1、3.1.1 回归分析回归分析 课件课件 2 利用散点图判断相关关系利用散点图判断相关关系(1)(1)对相关关系的认识对相关关系的认识相关关系是一种非确定性关系，是非随机变量与随机变量相关关系是一种非确定性关系，是非随机变量与随机变量或随机变量与随机变量间的关系，在实际应用中，利用散或随机变量与随机变量间的关系，在实际应用中，利用散点图可判断两个变量间的相关关系点图可判断两个变量间的相关关系.相关关系的判定相关关系的判定(2)(2)判断相关关系的具体方法为：判断相关关系的具体方法为：制图，将所给数据制成散点图制图，将所给数据制成散点图.判断：如果散点图中的判断：如果散点图中的点分布在一条直线附近
2、，则可判断两个变量之间具有近似点分布在一条直线附近，则可判断两个变量之间具有近似的线性相关关系的线性相关关系.【例例1 1】关于两个变量关于两个变量x x与与y y的的6 6组数据如下表所示：组数据如下表所示：画出上表的散点图，并由图判断画出上表的散点图，并由图判断x x、y y之间是否具有线性相之间是否具有线性相关关系关关系.【审题指导审题指导】初步判断两个变量间的关系，可考虑作散点初步判断两个变量间的关系，可考虑作散点图进行判断图进行判断.【规范解答规范解答】散点图如下：散点图如下：从图中可以发现从图中可以发现x x与与y y有线性相关关系，当有线性相关关系，当x x由小到大变化时，由小到
3、大变化时，y y也由小变大也由小变大.图中的数据点近似分布在一条直线的附近，图中的数据点近似分布在一条直线的附近，因此，因此，x x与与y y近似成线性相关关系近似成线性相关关系.【变式训练变式训练】5 5个学生的数学和物理成绩如下表：个学生的数学和物理成绩如下表：试用散点图判断它们是否有线性相关关系，若有，是正相试用散点图判断它们是否有线性相关关系，若有，是正相关还是负相关？关还是负相关？【解析解析】涉及两个变量：数学成绩与物理成绩，可以以数涉及两个变量：数学成绩与物理成绩，可以以数学成绩为自变量，研究因变量物理成绩的变化趋势学成绩为自变量，研究因变量物理成绩的变化趋势.以以x x轴表示数学
4、成绩，轴表示数学成绩，y y轴表示物理成绩，可得相应的散点轴表示物理成绩，可得相应的散点图图.由散点图可见，两者之间具有线性相关关系且是正相关由散点图可见，两者之间具有线性相关关系且是正相关.【例例】下列是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：下列是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：(1)(1)将上表中的数据制成散点图，并计算相关系数将上表中的数据制成散点图，并计算相关系数r.r.(2)(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？该结论与相关系数系吗？该结论与相关系数r r的计算一致吗？的计算一致吗？【审题指导审题指导】根据表中数据可
5、得出散点图及相关系数根据表中数据可得出散点图及相关系数r r的值，的值，从而初步判断两变量的相关性从而初步判断两变量的相关性,并近似解决施化肥量与水稻并近似解决施化肥量与水稻产量之间的数量关系产量之间的数量关系.【规范解答规范解答】(1)(1)散点图如下：散点图如下：7iii 1772222iii 1i 1x y7xyr(x7x)(y7y4 3000.975.700 27 771.43）(2)(2)从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中当施化肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图
6、中的数据点大约分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水的数据点大约分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性正相关关系稻产量近似成线性正相关关系.又由于又由于r=0.975r=0.9750 0，故散点，故散点图与图与r r的计算一致的计算一致.【变式备选变式备选】关于两个变量关于两个变量x x和和y y的的7 7对数据如下表所示：对数据如下表所示：试判断试判断x x与与y y之间是否有线性相关关系之间是否有线性相关关系.【解题提示解题提示】求出求出r r的值，由的值，由r r的范围判断的范围判断x x与与y y间的关系间的关系.【解析解析】1x2123252729323527.4.7
