1、序 言新一轮课程改革的一大亮点就是实行国家课程、地方课程和校本课程三级管理模式，“校本课程”是指学校在党的方针政策、国家和地方课程计划的指导下，以明确而独特的办学教育哲学为指导思想，以进一步提高学校的教育教学质量为导向，在对地方、学校和学生的需求进行系统评估的基础上，充分利用当地社会和学校的课程资源，通过自行探讨、设计或 与研究人员或其他力量合作等方式编制的多样性的、可供学生选择的课程，是对国家课程和地方课程的重要补充，是国家和地方课程计划中不可缺少的重要组成部分。数学校本课程的开发要满足学生已有的兴趣和爱好，又要激发和培养学生新的兴趣和爱好，要要求和鼓励学生投入生活，亲身实践体验。选题要尊重
2、学生的实际、学生的探究本能和兴趣，给与每个学生主体性发挥的广阔空间，从而更好的培养学生提出问题、分析问题、解决问题的素质和能力。使学生成为学习的主人，学有兴趣，习有方法，必有成功。学生的个性在社会活动中得以健康发展，学生的潜能在自学自育中得到充分开发。通过介绍数学在航海、企业决策、国计民生的宏观控制等方面的应用，激发学生学习数学的兴趣。数学是打开知识大门的钥匙，是人文科学和逻辑思维的基础。通过介绍数学在航海、企业决策、国计民生的宏观控制等方面的应用，将数学知识巧妙地运用于生活之中，激发学生学习数学的兴趣，实现新课改所倡导的情感体验，培养良好的科学态度和正确价值观的目标，使学生感受数学与日常生活
3、及其他学科的联系，体验数学在解决实际问题中的作用，感受数学的应用价值，扩展学生的视野，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高学生的实践能力。“千里之行，始于足下”愿广大学生在汗水中积累知识，在灵感中启迪智慧，在和谐中走向成功！目录序 言1第一讲 集合与生活61 集合概述62、“集合”与“模糊数学”10数学故事：华罗庚与苏步青的人生12第二讲 函数中的趣题151、 一份购房合同152、孙悟空大战牛魔王18第三讲 三角函数的趣题221、 直角三角形222、月平均气温问题25课外阅读：导航的双曲线27第四讲 线性规划与最优化291、线性规划概述292、数学建模线性规划模型333、线性规划的应用实例
4、37课外阅读：煤商怎样进煤利润高45第五讲 生活中的数学491、电冰箱温控器的调节492、哪种投票制度最合理57数学欣赏： Music 与数学65第六讲 排列组合中的趣题671、抽屉原理672、摸球游戏69数学欣赏： 龟背上的学问71课外阅读：生活中的排列组合73第七讲 让数学帮你理财771、生活小理财772、巧用数学看现实793、商品调价中的数学问题81课外阅读：单利和复利的区别83第七讲 生活中的概率现象871、概率中的趣题872、简易逻辑中的趣题92课外阅读： 赌马中的数学问题96第九讲 把握或然，你会更聪明991、车与羊三扇门概率问题992、三类概率问题的处理方法103第十讲 奇妙数列
5、1071、数列在生活中的应用（一）1072、数列在生活中的应用（二）1103、数列在生活中的应用（三）114数学欣赏： e和银行业117第十一讲 数列中的趣题1201、柯克曼女生问题1202、数列中的趣题数列的应用123学海拾贝：算法妙用126第十二讲 反其道而行之，克“敌”致胜1291、反证法慨念1292、反证法应用132课外阅读：生活中的反证法135第十三讲 不等式性质的应用1381、温故知新1382、“两边夹不等式”的推广140第十四讲 不等式性质应用趣题1441、均值不等式的实际应用（一）1442、均值不等式的实际应用（二）1463、均值不等式的实际应用（三）148第十五讲 立体几何趣
6、题1521、正多面体拼接构成新多面体面数问题1522、 球在平面上的投影156数学欣赏： 蜂房中的数学160课外阅读：生活中的立体几何162第十六讲 解析几何中的趣题1671、神奇的莫比乌斯圈1672、最短途问题169学海拾贝：世界数学难题欣赏哥尼斯堡七桥问题170第十七讲 高中数学学习方法及解数学题的策略1731、高中数学学习方法1732、解数学题的策略180学海拾贝：世界数学难题欣赏哥德巴赫猜想184第一讲 集合与生活1 集合概述1、集合定义集合论是德国数学家康托（cantor,18451918）在十九世纪七十年代开创的，后来，集合论的思想渗透到数学的各个分支，在现代数学中，越来越广泛而深
