1、等比数列等比数列习题课习题课2022年年3月月23日星期三日星期三 1. 等比数列的定义：等比数列的定义： 定义：如果一个数列从第定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母比通常用字母 q 来表示来表示.2. 等比数列的通项公式：等比数列的通项公式：a n = a 1 q n 1 . an = amq n-m 复复 习习 回回 顾顾 3. 等比数列的前等比数列的前 n 项和公式：项和公式：1
2、111(1).111.nnnnnqnaa qaqSSqqqSna当时，等比数列的前项和公式为：，或当时，4. 递推公式递推公式 ( q 为公比为公比 )：.,32111nqaaaann 5. 等比中项：等比中项：,(0) .x GyGxyGxyxy 定义：若成等比数列，那么把就叫做与的等比中项，且 6. 等比数列的一条性质：分别与首末两项等等比数列的一条性质：分别与首末两项等距离的两项的积等于首末两项的积距离的两项的积等于首末两项的积 . 对任意对任意 m ，n ，p ，q N*，当，当 m + n = p + q 时，有时，有 am an = ap aq .7. an 为等比数列的两个充要条
3、件：为等比数列的两个充要条件：;,;,32132102211naaanqaannnnn其中其中其中其中8.,.aaaqq当三个数成等比数列，并知其积时，可设它们分别为这样便于求解 例例 1 在等比数列在等比数列 a n 中，中，a 1 = 2 ，a 7 a 8 = 80 , 求求 a 14 .解解：因为：因为 a n 为等比数列为等比数列 ，所以，所以 a 1a 14 = a 7 a 8 .4028018714aaaa 例例 题题 解解 析析 例例2.（2009 宁夏海南宁夏海南 文）等比数列文）等比数列an的公比的公比q0, 已知已知a2=1,an+2+an+1=6an，则则an的前的前4项
4、和项和S4= . 解析解析: 由由 an+2+an+1=6an 得：得：qn+1+qn=6qn-1即即 q2+q-6=0，q0, 解得：解得：q2，21)21 (2144S152112a 又又 a2=1 所以所以 ， 例例 3 、已知数列、已知数列 a n 为等比数列，为等比数列， （1）若）若 m，n，p 成等差数列，求证成等差数列，求证 a m，a n，a p成等成等比数列比数列 . （2）若）若 a 3 = -2 ，a 6 = 54 ，求，求 a 9 .证明证明： （1）由所给条件，可得）由所给条件，可得 n m = p - - n .,mnmnmnqqaqaaa1111.npnpnpq
5、qaqaaa1111.npmnaaaa所以，所以，a m，a n，a p成等比数列成等比数列 .在一个等比数列在一个等比数列中，项数成等差中，项数成等差数列的各项所形数列的各项所形成的数列仍然是成的数列仍然是等比数列等比数列 . 例例 3 、已知数列、已知数列 a n 为等比数列，为等比数列， （1）若）若 m，n，p 成等差数列，求证成等差数列，求证 a m，a n，a p成等成等比数列比数列 . （2）若）若 a 3 = -2 ，a 6 = 54 ，求，求 a 9 .（2）由上题结论，）由上题结论，a 3，a 6，a 9成等比数列成等比数列 .145825423269aaa例例4 4、设某
6、个等比数列前设某个等比数列前 4 4 项的和为项的和为 2 2，前，前 8 8 项的和项的和为为 8 8，求前，求前 12 12 项的和项的和 . .解解：设此数列的首项为：设此数列的首项为 a 1 ，公比为，公比为 q， 若若 q = 1，则，则 4 a1 = 2，8 a1 = 8 ，此二式是矛盾，此二式是矛盾的，故的，故 q 1 .)()()()(281112118141qqaqqa于是于是413,1 .1qaq 解得.)()()()(2631111133412112qqqaS 解法二：因为解法二：因为 a1 + a2 + a3 + a4 = a1 + a1q + a1q 2 + a1q
7、3 , a5 + a6 + a7 + a8 = a1q 4 + a1q 5 + a1q 6 + a1q 7 ,a9 + a10 + a11 + a12 = a1q 8 + a1q 9 + a1q 10 + a1q 11.48812448SSSSSSS把把 S4 = 2，S8 = 8 代入上式，即可求得代入上式，即可求得 S12 = 26 .,48765121110943218765qaaaaaaaaaaaaaaaa 注：由本例解法二我们可以发现等比数列的又注：由本例解法二我们可以发现等比数列的又一条性质：把等比数列从第一项起依次每相同数目一条性质：把等比数列从第一项起依次每相同数目的项相加所得
