1、第第7 7章章 机电系统的数学建模机电系统的数学建模 机电系统主要是由机械系统和电气系统构成的。通常机电系统主要是由机械系统和电气系统构成的。通常数学建模可分为电气和机械两部分进行。在数学建模中要数学建模可分为电气和机械两部分进行。在数学建模中要分别考虑各自系统的特点及其建模方法，再综合建立系统分别考虑各自系统的特点及其建模方法，再综合建立系统模型。模型。本节的知识将通过实例讨论建模问题。本节的知识将通过实例讨论建模问题。例例7.1 7.1 建立如图所示的电枢控制式直流电动机运动模型。建立如图所示的电枢控制式直流电动机运动模型。)(teiaRaLmeI C 解解 （1）系统工作原理分析：）系统
2、工作原理分析：该系统由一个电动机和一套由该系统由一个电动机和一套由转动惯量转动惯量I 及旋转阻尼及旋转阻尼 组成。组成。电动机电枢电阻和电感不可忽电动机电枢电阻和电感不可忽略，考虑串联在电回路中。机略，考虑串联在电回路中。机械系统中转动惯量与阻尼具有械系统中转动惯量与阻尼具有相同的运动速度，按并联处理。相同的运动速度，按并联处理。C （2）系统输入变量为）系统输入变量为 ，输出变量为，输出变量为 。设中间变量。设中间变量)(tei.emaTmaKeiKTTei 电动机与机械轴耦合：电动机与机械轴耦合：电机转矩；电机转矩；电动机感应电动势；电动机感应电动势；通过电枢绕组的电流；通过电枢绕组的电流
3、；（3）根据各部分工作原理列出运动方程）根据各部分工作原理列出运动方程iTeTaaaaTaemaTmaaaaieKKKCRIRCLILCIKiCITKeiKTedtdiLRie)()(153(5)(1 42(4)(3)(2)(1).）得：）得：）带入（）带入（）（）（）得：）得：）带入（）带入（机械系统：机械系统：耦合关系：耦合关系：电气回路：电气回路：)()()(sessG 传递函数为：传递函数为：s)KKCR(s)IRCL(IsLKsGeTaaaaT 23)(a.在稳态情况下，加在电枢上的电压主要被什么平衡？在稳态情况下，加在电枢上的电压主要被什么平衡？b.在过渡过程中，电枢电流如何变化呢
4、？在过渡过程中，电枢电流如何变化呢？c.在稳态过程中电枢电流与负载电流是什么关系？在稳态过程中电枢电流与负载电流是什么关系？d.在过渡过程中哪部分电流产生了加速度？在过渡过程中哪部分电流产生了加速度？e.电动机转速又是如何建立起来的呢？电动机转速又是如何建立起来的呢？对直流伺服电动机数学模型的物理认识对直流伺服电动机数学模型的物理认识jwLR 1emCSJCeC1UdEILnId+-+-直流电动机的动态结构图直流电动机的动态结构图 设一台直流伺服电动机拖动一个转动惯量为设一台直流伺服电动机拖动一个转动惯量为1kgm2的的负载，设其额定电压为负载，设其额定电压为220V，额定电流为，额定电流为4
5、0A，电枢回路，电枢回路的电阻为的电阻为1，电枢回路电感为，电枢回路电感为800mH，额定转矩为，额定转矩为20Nm，额定转速为，额定转速为1200rpm，转矩系数为，转矩系数为0.5，反电动，反电动势系数为势系数为0.18，摩擦力矩等常值负载转矩为，摩擦力矩等常值负载转矩为1Nm，试仿真，试仿真一下在突加一下在突加220V直流电压情况下该伺服电动机各参数的变直流电压情况下该伺服电动机各参数的变化过程。化过程。建立仿真建立仿真模型文件模型文件转速过渡过程转速过渡过程电枢电流过渡过程电枢电流过渡过程反电动势过渡过程反电动势过渡过程例例7.27.2 建立机械传动（齿轮传动）系统数学模型建立机械传动
