1、已知点已知点A A（1 1，a a），圆），圆x x2 2+y y2 2=4.=4.（1 1）若过点）若过点A A的圆的切线只有一条，求的圆的切线只有一条，求a a的值及的值及 切线方程；切线方程；（2 2）若过点）若过点A A且在两坐标轴上截距相等的直线且在两坐标轴上截距相等的直线 被圆截得的弦长为被圆截得的弦长为2 2 ，求，求a a的值的值.解解（1 1）由于过点）由于过点A A的圆的切线只有一条，则点的圆的切线只有一条，则点 A A在圆上，故在圆上，故1 12 2+a a2 2=4=4，a a=.当当a a=时时,A A（1 1，）,切线方程为切线方程为x x+y y-4=0-4=0；
2、当当a a=-=-时时,A A（1,-1,-）,切线方程为切线方程为x x-y y-4=0-4=0，a a=时，切线方程为时，切线方程为x x+y y-4=0,-4=0,a a=-=-时，切线方程为时，切线方程为x x-y y-4=0.-4=0.333333333333(2)(2)设直线方程为设直线方程为x x+y y=b b,由于过点由于过点A A，1+1+a a=b b，a a=b b-1.-1.又圆心到直线的距离又圆心到直线的距离d d=+3=4 +3=4，b b=,a a=-1.-1.,2b22 b22题型四题型四 直线与圆的综合应用直线与圆的综合应用【例例4 4】（1212分）已知过
3、点分）已知过点A A（0 0，1 1）且斜率为）且斜率为k k 的直线的直线l l与圆与圆C C：（：（x x-2-2）2 2+(+(y y-3)-3)2 2=1=1相交于相交于M M、N N 两点两点.（1 1）求实数）求实数k k的取值范围；的取值范围；（2 2）求证：）求证：为定值；为定值；（3 3）若）若O O为坐标原点，且为坐标原点，且 =12,=12,求求k k的值的值.AMOMONAN（1 1）解解 方法一方法一 直线直线l l过点过点A A（0 0，1 1）且斜率）且斜率为为k k，直线直线l l的方程为的方程为y y=kxkx+1.+1.2 2分分将其代入圆将其代入圆C C：
4、（：（x x-2-2）2 2+(+(y y-3)-3)2 2=1,=1,得（得（1+1+k k2 2）x x2 2-4(1+-4(1+k k)x x+7=0.+7=0.由题意：由题意：=-4-4（1+1+k k）2 2-4-4（1+1+k k2 2）7 70 0，得得 4 4分分.374374k方法二方法二 同方法一得直线方程为同方法一得直线方程为y y=kxkx+1,+1,即即kxkx-y y+1=0.+1=0.2 2分分又圆心到直线距离又圆心到直线距离d=d=4 4分分（2 2）证明证明 设过设过A A点的圆的切线为点的圆的切线为ATAT，T T为切点，为切点，则则|ATAT|2 2=|=
5、|AMAM|ANAN|，|ATAT|2 2=（0-20-2）2 2+（1-31-3）2 2-1=7-1=7，|=7.|=7.6 6分分根据向量的运算：根据向量的运算：=|cos 0 =|cos 0=7=7为定值为定值.8.8分分,122113222kkkk374374,11222kkkd解得AMANAMANAMAN（3 3）解解 设设M M（x x1 1，y y1 1），），N N（x x2 2，y y2 2），则由得），则由得 =x x1 1x x2 2+y y1 1y y2 2=（1+1+k k2 2）x x1 1x x2 2+k k（x x1 1+x x2 2）+1+1=k k=1=1（
6、代入检验符合题意）（代入检验符合题意）.12 12分分,17144221221kxxkkxx1010分分OMON1281)1(42kkk认真观察观察结果两个圆的交点个数？两个圆的交点个数？圆与圆的圆与圆的 位置关系位置关系O1O2R+rO1O2=R+rR-rO1O2R+rO1O2=R-r0O1O2R+r（2）两圆外切）两圆外切d=R+r（3）两圆相交）两圆相交R-rdR+r （rR）（4）两圆内切）两圆内切d=R-r (rR)（5）两圆内含）两圆内含0dR-r (rR)2、两圆相切、两圆相切,相交时的对称性相交时的对称性如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上如果两个圆相切，那么切点一定在连心线
7、上.如果两圆相交时，连心线垂直平分公共弦如果两圆相交时，连心线垂直平分公共弦两圆的位置关系两圆的位置关系相切相切相交相交相离相离外离外离内含内含外切外切内切内切相交相交归归 纳纳问题探究 2.求经过点求经过点M(3,-1),且与圆且与圆 切于点切于点N(1,2)的圆的方程。的圆的方程。222650 xyxyyOCMNGx求圆求圆G的圆心和半径的圆心和半径r=|GM|圆心是圆心是CN与与MN中垂线的交点中垂线的交点 两点式求两点式求CN方程方程点点(D)斜斜(kDG)式求中垂线式求中垂线DG方程方程D,1DGMND kk 中点公式求()/()MNMNMNkyyxx8.8.（20092009四川理
8、，四川理，1414）若若O O：x x2 2+y y2 2=5=5与与O O1 1:(x x-m m)2 2+y y2 2=20(=20(m mR R)相交于相交于A A、B B两点，且两圆两点，且两圆 在点在点A A处的切线互相垂直，则线段处的切线互相垂直，则线段ABAB的长度是的长度是 .解析解析 如图所示，在如图所示，在R Rt tOOOO1 1A A中，中，OAOA=，O O1 1A A=2 =2 ，OOOO1 1=5=5，ACAC=ABAB=4.=4.4 455,2552512.12.如右图所示，已知圆如右图所示，已知圆 C C1 1:x x2 2+y y2 2-2-2mxmx-2-
9、2nyny+m m2 2-1-1 =0 =0和圆和圆C C2 2：x x2 2+y y2 2+2+2x x+2+2y y -2=0-2=0交于交于A A、B B两点且这两点且这 两点平分圆两点平分圆C C2 2的圆周的圆周.求圆求圆C C1 1的圆心的圆心C C1 1的轨迹方程，并求出当圆的轨迹方程，并求出当圆C C1 1的的 半径最小时圆半径最小时圆C C1 1的方程的方程.解解 圆圆C C1 1：（：（x x-m m）2 2+（y y-n n）2 2=n n2 2+1+1，圆圆C C2 2：（：（x x+1+1）2 2+（y y+1+1）2 2=4=4，而而C C1 1C C2 2ABAB
10、且且ABAB为圆为圆C C2 2直径直径.|ACAC2 2|=2|=2，又，又|ACAC1 1|2 2=1+=1+n n2 2，|ACAC2 2|2 2=4=4，|C C1 1C C2 2|2 2=（m m+1+1）2 2+（n n+1+1）2 2.（m m+1+1）2 2=-2=-2（n n+2+2）即为点）即为点C C1 1的轨迹方程的轨迹方程.又又-2-2（n n+2+2）0 0，n n-2-2，当当n n=-2=-2时，时，m m=-1=-1，=，此时圆此时圆C C1 1的方程为（的方程为（x x+1+1）2 2+(+(y y+2)+2)2 2=5.=5.2cr21crmin)(1cr5 返回返回