7、入的用到集合的概念，它已成为数学的逻辑基础。然而，究竟什么是集合？当初康托所指的集合无非是集体的意思，他是把集合当作一个日常用语而不是一个数学用语来使用。但是，人们不久发现，他的含糊的定义引起了难以克服的混乱，于是大家试图用公理系统来代替集合的定义。这个工作可以说是自1908年策莫洛（zeremelo,18711953）提出第一个公理系统时开始的。公理系统显然比传统的定义精密得多，但集合论的公理系统至今还不完备。因此目前集合论还不能认为是圆满的。2、罗素怪异与理发师悖论一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的头发由
8、谁理呢?”理发师顿时哑口无言。因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。这是一个著名的悖论，称为“罗素悖论”。这是由英国哲学家罗素提出来的，他把关于集合论的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。就在这时，集合论中接连出现了一
9、些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。此后，为了克服这些悖论，数学家们做了大量研究工作，由此产生了大量新成果，也带来了数学观念的革命。 3、集合运算： 例1：x|x为矩形x|x为菱形=x|x位正方形：几何图形性质运算。例2：x|x10x|0x110=x|1x10：数轴上数的运算。例3：解方程组：即两直线交点坐标：(x,y)|x-y+1=0且3x+y-9=1例4：解不等式组： 4、差集和补集的运算:A-B=由定义显然：A-BB-A例5：A= B= C= D=则有下列运算：A-B= C-B
10、= D-B=5、基数概念：设集A是一个有限集，则A里不同元素的个数叫做A的基数，记为n(A),设A和B是有限集，他们基数分别为n(A),n(B)表示，则有下面关系：n(AB)=n(A)+n(B)-n(AB)，n(AB)=n(A)+n(B)- n(AB)例6：某班学生50人，每人至少懂得一种外语（英语或日语），其中懂得英语的有40人，懂得日语的20人，问懂得英语和日语两种语言有多少人。解：设A=班上懂得英语的学生 B=班上懂得日语的学生 AB=班上的学生 AB=班上既懂得英语又懂日语的学生n(AB)= n(A)+n(B)-n(AB)=40+20-50=10 例7：某校组织文娱活动，参加音乐组有3
11、5人，参加舞蹈有34人，参加戏剧组有29人，其中有12人同时参加音乐组和舞蹈组，有14人同时参加舞蹈组和戏剧组，13人同时参加戏剧组和音乐组，且有5人同时参加三组，问参加文娱活动的人数有多少人？解：A=参加音乐组的学生 B=参加舞蹈组的学生C=参加戏剧组的学生n(A)=35 n(B)=34 n(C)=29 n(AB)=12 n(BC)=14 n(CA)=13 n(ABC)=5n(ABC)=35+34+29-12-13-14+5=64思考：现有2000盏电灯，编号为12000，每个灯的开关都为乒乓键，若第一次拉一下编号为2的倍数的灯、第二次再拉一下编号为3的倍数的灯、最后拉一下编号为5的倍数的灯
12、，问操作结束后，有几盏灯亮着，几盏灯灭着？ 2、“集合”与“模糊数学”教学目标：启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；教学过程：一、情境引入1965年，美国数学家扎德发表论文模糊集合，开辟了一门新的数学分支模糊数学。二、实例尝试，探求新知模糊数学是经典集合概念的推广。在经典集合论当中，每一个集合都必须由确定的元素构成，元素对于集合的隶属关系是明确的，这一性质可以用特征函数：来描述。扎德将特征函数改成所谓的“隶属函数”，这里A称为“模糊函数”，称为x对A的“隶属度”。经典集合论要求隶属度只能取0，1二值，模糊集合论则突破了这一限制，=1时表示百分之百隶属于A