6、（齿轮传动）系统数学模型 如图所示系统，由电动机通过齿轮传动驱动负载。忽略齿轮轴如图所示系统，由电动机通过齿轮传动驱动负载。忽略齿轮轴柔性、齿轮侧隙、齿侧弹性变形。每个齿轮的齿数与齿轮半径成比柔性、齿轮侧隙、齿侧弹性变形。每个齿轮的齿数与齿轮半径成比例，求关于输入轴的等效惯量和等效阻尼以及关于输出轴的等效惯例，求关于输入轴的等效惯量和等效阻尼以及关于输出轴的等效惯量和等效阻尼。齿轮量和等效阻尼。齿轮1的齿数和齿轮的齿数和齿轮2的齿数分别为的齿数分别为Z1和和Z2，齿轮，齿轮1和齿轮和齿轮2的角速度分别是的角速度分别是1和和2。齿轮齿轮2的转动惯量和粘性组尼系数的转动惯量和粘性组尼系数分别用分别
7、用J1、C1和和J2、C2表示。表示。1 2)1(输入轴输入轴)(11Z齿齿轮轮)(22Z齿齿轮轮)2(输出轴输出轴mT扭扭矩矩输输入入LT扭扭矩矩负负载载 通过牛顿定律，得以下方程通过牛顿定律，得以下方程mTTCJ 1111.1 2222.2TTCJL 式中：式中：T1是由齿轮传动引起的齿轮是由齿轮传动引起的齿轮1上的负载转矩，上的负载转矩，T2是传递到齿轮是传递到齿轮2的的转矩。转矩。mLmLTTZZCZZCJZZJZZTTCJZZCJTTZZTTTTT 211222111.2221121212221.121111.12121212212211 )(，得到，得到，消去上式的，消去上式的）（
8、因为因为得下式得下式和和消去前面两式中的消去前面两式中的或或变，有变，有由于齿轮传动的功率不由于齿轮传动的功率不。式中式中为为的表达式，方程可简化的表达式，方程可简化和等效阻尼和等效阻尼根据等效惯量根据等效惯量的效应决定于齿数比。的效应决定于齿数比。和等效阻尼和等效阻尼对等效惯量对等效惯量和和和等效粘性阻尼系数为和等效粘性阻尼系数为，齿轮传动的等效惯量，齿轮传动的等效惯量因此，对轴因此，对轴21111.1111122222111222111/,1ZZnTnTCJCJCJCJCZZCCJZZJJmLeqeqeqeqeqeqeqeq mLeqeqeqeqTnTCJCZZCCJZZJJ1 ,2222
9、.2121222121222 方程可简化为方程可简化为和等效粘性阻尼系数为和等效粘性阻尼系数为，齿轮传动的等效惯量，齿轮传动的等效惯量对轴对轴例例7.37.3 建立如图所示位置随动系统的数学模型建立如图所示位置随动系统的数学模型r 1 2 sKEsuauaibEaRaLM常常数数 fim C 1Z2ZLJLf 解解 （1）系统工作原理分析：该系统是一个由综合检测元件（自）系统工作原理分析：该系统是一个由综合检测元件（自整角机）、放大器、执行电动机、减速装置和负载等部分构成的负整角机）、放大器、执行电动机、减速装置和负载等部分构成的负反馈闭环位置随动系统；反馈闭环位置随动系统；（2）输入变量为）
10、输入变量为 ，输出变量为，输出变量为 ；（3）根据各部分工作原理列出各机电元件的运动方程；）根据各部分工作原理列出各机电元件的运动方程；aK)(1r)(2C，忽略负载力矩）和总粘性摩擦系数的总转动惯量负载（折算至电机轴上为反电动势系数。为转矩系数的电感和电阻，分别为电动机电枢绕组和式中：伺服电机：为放大器增益。式中，放大器：自整角机：fJKCRLiCTdtdfdtdJTdtdKEEdtdiLRiuKKtututtKttKubmaaammmmmmbbbaaaaaaasacrsss,)()()()()()(222122/ifffiJJJLmLm21/ZZi 对上述各式进行拉氏变换，并消去中间变量，
