定，则在同一行，别的三人行组不能再用；若不是由两种原则定出脚标，就定为。得到解：Sunday: (x,a1,a2), (b1,d1,f1), (b2,e1,g1),(c1,d2,g2), (c2,e2,f2);Monday: (x,b1,b2), (a1,b2,e2), (a2,f2,g2),(c1,d1,g1), (c2,e1,f1);Tuesday: (x,c1,c2), (a1,
31、d1,e1), (a2,f1,g1),(b1,d2,f2),(b2,e2,g2);Wednsday:(x,d1,d2), (a1,b2,c2), (a2,f2,g1),(b2,e1,g2),(c1,e2,f1);Thursday: (x,e1,e2), (a1,b1,c1),(a2,f1,g2), (b2,d1,f2), (c2,d2,g1)Friday: (x,f1,f2), (a1,b2,c1), (a2,d2,e1),(b1,e2,g1), (c2,d1,g2);Saturday:(x,g1,g2), (a1,b1,c2), (a2,d1,e2),(b2,d2,f1), (c1,e1,f
32、2)三、作业某林场有荒山3250亩，从96年开始，每年春季在荒山上植树造林，第一年植100亩，计划以后每年比上一年多植树50亩(假定全部成活)(1)需几年可将此荒山全部绿化.(2)已知新植树苗每亩木材量为2，树木每年的自然增长率为10%，设荒山全部绿化后的年底木材总量为S，求S的最简表达式第7讲 数列中的趣题数列的应用教学目标：培养学生的创新精神和创造能力。它要求教师给学生提供研究的问题及背景，让学生自主探究知识的发生发展过程教学过程：一、 诗词引入先由杜甫的诗绝句引出课题，每一句都与数有关系。再由一些生活中的例子进一步探索数列的定义及其蕴含的数量关系二、 典例分析例1、有一序列图形P1,P2
33、,P3.已知P1是边长为1的等边三角形，将P1的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得P2，.，将Pk-1的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得Pn试分别求Pn的周长Cn和面积Sn.解析：这序列图形的边数构成的数列为：它们的边长构成的数列为：.S2比S1多3个面积为的正三角形.即例2在1000，2000内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？解析：不妨设，则cp为 an 与 bn 的公共项构成的等差数列 (1000cp2000)an = bm ,即：3n=4m+1 令n=3 , 则m=2 c1=9且有上式
34、可知：d=12 cp=9+12(p-1) ( pN*) 由1000cn2000解得： p取84、85、166共83项。三、 本课小结根据数列的定义和前面所学的函数关系，由学生自己通过联想、类比、对比、归纳的方法迁移到新情境中，将新的知识内化到学生原有的认知结构中去。四、 作业1.一梯形两底边长分别为12cm22cm，将梯形一腰10等分，经过每分点作平行于底边的直线，求这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度和.2.某化工厂生产一种溶液，按市场的要求杂质含量不能超过0.1%.若初时含杂质0.2%，每过滤一次可使杂质减少，问至少过滤多少次才能使产品达到市场的要求第8讲 不等式性质应用趣题 “两边夹不等式
35、”的推广及趣例教学目标：理解“两边夹不等式”的推广及应用教学过程： 一、情境引入大家都熟知等比定理：若，则。若将条件中的等式改为不等式，如，那么结论如何呢?课本上有这样一道练习：已知都是正数，且，则(高中数学第二册(上)(人教版)，在平时的教学过程中，稍不注意，其丰富的内涵和研究价值便被忽略了。下面为了说明问题的方便，称不等式为两边夹不等式。 当然这个不等式的证明是简单的，而探讨这个不等式却别有一番风味对该不等式的探讨是从它的一个简单应用开始的二、“两边夹不等式”理解推广1、两边夹不等式的两种理解解：（1）实际意义的理解：有同种溶液(如糖水)A、B，已知溶液A的浓度为，溶液B的浓度，现将两种溶
36、液混合成溶液C，此时溶液浓度为，由日常生活经验知道有。（2）几何意义的理解：由分式联想到直 线的斜率，设，则直线OA、OB斜率分别是，(如图1)，则，它表示图中的,显然直线OC的斜率介于OA、OB的斜率之间，即。进一步探讨我们还可以得到更多的结论，如得到不等式，仿此还可到几个不等式链：（1）（2）（3）（其中）2两边夹不等式的一个简单应用练习1、 利用此不等式，可以轻松地证明下面这个经典不等式：已知都是正数，且，求证：。分析：，由两边夹不等式立即得3两个有意义的推广推论1(等比定理的推广)：已知，若，则。利用两边夹不等式可以容易得到证明，这里从略。由于分数的分子分母同乘以一个非零实数，分数的值
37、不变，那么将与的分子分母各乘以非零实数，又有什么结论呢?推论2(一般性推广)：若正数及非零实数，满足，则证明：，由两边夹不等式立即得练习2、无限夹数游戏 (1)给你任意两个正分数，你能写出大小介于它们之间的一些数吗?如与，与，与等。依据两边夹不等式可以得到介于与之间，介于与之间，介于与之间。三、本节小结：本节主要讲了两边夹不等式几何意义理解及两种推广 。四、作业：探求“黄金分割数” 在0、l之间用两边夹不等式可以依次写出一些数，写这些数时按以下的规律进行：第一个数为，此时得到两个区间A1=（0，），B1=()在区间B1内利用两边夹不等式得到第二个数a2=；此时a2又将区间B1分成两个区间A2=
