1、专题专题7 7动点问题探究动点问题探究(一一)动点问题研究的是在几何图形的运动中，一些图形位置、数量关系的“变”与“不变”的问题.常用的数学思想是方程思想、数学建模思想、函数思想、转化思想等；常用的数学方法有：分类讨论法、数形结合法等.解答动点问题的题目要学会“动中找静”，即把动点问题变为静态问题来解决，寻找动点问题中的特殊情况.(1)等腰三角形的存在性问题如果问题中ABC是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB三种情况.已知腰长，画等腰三角形用圆规画圆；已知底边，用刻度尺、圆规画垂直平分线.解等腰三角形的存在性问题，有几何法与代数法，把几何法与代数法相结合，可以使得解题又快又好.中
2、考导航几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长、分类列方程、解方程并检验.(2)直角三角形的存在性问题解决直角三角形的存在性问题，一般分三个步骤：第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根.一般情况下，按照直角三角形直角顶点或者斜边分类，然后按照勾股定理或三角函数列方程；在平面直角坐标系中，常常利用两点间的距离公式列方程；有时候根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简捷.(3)平行四边形的存在性问题解决平行四边形的存在性问题一般分三个步骤：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算.难点在于寻找分类标准.寻找恰当的分类标准，可以使得解的个数不重复不
3、遗漏，也可以使计算又好又快.如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交产生三个顶点；如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或角分为两种情况.灵活应用中心对称的性质，可以使得解题简便.考点突破答案考查角度一等腰三角形的存在性问题等腰三角形的存在性问题例例1(2016凉山)如图，已知抛物线yax2bxc(a0)经过A(1,0)、B(3,0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式；故抛物线的解析式为yx22x3.(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离
4、之和最短时，求点P的坐标；答案(3)点M也是直线l上的动点，且MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标.答案规律方法A(1,0)、C(0，3)，MA2m24，MC2(3m)21m26m10，AC210，由于MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况讨论：若MAMC，则MA2MC2，得m24m26m10，解得：m1；若MAAC，则MA2AC2，规律方法答案若MCAC，则MC2AC2，得m26m1010，解得：m10，m26.当m6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去.规律方法本题主要考查二次函数的综合，涉及抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等
5、腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解.规律方法例例2(2015聊城)如图，在直角坐标系中，RtOAB的直角顶点A在x轴上OA4，AB3.动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度,沿OB向终点B移动.当两个动点运动了x秒(0 x4)时，解答下列问题：(1)求点N的坐标(用含x的代数式表示)；答案考查角度二直角三角形的存在性问题直角三角形的存在性问题解解根据题意得：AMx，ON1.25x，在RtOAB中，由勾股定理得：作NPOA于P，如答图1所示，则NPAB，OPNOAB，(2)设OMN的面积是S，求S与
6、x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？答案(3)在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.答案规律方法解解存在某一时刻，使OMN是直角三角形，理由如下：分两种情况：若OMN90，如答图2所示，则MNAB，此时OM4x，ON1.25x，MNAB，OMNOAB，答案规律方法若ONM90，如答图3所示，则ONMOAB，此时OM4x，ON1.25x，ONMOAB，MONBOA，OMNOBA，规律方法本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形特征、直角三角形的性质、三角形面积的计算、求二次函
7、数的解析式以及最值等知识.本题难度较大，综合性强，特别是(3)中，需要进行分类讨论，通过证明三角形相似才能得出结果.规律方法例例3(2016广安)如图，抛物线yx2bxc与直线y x3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为(4，5)，点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PCx轴于点C，交AB于点D.(1)求抛物线的解析式；答案考查角度三平行四边形的存在性问题平行四边形的存在性问题点A(0，3)，B(4，5)在抛物线yx2bxc上，(2)以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由；答案答案解解存在，理由如下：PDAO，当PDOA3时，存在以O，
8、A，P，D为顶点的平行四边形，|m24m|3.当m24m3时，当m24m3时，解得：m11，m23.(3)当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PMAB，垂足为M，连接PA使PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标.答案规律方法答案规律方法解解PAM为等腰直角三角形，BAP45，直线AP可以看做是直线AB绕点A逆时针旋转45所得，可设直线AP解析式为ykx3，直线AP解析式为y3x3，规律方法本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质.解本题的关键是确定以O，A，P，D为顶点的平行四边形时，OA和PD是对边，这也是本题的难点.规律方法