7、722222222ii 11y711212466 11532581.3.7x212325272932355 414.7iii 1x y21 723 1125 21272429 6632 11535 32518 542.xx与与y y具有相关关系且呈正相关具有相关关系且呈正相关.722222222ii 1y711212466115325124 393.7iii 1772222iii 1i 1x y7xy2 948.66r0.837 03 520.92(x7x)(y7y)所以 非线性回归问题非线性回归问题 解决非线性回归问题的基本步骤解决非线性回归问题的基本步骤(1)(1)根据数据画出散点图，与幂
8、函数、对数函数、指数函数、根据数据画出散点图，与幂函数、对数函数、指数函数、二次函数图像作比较，挑选一种跟散点拟合最好的函数二次函数图像作比较，挑选一种跟散点拟合最好的函数.(2)(2)建立函数变换后新的数据表，作出新的散点图，转化为建立函数变换后新的数据表，作出新的散点图，转化为线性回归问题线性回归问题.(3)(3)求出变量变换后的线性回归方程求出变量变换后的线性回归方程.(4)(4)还原为原始变量的非线性回归方程还原为原始变量的非线性回归方程.只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有意义才有意义.【例例2 2】为了研究某种细菌随时间为了研究某种细
9、菌随时间x x变化繁殖个数变化繁殖个数y y的变化，的变化，收集数据如下收集数据如下(1)(1)作出这些数据的散点图作出这些数据的散点图.(2)(2)求求y y与与x x之间的回归方程之间的回归方程.【审题指导审题指导】作出数据的散点图，选择合适的函数模型转作出数据的散点图，选择合适的函数模型转化为线性回归问题化为线性回归问题.【规范解答规范解答】(1)(1)散点图如图所示：散点图如图所示：(2)(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数由散点图看出样本点分布在一条指数函数y=y=的周的周围，于是令围，于是令z=lnyz=lny，则，则由计算器算得由计算器算得z=0.69x+1.112,z=0
10、.69x+1.112,则有则有y=ey=e0.69x+1.1120.69x+1.112.2c x1c e【变式训练变式训练】在一化学反应过程中某化学物质的反应速度在一化学反应过程中某化学物质的反应速度y(y(单位：单位：g/g/分分)与一种催化剂的量与一种催化剂的量x(x(单位：单位：g)g)有关，现收集有关，现收集了了8 8组数据列于表中，试建立组数据列于表中，试建立y y与与x x之间的回归方程之间的回归方程.【解题提示解题提示】根据收集的数据作散点图，选择恰当的根据收集的数据作散点图，选择恰当的函数模型转化为线性模型求解函数模型转化为线性模型求解.【解析解析】根据收集的数据作散点图根据收
11、集的数据作散点图:根据样本点分布情况，可选用两种曲线模型来拟合根据样本点分布情况，可选用两种曲线模型来拟合.(1)(1)可认为样本点集中在某二次曲线可认为样本点集中在某二次曲线y=cy=c1 1x x2 2+c+c2 2的附近的附近.令令t=xt=x2 2，则变换后样本点应该分布在直线，则变换后样本点应该分布在直线y=bt+a(b=cy=bt+a(b=c1 1,a=c,a=c2 2)的周围的周围.由题意得变换后由题意得变换后t t与与y y的样本数据表：的样本数据表：作作y y与与t t的散点图的散点图由由y y与与t t的散点图可观察到样本数据点并不分布在一条直线的散点图可观察到样本数据点并