11、可得到系统的对上述各式进行拉氏变换，并消去中间变量，可得到系统的开环传递函数为开环传递函数为)()()()(bmaamasrCKCfJsRsLsiCKKsssG )()()()()()()(/,/,)1()(,/,/,22211tKtKdttddttdTKssTKsssFJTFKKsTsKsGRKCfFiRCKKKLrcccMMrcMMabmamasa 其对应的微分方程为其对应的微分方程为是是。相应的闭环传递函数。相应的闭环传递函数其中，其中，化为化为上述开环传递函数可简上述开环传递函数可简又令又令如果忽略电枢电感如果忽略电枢电感例例7.47.4 打印机皮带驱动器打印机皮带驱动器 常用低价位打
12、印机通常配有皮带驱动器，用于打印头沿打印页常用低价位打印机通常配有皮带驱动器，用于打印头沿打印页面横向移动，下图给出一个装有直流电机的皮带驱动式打印机的实面横向移动，下图给出一个装有直流电机的皮带驱动式打印机的实例。在该系统中，光传感器用来测定打印头的位置，皮带张力变化例。在该系统中，光传感器用来测定打印头的位置，皮带张力变化用于调节皮带的实际弹性状态。本例的目的是建立系统状态空间数用于调节皮带的实际弹性状态。本例的目的是建立系统状态空间数学模型。学模型。打印机皮带驱动器系统打印机皮带驱动器系统 下图给出了皮带轮驱动系统的基本模型。模型中皮带弹性系数下图给出了皮带轮驱动系统的基本模型。模型中皮
13、带弹性系数为为k，滑轮半径为，滑轮半径为r，电机轴转动角为，电机轴转动角为p，打印头质量为，打印头质量为m，位移为，位移为y(t t)。光传感器用于测量位移。光传感器用于测量位移y，其输出电压为，其输出电压为v1,且且v1=k1y。控制。控制器输出电压为器输出电压为v2，它是，它是v1的函数。假设的函数。假设v2与与v1具有线性关系：具有线性关系：。，则，则由于系统只有速度反馈由于系统只有速度反馈0 313122 kvkdtdvkv打印机皮带驱动器模型打印机皮带驱动器模型 电机和滑轮的转动惯量之和为电机和滑轮的转动惯量之和为J=J 电机电机+J 滑轮滑轮，电机的绕组磁场，电机的绕组磁场电感忽略
14、不计电感忽略不计L0，绕组电阻为，绕组电阻为R，电机系数为，电机系数为Km。下面我们来推导系统的运动方程。注意到下面我们来推导系统的运动方程。注意到 y=rp，可知皮带张，可知皮带张力力T1、T2分别为：分别为：)()()(2p1 rykTyrkrrkT 于是，作用在质量上的静张力为：于是，作用在质量上的静张力为：)(2)()(dd 212221yrkrykyrkTTtymTT 且且12212dd ,dd),(xmktxtyxyrx 可得：可得：结合以上二式结合以上二式取状态变量取状态变量定义状态变量定义状态变量 2313dddddd ,dd xrxtytrtxtx 则有则有再定义状态变量再定
15、义状态变量(7.5.1)(7.5.2)接下来推导描述电机旋转运动的微分方程。当接下来推导描述电机旋转运动的微分方程。当L=0时，电机绕时，电机绕组电流组电流 ，而电机转矩为，而电机转矩为 ，于是有：，于是有：R/vi2 iKTmm 2vRKTmm 电机输出转矩包括驱动皮带所需的电机输出转矩包括驱动皮带所需的有效转矩有效转矩T 和和克服扰动或无克服扰动或无负载所需的转矩负载所需的转矩Td，因此又有：，因此又有：dmTTT 有效转矩有效转矩T 驱动电机轴带动滑轮运动，因此应有：驱动电机轴带动滑轮运动，因此应有：)(dddd2122TTrtbtJT 1332232dd dddd xJkrxJbJTT