13、；=0时表示不属于A还可以有百分之二十隶属于A，百分之八十不隶属于A等等，这些模糊集合为对由于外延模糊而导致的事物是非判断上的上的不确性提供了数学描述。由于集合论是现代数学的重基石,因此,模糊数学的概念对数学产生了广泛的影晌，人们将模糊集合引进数学的各个分支，从而出现了模糊拓扑、模糊群论、模糊测度与积分、模糊图论等等，它们一起形成通常所称的模糊数学， 模糊数学是20世纪数学发展中的新新事物，它在理论上还不够成熟，方法上也未臻统一，它将随着计算机科学的发展而进一步发展。例1、学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参加，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参加，那么这两次运动会这个班共有
14、多少名同学参赛？如果有5名同学两次运动会都参加了，问这两次运动会这个班共有多少名同学参赛？如果每一位同学都只参加一次运动会, 问这两次运动会这个班共有多少名同学参赛？解析：可能有的同学两次运动会都参加了，因此，不能简单地用加法解决这个问题。因为这5名同学在统计人数时，计算了两次，所以要减去,8+12-5=158+12=20.这两次运动会这个班共有20名同学参赛.三、本课小结通过“模糊数学”了解到数学的发展是靠坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神而进步的。四、作业下列各组对象能否形成集合？高一年级全体男生；高一年级全体高个子男生；所有数学难题；不等式的解；数学故事：华罗庚与苏步
15、青的人生华罗庚的故事温室里难开出鲜艳芬芳耐寒傲雪的花儿。人只有经过苦难磨练才有望获得成功！我国著名的数学家华罗庚爷爷的成功就得益于他的坎坷经历。少年时代的华罗庚家境贫寒，疾病缠身。18岁那年，华罗庚初中时代的王老师从外国学成归来，出任金坛中学校长。华罗庚是他得意的门生。他一心要接济华罗庚。不久，经王校长介绍，华罗庚到金坛中学做了个勤杂工，负责收发信件、报纸做杂务。华罗庚做勤杂工时，手脚勤快，每天忙忙碌碌地干完事就捧起数学课本学习。王校长看在眼里，喜在心里。他为这位勤奋肯学的年轻人而感到骄傲。 真是天有不测风雨。华罗庚被一场伤寒病拖垮，医生作出“无法医救”的诊断。全家人悲痛万分，王校长更是觉得十
16、分惋惜。但是死神终究没有把他拽走，他又奇迹般地活了过来，只是左腿僵硬，落下了终身残疾。 华罗庚一瘸一跛地又去上工了，做的还是老本勤杂工。一天的劳累，双腿已疼痛难忍，但是他咬咬牙，仍然沉浸在数学王国的遨游中，把疼痛抛到九霄云外去了。对华罗庚来说，枯燥无味的阿拉伯数字就象一组奇妙无比的音符，草稿纸的运算符号好比音乐演奏一样，给他带来了无穷的乐趣。他坚信，只要顽强地坚持下去，自学也能摘取数学王冠。由于他信心百倍地不懈努力，终于有一天，他的一篇数学论文发表了。机遇垂青这位下苦工夫的热心人。清华大学的数学教授熊庆来得知华罗庚的研究成果和不幸遭遇后，邀请华罗庚到清华大学工作，这就是为他成为数学家提供了广阔
17、舞台。这就是至今成为人们美谈的熊庆来睿智识英才的故事。 1985年，75岁的华罗庚爷爷带着一丝微笑和欣慰离开了他追求了一生的数学事业。他曾叮嘱人们不要忘记他曾是一位勤杂工。 苏步青的故事苏步青1902年9月出生在浙江省平阳县的一个山村里。虽然家境清贫，可他父母省吃俭用，拼死拼活也要供他上学。他在读初中时，对数学并不感兴趣，觉得数学太简单，一学就懂。可量，后来的一堂数学课影响了他一生的道路。 那是苏步青上初三时，他就读浙江省六十中来了一位刚从东京留学归来的教数学课的杨老师。第一堂课杨老师没有讲数学，而是讲故事。他说：“当今世界，弱肉强食，世界列强依仗船坚炮利，都想蚕食瓜分中国。中华亡国灭种的危险
18、迫在眉睫，振兴科学，发展实业，救亡图存，在此一举。天下兴亡，匹夫有责，在座的每一位同学都有责任。”他旁征博引，讲述了数学在现代科学技术发展中的巨大作用。这堂课的最后一句话是：“为了救亡图存，必须振兴科学。数学是科学的开路先锋，为了发展科学，必须学好数学。”苏步青一生不知听过多少堂课，但这一堂课使他终身难忘。 杨老师的课深深地打动了他，给他的思想注入了新的兴奋剂。读书，不仅为了摆脱个人困境，而是要拯救中国广大的苦难民众；读书，不仅是为了个人找出路，而是为中华民族求新生。当天晚上，苏步青辗转反侧，彻夜难眠。在杨老师的影响下，苏步青的兴趣从文学转向了数学，并从此立下了“读书不忘救国，救国不忘读书”的