38、(),B2=()在区间A2中利用两边夹不等式得到第三个数a=，依此类推，可以得到数列，数列的极限称为黄金分割数，求此极限。()第9讲 不等式性质应用趣题 均值不等式的应用教学目标：了解均值不等式在日常生活中的应用教学过程：一、情境引入：日常生活中常用的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不等式。前两类不等式的应用与其对应函数及方程的应用如出一辙，而平均值不等式在生产生活中起到了不容忽视的作用。下面，我主要谈一下均值不等式和均值定理的应用。 在生产和建设中，许多与最优化设计相关的实际问题通常可应用平均值不等式来解决。平均值不等式知识在日常生活中的应用，笔者虽未亲身经历，但从电视、报纸
39、等新闻媒体及我们所做的应用题中不难发现，均值不等式和极值定理通常可有如下几方面的极其重要的应用：（表后重点分析“包装罐设计”问题） 实践活动 已知条件 最优方案 解决办法 设计花坛绿地 周长或斜边 面积最大 极值定理一 经营成本 各项费用单价及销售量 成本最低 函数、极值定理二 车船票价设计 航行里程、限载人数、 票价最低 用极值定理二求出 速度、各项费用及相应 最低成本，再由此 比例关系 计算出最低票价 （票价=最低票价+ +平均利润）例1、包装罐设计问题 1、“白猫”洗衣粉桶 “白猫”洗衣粉桶的形状是等边圆柱（如右图所示）， 若容积一定且底面与侧面厚度一样，问高与底面半径是 什么关系时用料
40、最省（即表面积最小）？ 分析：容积一定=r h=V（定值） =S=2r +2rh=2(r +rh)= 2(r +rh/2+rh/2) 23 (r h) /4 =3 2V (当且仅当r =rh/2=h=2r时取等号), 应设计为h=d的等边圆柱体. 例2、“易拉罐”问题 圆柱体上下第半径为R,高为h，若体积为定值V,且上下底 厚度为侧面厚度的二倍，问高与底面半径是什么关系时用料最 省（即表面积最小）？ 分析：应用均值定理，同理可得h=2d（计算过程请读者自己 写出,本文从略）应设计为h=2d的圆柱体. 第10讲 立体几何趣题 正多面体拼接构成新多面体面数问题教学目标： 训练学生空间想象能力，动手
41、动脑能力，提高学习数学兴趣教学过程：一、问题提出在数学(高二下册)“立体几何多面体”一节的课堂教学中，老师给出了一道例题：“已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都相等，把它们拼接起采，使一个表面重合，所得的新多面体有多少个面?”对于这个问题学生们表现出了极大的兴趣他们通过直观感知，提出了自己的看法：正四面体和正八面体共12个面，两者各有一个面重叠，因此减少两个面，所以重合之后的新多面体有10个面二、故事介绍 教师乘着学生浓厚的兴趣讲了一个与这道例题有关的故事多年前美国的一次数学竞赛中有这样一道题：一个正三棱锥和一个正四棱锥，所有棱长都相等，问重合一个面后还有几个面?大学教授给这道竞赛题的参考答
42、案是7个面，他们认为正三棱锥和正四棱锥共9个面，两者各有 一个面重叠，减少两个面，所以重合之后还有7个面。但佛罗里达州的一名参赛学生丹尼尔的答案是5个面，与参考答案不合而被判错误，对此丹尼尔一直有所疑惑，于是他动手拼接了符合题意的正三棱锥和正四棱锥实物模型，结果正如他所判断的只有5个面；他将自己的结论和实物模型提交给竞赛组委会，教授们接受了他的想法并改正了这道题的答案。三、操作确认故事讲完后学生立刻对丹尼尔的结论进行了激烈地讨论于是教师建议：请同学们拿出课前分组做出上述两个问题的实物模型，通过自己的操作(模型组合)来确认自己的结论学生展示大小不一的实物模型教师让每个组的学生代表在讲台上演示实物
43、模型的组合过程通过观察、讨论，全班同学明白丹尼尔结论的原因所在同时也观察到了正四面体和正八面体重合之后新多面体只有七个面，这与学生们在上一节课通过直观感知所得的结论是不一致的。原因在于他们发现在重合过程中正四面体和正八面体另有两个侧面分别拼接成一个面了 四、思辩论证老师要求学生利用立体几何的相关知识，对操作实物模型得出的结论进行证明。学生对照实物模型提出了证明思路：将正八面体和正四面体拼接的两个侧面想象成两个半平面拼接成一个平面即表示这两个半平面所构成的二面角为证明如下：如图1，在正八面体AC中，连结AC交平面BE于点O设正八面体的棱长为1，BF的中点为D，连结AD、CD，易得ADC为二面角A
44、BFC的平面角。AD=DC=,AC=2AO=由余弦定理得。仿上可求得正四面体邻棱所成的二面角的余弦值为。由上可知，因此新多面体是七面体。五、问题扩展理论证明的给出进一步完善了学生对问题的全面理解，同时也激发了学生的多向思维证明结结束后，立刻就有学生向老师提出了问题： 如果再拼一个同样的正四面体，又有多少个，又有多少个面呢？面对学生的问题，教师立刻利用学生的实物模型进行操作确认，从而发现新多面体的面数并不确定，而是依赖于拼接四面体在八面体上的位置进一步，当拼接更多的四面体时问题更复杂了，但却激发了学生更大的兴趣在激烈地争论中，师生的思考一度陷入僵局余是老师提出能否看看不同情况下新多面体可能新多面体最少面数这一问题得到了学生的认可，新一轮实物模型的操作确认开始，很快学生得出了结论：当两个正四面体时，新多面体最少为6个面，构成一个六面体(如图2)当拼接三个正四面体时，新多面体最少为5个面，构成一个棱台如图(3)当拼接四个正四面体时，新多面体最少为4个面构成一个正四面体(如图4)本节小结：学习数