12、不分布在一条直线的周围，因此不宜用线性回归方程的周围，因此不宜用线性回归方程y=bt+ay=bt+a来拟合，即不宜来拟合，即不宜用二次曲线用二次曲线y=cy=c1 1x x2 2+c+c2 2来拟合来拟合y y与与x x之间的关系之间的关系.(2)(2)根据根据x x与与y y的散点图也可以认为样本点集中在某一条指数的散点图也可以认为样本点集中在某一条指数型函数曲线型函数曲线y=y=的周围的周围.令令z=lnyz=lny，则，则z=cz=c2 2x+lncx+lnc1 1,即变换后样本点应该分布在直线即变换后样本点应该分布在直线z=bx+a(a=lncz=bx+a(a=lnc1 1,b=c,b
13、=c2 2)的周的周围，围，由由y y与与x x数据表可得数据表可得z z与与x x的数据表：的数据表：2c x1c e作出作出z z与与x x的散点图的散点图由散点图可观察到样本数据点大致在一条直线上，所以可由散点图可观察到样本数据点大致在一条直线上，所以可用线性回归方程来拟合它用线性回归方程来拟合它.由由z z与与x x数据表，得到线性回归方程数据表，得到线性回归方程,z=0.181 2x-0.848 5,z=0.181 2x-0.848 5,所以非线性回归方程为所以非线性回归方程为y=ey=e0.181 2x-0.848 50.181 2x-0.848 5,因此，该化学物质反应速度对催化
14、剂的量的非线性回归方因此，该化学物质反应速度对催化剂的量的非线性回归方程为程为y=ey=e0.181 2x-0.848 50.181 2x-0.848 5.【典例典例】(12(12分分)某公司利润某公司利润y(y(单位单位:千万元千万元)与销售总额与销售总额x(x(单位：千万元单位：千万元)之间有如下对应数据：之间有如下对应数据：(1)(1)画出散点图；画出散点图；(2)(2)求回归直线方程求回归直线方程;(3)(3)估计销售总额为估计销售总额为2424千万元时的利润千万元时的利润.【审题指导审题指导】画出散点图，列表求出相关量，再求出回归画出散点图，列表求出相关量，再求出回归直线方程直线方程
15、,最后求当最后求当x=24x=24时时y y的值的值.【规范解答规范解答】(1)(1)散点图如图：散点图如图：2 2分分(2)(2)列下表，并利用科学计算器进行有关计算列下表，并利用科学计算器进行有关计算.4 4分分于是于是 6 6分分a=2.1-0.104a=2.1-0.10421=-0.08421=-0.084，因此回归直线方程为因此回归直线方程为y=0.104x-0.084.y=0.104x-0.084.9 9分分(3)(3)当当x=24x=24时，时，y=0.104y=0.10424-0.084=2.412(24-0.084=2.412(千万元千万元)1212分分2346.3721 2
16、.1b0.104.3 447721 【误区警示误区警示】对解答本题时易犯的错误，具体分析如下：对解答本题时易犯的错误，具体分析如下：【即时训练即时训练】(2011(2011德州高二检测德州高二检测)下表提供了某厂节能下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(x(吨吨)与相应与相应的生产能耗的生产能耗y(y(吨标准煤吨标准煤)的几组对照数据：的几组对照数据：(1)(1)请画出上表数据的散点图请画出上表数据的散点图;(2)(2)请根据上表提供的数据，求出请根据上表提供的数据，求出y y关于关于x x的线性回归方程的线性回归方程y=bx+a
17、;y=bx+a;(3)(3)已知该厂技改前已知该厂技改前100100吨甲产品的生产能耗为吨甲产品的生产能耗为9090吨标准煤吨标准煤.试根据试根据(2)(2)求出的线性回归方程，预测生产求出的线性回归方程，预测生产100100吨甲产品的吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值参考数值:3:32.5+42.5+43+53+54+64+64.5=66.5)4.5=66.5)【解析解析】(1)(1)如图：如图：线性回归方程为线性回归方程为y=0.7x+0.35.y=0.7x+0.35.4iii 12x y3 2.54 35 46 4.566.5.345