19、座右铭。一迷上数学，不管是酷暑隆冬，霜晨雪夜，苏步青只知道读书、思考、解题、演算，4年中演算了上万道数学习题。现在温州一中（即当时省立十中）还珍藏着苏步青一本几何练习薄，用毛笔书写，工工整整。中学毕业时，苏步青门门功课都在90分以上。 17岁时，苏步青赴日留学，并以第一名的成绩考取东京高等工业学校，在那里他如饥似渴地学习着。为国争光的信念驱使苏步青较早地进入了数学的研究领域，在完成学业的同时，写了30多篇论文，在微分几何方面取得令人瞩目的成果，并于1931年获得理学博士学位。获得博士之前，苏步青已在日本帝国大学数学系当讲师，正当日本一个大学准备聘他去任待遇优厚的副教授时，苏步青却决定回国，回到
20、抚育他成长的祖任教。回到浙大任教授的苏步青，生活十分艰苦。面对困境，苏步青的回答是“吃苦算得了什么，我甘心情愿，因为我选择了一条正确的道路，这是一条爱国的光明之路啊！” 这就是老一辈数学家那颗爱国的赤子之心 第二讲 函数中的趣题1、 一份购房合同教学目标：能利用一次函数及其图象解决简单的实际问题，发展学生数学应用能力.教学过程：一、情境引入最早把函数（function）这个词用作数学术语的数学家是莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716，德国数学家），但其含义和现在不同，他把函数看成是像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等所有与曲线上的点有关的
21、量. 1718年，瑞士数学家约翰。贝努利（John Bernoulli，1667-1748，欧拉的数学老师）将函数概念公式化，给出了函数的一个定义，同时第一次使用了变量这个词。他写到：变量的函数就是变量和变量以任何方式组成的量。他的学生，瑞士数学家欧拉（Leonard Euler，1707-1783，被称为历史上最多产的数学家）将约翰。贝努利的思想进一步解析化，他在无限小分析引论中将函数定义为：变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式，欧拉的函数定义在18世纪后期占据了统治地位。二、实例尝试，探求新知例1、陈老师急匆匆的找我看一份合同，是一份下午要签字的购房合同。内容是陈老
22、师购买安居工程集资房72m2,单价为每平方米1000元，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担。房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为一年，等额付款，分付10次，10年后付清，年利率为7.5%, 房地产开发公司要求陈老师每年付款4200元，但陈老师不知这个数是怎样的到的。同学们你们能帮陈老师算一算么？解析：陈老师说自己到银行咨询，对方说算法是假设每一年付款为a元,那么10年后第一年付款的本利和为1.0759a元，同样的方法算得第二年付款的本利和为1.0758a元、第三年为1.0757a元，第十年为a元，然后把这10个本利和加起来等于余额部分按年利率为7.5%计算
23、10年的本利，即1.0759a+1.0758a+1.0757a+a =(721000-28800-14400)1.07510,解得的a的值即为每年应付的款额。他不能理解的是自己若按时付款，为何每期的付款还要计算利息？我说银行的算法是正确的。但不妨用这种方法来解释：假设你没有履行合同，即没有按年付每期的款额，且10年中一次都不付款，那么第一年应付的款额a元到第10年付款时，你不仅要付本金a元，还要付a元所产生的利息，共为1.0759a元，同样，第二年应付的款额a元到第10年付款时应付金额为1.0758a元，第三年为1.0757a元，第十年为a元，而这十年中你一次都没付款，与你应付余款721000