16、txttxdm 故故有有：再再注注意意到到：。于于是是最最后后可可得得到到：其其中中2212122xkkdtdykkv,vRKTmm JTxJkrxJbxJRkkKtxdm 1322132dd(7.5.3)式（式（7.5.1）、）、（7.5.2）、）、（7.5.3）构成了描述系统运动的一）构成了描述系统运动的一阶微分方程组，其矩阵形式为：阶微分方程组，其矩阵形式为：dm.TJXJbJRkkKJkrmkrX 10020021021 321xxxX例例7.5 7.5 磁盘驱动读取系统磁盘驱动读取系统 磁盘驱动器作为重要的计算机外部设备被应用。考察下图的磁磁盘驱动器作为重要的计算机外部设备被应用。考
17、察下图的磁盘驱动器示意图可以发现，磁盘驱动读取装置的目标是将磁头准确盘驱动器示意图可以发现，磁盘驱动读取装置的目标是将磁头准确定位，以便正确读取磁盘磁道的信息。定位，以便正确读取磁盘磁道的信息。图图7.6.17.6.1 磁盘驱动器结构示意图磁盘驱动器结构示意图 磁盘旋转速度在磁盘旋转速度在1800rpm到到7200rpm，相当于磁头在磁盘上方不，相当于磁头在磁盘上方不到到100nm的地方的地方“飞行飞行”，位置精度指标初步定为，位置精度指标初步定为1m，要求做到，要求做到使磁头由一个磁道移到另一个磁道所花的时间小于使磁头由一个磁道移到另一个磁道所花的时间小于10ms。至此，我们可以给出如下图所
18、示的初步的系统结构，该闭环系至此，我们可以给出如下图所示的初步的系统结构，该闭环系统利用电机驱动磁头臂到达预期的位置。统利用电机驱动磁头臂到达预期的位置。由上图可以确定系统的执行机构、传感器和控制器，然后建立由上图可以确定系统的执行机构、传感器和控制器，然后建立控制对象和传感器等元件的模型。控制对象和传感器等元件的模型。磁盘驱动器读取系统采用永磁直流电机驱动读取手臂的摆动。磁盘驱动器读取系统采用永磁直流电机驱动读取手臂的摆动。磁头安装在一个与手臂相连的簧片上，它读取磁盘上各点处不同的磁头安装在一个与手臂相连的簧片上，它读取磁盘上各点处不同的磁通量并将信号提供给放大器，簧片（弹性金属制成）保证磁
19、头以磁通量并将信号提供给放大器，簧片（弹性金属制成）保证磁头以100nm的间隙悬浮于磁盘上方。的间隙悬浮于磁盘上方。)()()()(IL/KKRsLCIssIL/KsVssGaeTaaaT 图图7.6.2中的偏差信号是在磁头读取磁盘上预先录制的索引磁道中的偏差信号是在磁头读取磁盘上预先录制的索引磁道时产生的。时产生的。建立图建立图7.6.3所示框图模型。我们假定磁头足够精确，传感器环所示框图模型。我们假定磁头足够精确，传感器环节的传递函数为节的传递函数为H(s)=1；同时，作为足够精确的近似，我们用例；同时，作为足够精确的近似，我们用例7.3 给出的直流电机驱动模型来对激励电机和臂建模给出的直
