1、北师大版高中数学必修5第三章不等式 3 基本不等式 教材分析数形结合类比思想化归与转换数学思想数学抽象直观想象逻辑推理教学重点基本不等式及其证明和几何意义。向量体系特殊函数基本不等式不等式证明、求最值不等关系不等式的性质基本不等式不等式的证明求最值核心素养 学情分析已有认知已经学习了不等关系和不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，初步具备了简单逻辑思维和抽象概括能力。不足之处思维还不够严谨，抽象概括和数形结合的能力还有待提高。教学难点对“当且仅当 时等号成立”数学内涵的理解；基本不等式的几何意义。ba 教学目标分析课标要求掌握基本不等式结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问
2、题.)0,(2babaab理解和掌握基本不等式及其证明过程和几何意义.1经历从几何图形中抽象出基本不等式，并从数的角度探究证明方法，从形的角度探究几何意义的过程，体会数形结合的思想，发展数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养.2经历“赵爽弦图”数学史的学习，增强民族自豪感，感受数学的文化价值.3 教学目标分析教师为主导学生为主体 教学策略分析启发引导点拨独立思考自主学习合作交流通过活动问题创设情境创设情境提出猜想数学实验验证猜想代数证明得出结论剖析定理初步认识作业布置拓展深化反思总结提高升华典例剖析巩固提升数证形释深化理解 教学过程分析 教学过程分析创设情境创设情境 提出猜想提出猜想 这是这是
3、2002年在北京召开的第年在北京召开的第24届国际数学家大届国际数学家大会会标，这个标志的设计基础是会会标，这个标志的设计基础是1700多年前，多年前，中国古代数学家赵爽的勾股圆方图中著名的弦中国古代数学家赵爽的勾股圆方图中著名的弦图，赵爽利用弦图给出了对勾股定理最早、最图，赵爽利用弦图给出了对勾股定理最早、最简洁的证明。简洁的证明。我国最早的天文学和数学著作我国最早的天文学和数学著作 教学过程分析创设情境创设情境 提出猜想提出猜想设计意图使学生深切感受到我国数学科学深厚的文使学生深切感受到我国数学科学深厚的文化底蕴，培养学生民族自豪感，激发探究化底蕴，培养学生民族自豪感，激发探究兴趣。兴趣。
4、ab22ab 教学过程分析创设情境创设情境 提出猜想提出猜想 问题问题1：图中有哪些几何图：图中有哪些几何图形？形？你你能从正方形、三角形的面能从正方形、三角形的面积角度来思考，寻找相等关积角度来思考，寻找相等关系和不等关系吗？系和不等关系吗？设直角三角形的两条直角边设直角三角形的两条直角边长为长为a,b，你能用不等式把，你能用不等式把这个不等关系表示出来吗？这个不等关系表示出来吗？猜想：若猜想：若 ，则，则 。0,0ab222abab 教学过程分析创设情境创设情境 提出猜想提出猜想设计意图从图形与图形的关系中抽象出不等式，培从图形与图形的关系中抽象出不等式，培养学生发现和提出问题的能力，发展
5、学生养学生发现和提出问题的能力，发展学生数学抽象和直观想象的核心素养。数学抽象和直观想象的核心素养。0,0ab 教学过程分析数学实验数学实验 验证猜想验证猜想222ababa b 请观察动态弦图，你还有什么发现？请观察动态弦图，你还有什么发现？完善猜想：若完善猜想：若 ，则，则 ，当且仅当且仅当当 时等号成立。时等号成立。动画展示动画展示设计意图通过数学实验验证完善猜想，同时引导学通过数学实验验证完善猜想，同时引导学生从图形上对式子等号成立的条件进行几生从图形上对式子等号成立的条件进行几何解释，渗透数形结合的数学思想，发展何解释，渗透数形结合的数学思想，发展直观想象的核心素养。直观想象的核心素
6、养。教学过程分析 你能证明这个猜想吗？你能证明这个猜想吗？设计意图通过代数方法证明，验证猜想，也从数的通过代数方法证明，验证猜想，也从数的角度再次解释等号成立的条件；让学生经角度再次解释等号成立的条件；让学生经历观察、猜想、实验、证明的过程，培养历观察、猜想、实验、证明的过程，培养思维的严谨性，积累认识事物的活动经验。思维的严谨性，积累认识事物的活动经验。,a R b R222ababa b 若若 ，则，则 ，当且仅当，当且仅当 时等号成立。时等号成立。代数证明代数证明 得出结论得出结论,aabb用替换用替换 教学过程分析代数证明代数证明 得出结论得出结论,a R b R222ababa ba
7、 b,a b2a bab 一、重要不等式一、重要不等式 若若 ，则，则 ，当且仅当，当且仅当 时等号成立。时等号成立。如果如果 都是非负数，那么都是非负数，那么 ，当且，当且 仅当仅当 时等号成立。时等号成立。教学过程分析a b,a b2a bab 二、基本不等式二、基本不等式 如果如果 都是非负数，那么都是非负数，那么 ，当且，当且 仅当仅当 时等号成立。时等号成立。剖析定理剖析定理 初步认识初步认识 称为称为 的的算术平均数算术平均数，称为称为 的的几何平均数几何平均数。2a b,a b,a bab 文字语言：文字语言：两个非负数的算术平均数不小于它两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平