24、-28800-14400在10年后一次付清时的本息是相等的。仍得到1.0759a+1.0758a+1.0757a+a =(721000-28800-14400)1.07510用这种方法计算的a值即为你每年应付的款额。例2、经调查得知，若我们把每日租金定价为160元，则可客满；而租金每涨20元，就会失去3位客人。每间住了人的客房每日所需服务、维修等项支出共计40元。我们该如何定价才能赚最多的钱？解析：日租金360元。虽然比客满价高出200元，因此失去30位客人，但余下的50位客人还是能给我们带来360*50=18000元的收入；扣除50间房的支出40*50=2000元，每日净赚16000元。而客
25、满时净利润只有160*80-40*80=9600元。三、本课小结通过本课学习我们认识到，生活是多面的，我们在研究一个问题时，可以多角度、多层次的思考，如若正面不行，亦可利用反面思考四、作业家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层臭氧含量呈指数函数型变化，满足关系式，其中是臭氧的初始量，是所经过的时间随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？多少年后将会有一半的臭氧消失？2、孙悟空大战牛魔王教学目标：体会数学在实际问题中的应用价值教学过程：一、故事引入孙悟空大战牛魔王。牛魔王不是孙悟空的对手，力倦神疲，败阵而逃。可是，牛魔王不简单，他会变。他见悟空紧紧追赶，便随身变成一只白鹤，腾空飞去。悟
26、空一见，立刻变成一只丹凤，紧追上去。牛魔王一想：凤是百鸟之王，我这只白鹤那里斗得过这个丹凤？！他无可奈何，只好飞下山崖，变作一只香獐，装着悠闲的样子，在崖前吃草。悟空心里想：好牛精，你休想混过我老孙的火眼金睛！他马上变作一只饿虎，猛扑过去。牛魔王心慌，赶快变了个狮子，来擒拿饿虎。悟空看得分明，就地一滚，变成一只巨象，撒开长鼻，去卷那头狮子。牛魔王拿出绝招，现出原形，原来是一头大白牛。这白牛两角坚似铁塔，身高八千余丈，力大无穷。他对悟空说：“你还能把我怎样？”只见悟空弯腰躬身，大喝一声“长”！立即身高万丈，手持大铁棒朝牛魔王打去。牛魔王见势不妙，只好复了本象相，急忙逃去。孙悟空与牛魔王杀得惊天动
27、地，惊动了天上的众神，前来帮助围困牛魔王。牛魔王困兽犹斗，又变成一头大白牛，用铁角猛顶托塔天王，被哪吒用火轮烧得大声吼叫，最后被天王用照妖镜照定，动弹不得，只得连声求饶，献出芭蕉扇，扇灭火焰山烈火，唐僧四人翻越山岭，继续往西天取经.二、实例尝试，探求新知这段故事很吸引人，而且它和初中代数中所学的函数概念有关。首先，就从这个“变”字谈起。孙悟空和牛魔王都神通广大，都能变。他们能变飞禽、走兽；大喝一声，身躯能“顶天立地”，也可变成一个小虫儿。当然，这些都是神话，不是真情实事。不过，世界上一切事物的确无有不在变化着的。既然物质在变化，表示它们量的大小的数，自然也要随着而变化了。这就告诉我们，要从变化
28、的观点来研究数和量以及它们之间的关系。其次，我们再来看一看，是不是所有的量在任何情况下，都始终变化着的呢？不是的。研究问题的某个特定过程中，在一定的范围内，有的数量是保持不变的。或者，虽然它也在变，但变化微小，我们把它看成是不变的。还是用唐僧师徒来做例子。孙悟空的本事最大，能七十二变；唐僧最没用，一点也不会变，所以妖怪一看就认得他。都想吃他的肉。在代数中，把研究某一问题过程中不断变化着的量叫做变量，孙悟空就好象是一个“变量”；把一定范围内保持不变的量叫做常量，唐僧就好象是一个“常量”。例1、1202年，意大利比萨的数学家斐波那契(约1170年约1250年)在他所著的算盘书里提出了这样一个有趣的
29、问题：假定1对一雌一雄的大兔，每月能生一雌一雄的1对小兔，每对小兔过两个月就能长成大兔。那么，若年初时有1对小兔，按上面的规律繁殖，并且不发生死亡等意外情况，1年后将有多少对兔子？解析：第一个月时，有小兔1对；第二个月时，小兔还没有长大，因此兔子数仍是1对；第三个月时，小兔已长成大兔，并且生下1对小兔，这时兔子数是2对；第四个月时，原来的兔子又生了1对小兔，但上个月刚生的小兔尚未成熟，这时兔子数是3对；第五个月时，原来的兔子又生了1对小兔，第三个月出生的小兔这时也已长大并且也生了1对小兔，因此共有兔子5对；一直这样推算下去，可以得到下面的表：如果仔细观察，就不难发现其中的规律：从第三个月份起，