20、流电机驱动模型来对激励电机和臂建模（式（式7.6.1）；图中；图中也给出了线性放大器的模型。也给出了线性放大器的模型。（式（式7.6.1）图图7.6.3所示框图模型简化为图所示框图模型简化为图7.6.4所示闭环系统框图所示闭环系统框图模型，将框图模型简化为如下模型：模型，将框图模型简化为如下模型：)s(GKKsRsYaa 1)()(IL/KKIL/KKRsLCIssIL/KKRsLCIssKsRsYaTaaeTaaaeTaaa )()()()(IL/KKsIL/KKRC(s)IRLC(sILsIL/KKRC(Ks)IRLC(KsILKsRsYaTaaeTaaaaaeTaaaaaaa )()(2
21、323 7.7 机械传动链间隙机械传动链间隙 在齿轮等机械传动链中，如不采取特殊消隙措施，或所在齿轮等机械传动链中，如不采取特殊消隙措施，或所采取的措施不是很得当，则总会存在传动间隙，间隙的存在对采取的措施不是很得当，则总会存在传动间隙，间隙的存在对可逆运转的机械传动系统就不可避免地造成可逆运转的机械传动系统就不可避免地造成“回差回差”，使系统，使系统呈现出具有呈现出具有“滞环特性滞环特性”的的非单值性非单值性的非线性。其物理模型和的非线性。其物理模型和滞环特性如下图所示。滞环特性如下图所示。2bb2输出输入b22bty()()y ttx()()x t间隙的物理模型间隙的物理模型间隙的滞环特性
22、间隙的滞环特性2.10 机械传动链间隙机械传动链间隙 间隙的影响结果：间隙的影响结果：输出位移相对输入位移存在动态滞后输出位移相对输入位移存在动态滞后容易使系统不稳定，造成振荡容易使系统不稳定，造成振荡输出轴与检测元件间的间隙造成测量误差输出轴与检测元件间的间隙造成测量误差导致失动量导致失动量导致机械构件磨损导致机械构件磨损注意：摩擦产生的阻尼作用有助于在一定程度上消除间隙注意：摩擦产生的阻尼作用有助于在一定程度上消除间隙的影响的影响7.8 摩擦对控制系统性能的影响摩擦对控制系统性能的影响 1.1.对摩擦力的重新认识对摩擦力的重新认识 互相接触的两物体有相对运动或有相对运动趋势时，就存在摩擦，
23、在接触面间产生的切向运动阻力，即为摩擦力。摩擦力的大小和形式取决于两物体结构、压力、相对速度、润滑情况及其他一些因素。因此，准确用数学描述是困难的。在应用上分为：在应用上分为：粘滞摩擦 库仑摩擦 静摩擦7.8 摩擦对控制系统性能的影响摩擦对控制系统性能的影响 粘滞摩擦力：大小与速度成正比，方向相反。库仑摩擦力：是物体运动时接触面对运动物体所呈现的阻力，又称动摩擦力，它是一个常数。静摩擦力：是物体有运动倾向但仍处于静止时所呈现的阻力。最大值发生在开始运动的瞬间，所以静摩擦力大于动摩擦力。(c)(b)(a)速度力库仑摩擦静摩擦力力速度力速度（a）粘滞摩擦情况 （b）库仑摩擦情况 （c）实际摩擦情况
24、7.8 摩擦对控制系统性能的影响摩擦对控制系统性能的影响 2.摩擦力对系统稳态误差的影响摩擦力对系统稳态误差的影响-位置伺服系统位置伺服系统 ,amcme tKKJMBM其中，()为角偏差量,为放大器的放大倍数为电机的转矩系数为输出的转动惯量为库伦摩擦力为粘滞摩擦系数 为电机的输出转矩 ,amcme tKKJMBM其中，()为角偏差量,为放大器的放大倍数为电机的转矩系数为输出的转动惯量为库仑摩擦力为粘滞摩擦系数 为电机的输出转矩7.8 摩擦对控制系统性能的影响摩擦对控制系统性能的影响 只有摩擦力作用时，系统的动态结构图如下只有摩擦力作用时，系统的动态结构图如下摩擦力单独作用下位置伺服系统动态结