18、62.5344.5x4.5,y3.544 422222ii 12x34568666.54 4.5 3.566.563b0.7864 4.58681aybx3.50.74.50.35 (3)(3)根据回归方程的预测，现在生产根据回归方程的预测，现在生产100100吨产品消耗的标准吨产品消耗的标准煤数量为煤数量为0.70.7100+0.35=70.35.100+0.35=70.35.故生产能耗减少了故生产能耗减少了90-70.35=19.6590-70.35=19.65吨标准煤吨标准煤.1.1.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是下列两个变量之间的关系不是函数关系的是()()(A)(A)正方体的
19、表面积与棱长正方体的表面积与棱长(B)(B)圆的面积与半径圆的面积与半径(C)(C)日照时间与水稻的产量日照时间与水稻的产量(D)(D)三棱柱的体积与底面积三棱柱的体积与底面积【解析解析】选选C C，A A、B B、D D的两个变量都是一种确定性关系，的两个变量都是一种确定性关系，即函数关系即函数关系.2.2.设有一个回归方程设有一个回归方程y=2+1.5x,y=2+1.5x,则变量则变量x x增加一个单位时增加一个单位时()()(A)y(A)y平均增加平均增加1.51.5个单位个单位(B)y(B)y平均增加平均增加2 2个单位个单位(C)y(C)y平均减少平均减少1.51.5个单位个单位(D
20、)y(D)y平均减少平均减少2 2个单位个单位【解析解析】选选A.A.线性回归方程线性回归方程y=bx+ay=bx+a中中b=1.5b=1.5是斜率的估计值，是斜率的估计值，说明说明x x增加一个单位时，增加一个单位时，y y平均增加平均增加1.51.5个单位个单位.3.3.以下对线性相关系数以下对线性相关系数r r的叙述中，正确的是的叙述中，正确的是()()(A)|r|(0,+)(A)|r|(0,+)，|r|r|越大，相关程度越大；反之，相关越大，相关程度越大；反之，相关程度越小程度越小(B)|r|(-,+),r(B)|r|(-,+),r越大，相关程度越大；反之，相关程越大，相关程度越大；反
21、之，相关程度越小度越小(C)|r|1,|r|(C)|r|1,|r|越接近于越接近于1 1，相关程度越大；，相关程度越大；|r|r|越接近于越接近于0 0，相关程度越小相关程度越小(D)(D)以上说法都不对以上说法都不对【解析解析】选选C C，|r|r|与与1 1的接近程度与两个量相关程度有关的接近程度与两个量相关程度有关系系.|r|1,.|r|1,且且|r|r|越接近于越接近于1 1，相关程度越大，相关程度越大，|r|r|越接近于越接近于0 0，相关程度越小，相关程度越小.4.4.已知回归直线方程为已知回归直线方程为y=25-2xy=25-2x，则，则x=10 x=10时时y y的估计值是的估
22、计值是_._.【解析解析】当当x=10 x=10时，时，y y的估计值为的估计值为25-225-210=5.10=5.答案：答案：5 55.5.在一次试验中，测得在一次试验中，测得(x,y)(x,y)的三组值分别是的三组值分别是(3,10)(3,10)，(7(7，20)20)，(11(11，28)28)，则，则y y对对x x的线性回归方程是的线性回归方程是_._.【解析解析】答案：答案：y=3.58+2.25xy=3.58+2.25x332iiii 1i 158x7 yx179,x y4783，2584783 73b2.251793 758aybx2.25 73.583y3.582.25x.
23、，6.6.某种产品的广告费支出某种产品的广告费支出x x与销售额与销售额y(y(单位：万元单位：万元)之间有之间有如表所示的数据：如表所示的数据：(1)(1)画出散点图画出散点图;(2)(2)求求y y关于关于x x的回归方程，并对广告支出费用的回归方程，并对广告支出费用x=10 x=10万元时，万元时，销售额销售额y y进行预测进行预测.【解析解析】(1)(1)散点图如图散点图如图.(2)(2)由已知数据制成下表由已知数据制成下表.设设y y关于关于x x的回归方程为的回归方程为y=bx+a,y=bx+a,故所求回归方程为故所求回归方程为y=6.5x+17.5.y=6.5x+17.5.从而当从而当x=10 x=10时，时，y=6.5y=6.510+17.510+17.582.5(82.5(万元万元).).5iii 15222ii 1x y5xy1 3805 5 50b6.5,1455 5x5xaybx506.5 517.5,则