30、每个月的兔子对数都是前两个月的兔子对数之和。表中兔子对数构成的一列数1，1，2，3，5，8就称为斐波那契数列。斐波那契数列有很有趣的性质和重要的应用。例2、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. 解析：假设果园增种x棵橙子树,果园橙子的总产量为y(个)，依题意，果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子. y=(100+x)(600-5x) =-5x+100x+60000. =-5(x-10)2+60500即种
31、：100+10=110棵时，产量最高是：60500个橙子。三、本课小结通过本课学习我们知道了，不仅西游记和我们的数学还很有关系其实，只要我们留意，到处都充满着数学的原理。四、作业某市20名下岗职工在近郊承包50亩土地办农场这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表： 作物品种 每亩地所需职工数 每亩地预计产值 蔬菜 1/2 1100元 烟叶 1/3 750元 小麦 1/4 600元 请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20名职工都有工作，且使农作物预计总产值最多。（设工人数） 第三讲 三角函数的趣题1、 直角三角形 教学目标：探索直角三角形在生活中应用，
32、进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用。教学过程：一、情境引入直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.二、例题分析例1、海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?解析：过A作BC的垂线，交B
33、C于点D.得到RtABD和RtACD，从而BD=ADtan55，CDADtan25，由BD-CDBC，又BC20海里.得 ADtan55-ADtan2520. AD(tan55-tan25)20， AD=20.79(海里).这样AD20.79海里10海里，所以货轮没有触礁的危险例2、如图，某货船以20海里时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里时的速度由A向北偏西60方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.(1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.(2)为避免受到台风的
34、影响，该船应在多少小时内卸完货物?解析：(1)过点B作BDAC.垂足为D.依题意，得BAC30，在RtABD中，BD=AB=2016=160200， B处会受到台风影响.(2)以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于E、F，由勾股定理可求得DE=120AD=160AE=AD-DE=160 -120， =3.8(小时).因此，陔船应在3.8小时内卸完货物.练习：一个人从山底爬到山顶，需先爬40的山坡300 m，再爬30的山坡100 m，求山高.(结果精确到0.01m).三、本课小结本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和解决实际问题的能力.四、作业如图，RtAB
35、C是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号).2、月平均气温问题教学目标：选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.教学过程：一、谈话导入数学的应用，随着人类的进步和科技的发展，已经渗透到社会的各个方面，“数学已无处不在”。下面我们看看三角函数在生活中有哪些应用。二、典例分析例1、受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞，卸货后落潮时返回海洋，某港口水的深度y（米）是时间t（0t24