25、构图摩擦力单独作用下位置伺服系统动态结构图)(1BJssmKaK)(tesignMBc 系统的传递函数为系统的传递函数为mamaKKBJssBJssKKBJsssMsE)(1)(1)(1)()(7.4 摩擦对控制系统性能的影响摩擦对控制系统性能的影响 若输入信号为恒速信号，则粘滞摩擦和库仑摩擦的合力为若输入信号为恒速信号，则粘滞摩擦和库仑摩擦的合力为)(cMB 利用拉式变换的终值定理，得利用拉式变换的终值定理，得maccmasssKKMBsMBKKBJssse)()(1lim0 稳态误差与摩擦成正比，与系统的开环增益成反比，增加系统的开环增益可以减小系统的稳态误差，但无限增加开环增益可能带来系
26、统的不稳定。7.8 摩擦对控制系统性能的影响摩擦对控制系统性能的影响 3.摩擦力低速性能的影响摩擦力低速性能的影响爬行爬行(stick-slip)低速爬行示意图低速爬行示意图sismaMttKMtKeKKKtt)()()()1(01，或此时设 由于控制量不够大，不足以克由于控制量不够大，不足以克服静摩擦力矩，电动机不会转动，服静摩擦力矩，电动机不会转动，只能保持静止不动。只能保持静止不动。sismaMttKMtKeKKKtt)()()()2(01，或此时设 控制量加大到正好克服静摩擦控制量加大到正好克服静摩擦力矩，电动机开始转动，此时刻，力矩，电动机开始转动，此时刻，静摩擦力据立即下降为较小的
27、动摩静摩擦力据立即下降为较小的动摩擦力矩。擦力矩。7.8 摩擦对控制系统性能的影响摩擦对控制系统性能的影响低速爬行示意图低速爬行示意图减小。减小，电动机输出转矩增大，作加速运动，此力矩作用下，输出轴，在为输出轴上的静加速力矩点之前且)()()()3(01tetMtKeattc轴角速度达到最大。加速转矩降到零，输出，库仑摩擦转矩电动机的输出转矩等于，点ccicMKMttteKMtta)()()()()4(007.8 摩擦对控制系统性能的影响摩擦对控制系统性能的影响低速爬行示意图低速爬行示意图0)()()5(ccMtKeKMteba在一个减速力矩，电动机作减速运动，存点之前点开始，0d/)(d,)
28、()6(0ttKMtebs输出轴将停下来不动。克服静摩擦力矩电动机输出转矩不足以点之后又重复上述过程之后又重复上述过程注意：注意：为了减小死区和爬行，减小动静摩擦力之差，比一为了减小死区和爬行，减小动静摩擦力之差，比一味追求小的动、静摩擦系数更有效味追求小的动、静摩擦系数更有效7.9 机械系统的其他因素机械系统的其他因素1.机械转动系统第一阶固有频率机械转动系统第一阶固有频率mKf21JKf21机械移动系统机械移动系统机械转动系统机械转动系统 机械系统的机械系统的第一阶固有频率第一阶固有频率是决定系统频率响应带是决定系统频率响应带宽的一个重要宽的一个重要约束因素约束因素。在设计一个伺服控制系统
29、时，。在设计一个伺服控制系统时，通常要求机械系统的第一阶固有频率是系统带宽的通常要求机械系统的第一阶固有频率是系统带宽的五倍五倍以上。以上。问题：机械系统固有频率低了会发生什么情况？问题：机械系统固有频率低了会发生什么情况？7.9 机械系统的其他因素机械系统的其他因素121312.NN N 2.负载力矩折算到电机轴时，缩小了N倍（对于减速机构）3.输出转动惯量缩小了N2倍，J、B中起主要作用的是输入轴的参数J1、B1，多极齿轮传动中，各级速比N=N1N2N3.采用多级传动会引进无助于刚度的提高，因此采用一级或直接驱动为好。4.用表示各级齿轮的间隙时，折合到电机轴的总间隙为：说明间隙在很大程度上取决于减速器最后一对齿轮间隙（即输出级）