8、到的数列仍然是等比数列的项相加所得到的数列仍然是等比数列 .例例5 、 数列数列an中，中，S1=1,S2=2,Sn+1-3Sn+2Sn-1(n2)试判断数列试判断数列是否为等比数列，并求是否为等比数列，并求S Sn 分析：分析：(1)(1)判断数列是否为等比数列的标准是判断数列是否为等比数列的标准是是否为常数，是否为常数，应从条件应从条件S Sn去向去向an转化转化 (2)(2)S Sn可通过什么与可通过什么与an联系联系? ? 注意注意n=1=1的讨论的讨论 (3) (3)错解错解：数列为等比数列，且公比为数列为等比数列，且公比为2 2，且，且*)(1Nnaann),1(),2(111nS
9、anSSannn11320(2) (1)nnnSSSn 112() (2)nnnnSSSS 12(2) (3)nnaa n 111 Sa 对式对式(3)(3)中中n n2 2你用了吗你用了吗? ? 正解：正解： 但但 数列数列 an n 从第从第2 2项才开始为等比数列项才开始为等比数列1221)21 ( 1nnnS为什么错为什么错了了?)2(213423naaaaaann111211212SSSaa122)221 (1nnnS例例6、已知等差数列已知等差数列an的第二项为的第二项为8，前十项的和为，前十项的和为185，从数列，从数列an中，依次取出第中，依次取出第2项、第项、第4项、第项、第
10、8项、项、第、第2n项按原来的顺序排成一个新数列项按原来的顺序排成一个新数列bn，求数，求数列列bn的通项公式和前项和公式的通项公式和前项和公式Sn .1181045185adad解：153ad23 22nnnba an3n2 Sn=(32+2)+(322+2)+(323+2)+(32n+2)2(21)322 1nn6 226nn例例7.设首项为正数的等比数列设首项为正数的等比数列an,它的前它的前n项之和为项之和为80,前前2n项之和为项之和为6560,且前且前n项中数值最大的项为项中数值最大的项为54，求此，求此数列数列. 121180111656021nnaqqaqq解：由题意：182n
11、q 81nq 代入代入(1)(1)qqan18011 an递增，递增，前前n项中数值最大的项应为第项中数值最大的项应为第n项项1111118154,nnnnna qqqqqq1181 5427,3nnnqqqq12 3nna011 qa得：得：1q例例8 (2008 全国全国 理理)设数列设数列an的前的前n项和为项和为Sn已知已知 a1=a, an+1=Sn+3n,nN*(I)设设bn=Sn-3n,求数列求数列bn的通项公式；的通项公式；(II)若若an+1an,nN*,求求a的取值范围的取值范围解解:(I):(I)依题意，依题意， 即即 由此得由此得因此，所求通项公式为因此，所求通项公式为
12、 ,311nnnnnSaSS,321nnnsS).3(2311nnnnSS.*,2)3(31NnaSbnnnn(II)(II)由知由知于是，当于是，当n n2 2时，时，当当n n2 2时，时，又又综上，所求的综上，所求的a的取值范围是的取值范围是*,2)3(31NnaSnnn1nnnSSa2112)3(32)3(3nnnnaa.2)3(3221nna2112)3(34nnnnaaa,3)23(12222ann, 03)23(12,21aaannn. 9a1123aaa)., 9(II)由知.,)(.,)(.,qSaaaaqnSaaannn求求已知已知求求已知已知和公比和公比求求）已知）已知（
13、为等比数列，为等比数列，已知已知62381294091313369316114 ,;(2)2 2 ;31(3)1.2nqaqq 答案：（ ）或 练练 习习 1、2、数列、数列an中，中，Sn=1+kan (k0, k1) (1)证明数列证明数列an为等比数列；为等比数列； (2)求通项求通项an； (3)当当k=-1时，求和时，求和a12+a22+an21(2)(1)nnnkak 11(3)1 ( ) 34n原式 比数列的定义、性质、通项公式、前比数列的定义、性质、通项公式、前n项项和公式的灵活应用；特别注意当公比和公式的灵活应用；特别注意当公比q为字母时为字母时一定要讨论它为一定要讨论它为1 1的情况；当一个数列不是等差的情况；当一个数列不是等差或等比数列而又要求和时，一定要转化成等差或等比数列而又要求和时，一定要转化成等差或等比数列求和，注意分组求和或等比数列求和，注意分组求和. . 小小 结结