36、，单位：时）的函数，记作y=f(t)，下面是该港口在某季节每天水深的数据。t（时）0361215182124y（米）10.013.09.910.013.010.17.010.0根据数据求出y=f(t)的拟合函数，y=3sint+10,一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时，认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多少时间？（忽略进出港所需时间）解析：依题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5米，3sint+1011.5，sint，2kt2k kZ,得12k1
37、t12k5 kZ，在同一天内，取k=0或1，1t5或13t17，所以该船最早能在凌晨1时进港，下午17时退出，在港口内最多停留16小时。例2、某工厂因生产需要，要生产1200个如图形状的三角形铁片，已知在中，sin+cos=，AC=2cm，AB=3cm，问要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积（精确到1 cm2）。 解析： sin+cos=， (sin+cos). sincos. 0180， sin，cos0. (sin-cos)=1-sincos=， sin-cos. +，得sin=，SABC=ACABsin23(cm) 要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积为：12003477(cm) 答：所
38、以要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积约3477cm2.三、本课小结三角函数不但应用于数学的各个分支,也广泛应用于其他的学科及社会生产实践中, .在实际生活中,也会经常碰到一些需要运用三角函数来解决的问题,特别是一些线段的度量和角的计算等问题我们要灵活运用四、作业把一段半径为R的圆木，锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法，才能使横截面积最大？课外阅读：导航的双曲线我们小时侯都曾梦想，长大以后要当上船长就好了。 在茫茫的大海上，惊涛骇浪，你能顺利地指挥着船队驶向前方吗?好，让我们的双曲线来帮助你吧。它是大海的导航员。先来看一看原理。假如你站在广场上，广场的东西两侧各装有一只喇叭，并且放着欢快的音乐：
39、北京的京山上光芒照四方，毛主席就是那金色的太阳，多么温暖我站在广场上，听见第一只喇叭把“金色的太阳”传到耳朵后的半秒钟，又听到了第二声“金色的太阳”。由于两个喇叭离耳朵的远近不同，所以产生了听觉上的时间差。再换一个地方，是否还有这样歌声相差半秒的情形呢?实际上，只要人站的位置与两只喇叭的距离差与第一次一样就可以了 。因此可以找到很多这样的点。这些点就构成了双曲线的一支。轮船航行在海上时，它就处于人的位置。岸上有两个无线电发射台，用电波代替了喇叭里传出的音乐。轮船行驶在某一位置时，就可以从接收的电波的相位差，测出轮船与电台的距离差，由此确定了一条以两个电台为焦点的双曲线。若再和另一对电台联系，可
40、以确定出另一条双曲线，两条双曲线有一个交点，船就处于这一点上。这一切都是在一瞬间完成的，因为有很多现代化的工具来帮助我们，你明白了吗?船长们就是这样来导航的。第四讲 线性规划与最优化1、线性规划概述一：什么是线性规划方法?线性规划方法是在第二次世界大战中发展起来的一种重要的数量方法，线性规划方法是企业进行总产量计划时常用的一种定量方法。线性规划是运筹学的一个最重要的分支，理论上最完善，实际应用得最广泛。主要用于研究有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源作出最佳方式地调配和最有利地使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳的经济效益。由于有成熟的计算机应用软件的支持，采用线性规划模型安排生产