8、均数。们的几何平均数。基本不等式又被称为基本不等式又被称为均值不等式。均值不等式。教学过程分析剖析定理剖析定理 初步认识初步认识设计意图引导学生将符号语言转化成文字语言，巩引导学生将符号语言转化成文字语言，巩固学生对基本不等式结构的认识。固学生对基本不等式结构的认识。教学过程分析数证形释数证形释 深化理解深化理解设计意图使学生体会基本不等式证明方法的多样性，使学生体会基本不等式证明方法的多样性，发展逻辑推理的核心素养。发展逻辑推理的核心素养。问题问题2：从代数的角度，你还有其他的方法证明：从代数的角度，你还有其他的方法证明这个不等式吗？这个不等式吗？小结小结:(1)同一圆中半径不小于半弦同一圆
9、中半径不小于半弦;(2)数形结合的数学思想。数形结合的数学思想。DOBCA动画展示动画展示 教学过程分析数证形释数证形释 深化理解深化理解 活动活动1：如图，：如图，AB是圆是圆O的直径，点的直径，点C是是AB 上一点，过点上一点，过点C作作CD AB交圆交圆O上半圆与上半圆与D，连接连接AD,BD，设，设AC=a，BC=b，计算线段，计算线段OD 与与CD的长度，你能发现什么？的长度，你能发现什么？教学过程分析数证形释数证形释 深化理解深化理解设计意图引导学生从熟悉几何图形中抽象出基本不引导学生从熟悉几何图形中抽象出基本不等式，使学生体会从形到数的转化，再次等式，使学生体会从形到数的转化，再
10、次渗透数形结合的数学思想，发展数学抽象渗透数形结合的数学思想，发展数学抽象和直观想象的核心素养。和直观想象的核心素养。教学过程分析典例剖析典例剖析 巩固提升巩固提升,a b211abab 例例1：设：设 均为正数，证明不等式：均为正数，证明不等式：？设计意图使学生认识到基本不等式转化积和的作用，使学生认识到基本不等式转化积和的作用，体会化归与转换的数学思想，发展逻辑推体会化归与转换的数学思想，发展逻辑推理的核心素养理的核心素养。小结小结:转化为可以使用基本不等式的形式，化归与转换的数转化为可以使用基本不等式的形式，化归与转换的数学思想学思想。EDOBCA小结小结:类比思想，数形结合思想。类比思
11、想，数形结合思想。教学过程分析典例剖析典例剖析 巩固提升巩固提升设计意图继续渗透数形结合思想，体会类比思想，继续渗透数形结合思想，体会类比思想，发展直观想象的核心素养。发展直观想象的核心素养。动画展示动画展示 活动活动2：你能类比基本不等式，给不等式：你能类比基本不等式，给不等式 一种几何解释吗？一种几何解释吗？211abab(0,0)ab 教学过程分析反思总结反思总结 提高升华提高升华 1 1、数学知识：基本不等式及其证明；、数学知识：基本不等式及其证明；2 2、数学思想：、数学思想：数形结合、数形结合、类比、化归与转换的思想类比、化归与转换的思想；3 3、核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑
12、推理。、核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理。教学过程分析反思总结反思总结 提高升华提高升华设计意图把课堂探究的内容转化为学生的认知。把课堂探究的内容转化为学生的认知。数与形，数与形，本是相倚依，本是相倚依，焉能分作两边飞；焉能分作两边飞；数缺形时少直观，形少数时难入微，数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休；数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，切莫忘，几何代数统一体，永远联系莫分离。几何代数统一体，永远联系莫分离。华罗庚华罗庚（必做）（必做）1、课本习题、课本习题3-3 B组组 1；（选做）（选做）1、当、当 时，你能从数列的角度理解基时，你能从数列的角度理解基
13、 本不等式吗？本不等式吗？2、如图，在圆、如图，在圆O上半圆中，设上半圆中，设AC=a，BC=b,OF AB交上半圆与交上半圆与F，请你利用，请你利用FC OF得得 出一个关于出一个关于 的不等式，将这个不等式的不等式，将这个不等式 与基本不等式和例与基本不等式和例1中的不等式比较。中的不等式比较。0,0ab,a bFOBCA 教学过程分析作业布置作业布置 拓展深化拓展深化设计意图把课堂探究的内容课下巩固提升；分把课堂探究的内容课下巩固提升；分层作业，让不同层次的同学得到不同层作业，让不同层次的同学得到不同的发展。的发展。3 基本不等式基本不等式例例：小结小结 总结总结一、重要不等式一、重要不等式二、基本不等式二、基本不等式 教学过程分析板书设计板书设计