41、计划，并不是一件困难的事情。在总体计划中，用线性规划模型解决问题的思路是，在有限的生产资源和市场需求条件约束下，求利润最大的总产量计划。该方法的最大优点是可以处理多品种问题。二：线性规划模型的适用性线性规划模型用在原材料单一、生产过程稳定不变、分解型生产类型的企业是十分有效的，如石油化工厂等。对于产品结构简单、工艺路线短、或者零件加工企业，有较大的应用价值。需要注意的是，对于机电类企业用线性规划模型只适用于作年度的总生产计划，而不宜用来做月度计划。这主要与工件在设备上的排序有关，计划期太短，很难安排过来。三：线性规划模型的结构企业是一个复杂的系统，要研究它必须将其抽象出来形成模型。如果将系统内
42、部因素的相互关系和它们活动的规律用数学的形式描述出来，就称之为数学模型。线性规划的模型决定于它的定义，线性规划的定义是：求一组变量的值，在满足一组约束条件下，求得目标函数的最优解。根据这个定义，就可以确定线性规划模型的基本结构。变量 变量又叫未知数，它是实际系统的未知因素，也是决策系统中的可控因素，一般称为决策变量，常引用英文字母加下标来表示，如Xl，X2，X3，Xmn等。目标函数 将实际系统的目标，用数学形式表现出来，就称为目标函数，线性规划的目标函数是求系统目标的数值，即极大值，如产值极大值、利润极大值或者极小值，如成本极小值、费用极小值、损耗极小值等等。约束条件 约束条件是指实现系统目标
43、的限制因素。它涉及到企业内部条件和外部环境的各个方面，如原材料供应、设备能力、计划指标、产品质量要求和市场销售状态等等，这些因素都对模型的变量起约束作用，故称其为约束条件。约束条件的数学表示形式为三种，即、。线性规划的变量应为正值，因为变量在实际问题中所代表的均为实物，所以不能为负。在经济管理中，线性规划使用较多的是下述几个方面的问题：投资问题确定有限投资额的最优分配，使得收益最大或者见效快。计划安排问题确定生产的品种和数量，使得产值或利润最大，如资源配制问题。任务分配问题分配不同的工作给各个对象(劳动力或机床)，使产量最多、效率最高，如生产安排问题。下料问题如何下料，使得边角料损失最小。运输
44、问题在物资调运过程中，确定最经济的调运方案。库存问题如何确定最佳库存量，做到即保证生产又节约资金等等。应用线性规划建立数学模型的三步骤：明确问题，确定问题，列出约束条件。收集资料，建立模型。模型求解(最优解)，进行优化后分析。其中，最困难的是建立模型，而建立模型的关键是明确问题、确定目标，在建立模型过程中花时间、花精力最大的是收集资料。四、运用线性规划模型进行总生产计划时的问题1、线性规划模型考虑的因素可能不全面，实际中有些情况没有被考虑到，这就使得线性规划模型过于理想化； 2、实际运用线性规划模型时，虽然一些因素或约束条件被考虑到了，但是由于这些因素或约束条件不易量化或求得（如进行总生产计划
45、常需考虑到的能源单耗就不易求得）时，线性规划模型的运用和有效性因而受到了一定的限制；3、对一些基础管理不善的企业而言，模型中的单位产品资源消耗系数a很难得到； 4、目标函数中的产为成本系数c实际上是个变量，他随计划的数量结构和品种结构而变。这些问题给机械行业应用线性规划模型带来许多困难，如处理不好，求得的结果的可靠性会很低的。2、数学建模线性规划模型一：问题的提出在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果。例1 若需在长为4000mm的圆钢上 ，截出长为698mm和518mm两种毛坯，问怎样截取才能使残料最少？初步分析 可以先考虑两种“极端”的情况：全部截出长为698mm的甲件，一共可截出5件，残料长为510mm；全部截出长为518mm的乙件，一共可截出7件，残料长为374mm。由此可以想到，若将 x个甲件和y 个乙件搭配起来下料，是否可能使残料减少？把截取条件数学化地表示出来就是：698x+518y4000x ，y都是非负整数目标是使：z =（材料利用率）尽可能地接近或等于1。（尽可能地大）该问题可用数学模型表示为：目标函数：z =满足约束
