1、用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解【教学难点【教学难点】恰当地使用信息技术工具】恰当地使用信息技术工具,利用二利用二分法求给定精确度的方程的近似解分法求给定精确度的方程的近似解.【教学重点】【教学重点】通过用二分法求方程的近似解通过用二分法求方程的近似解,体体会函数的零点与方程根之间的联系会函数的零点与方程根之间的联系,初步形成用初步形成用函数观点处理问题的意识函数观点处理问题的意识【教学目标】【教学目标】通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件;能借助计算器用二分法求方程的近似解能借助计算器用二分法求方程的近似解,并了解并了解这一数学思想这一
2、数学思想,为学习算法做准备为学习算法做准备;体会数学逼体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一近过程，感受精确与近似的相对统一.教学程序与环节设计：教学程序与环节设计：创设情境组织探究探索发现尝试练习作业回馈课外活动由二分查找及高次多项式方程的求根问题引入二分法的意义、算法思想及方法步骤体会函数零点的意义，明确二分法的适用范围二分法的算法思想及方法步骤，初步应用二分法解决简单问题二分法应用于实际二分法为什么可以逼近零点的再分析追寻阿贝尔和伽罗瓦创设情境材料一：创设情境材料一：1.(1.(第六届全国青少年信息学第六届全国青少年信息学(计算机计算机)奥林匹奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第克分区联
3、赛提高组初赛试题第1515题）某数列题）某数列有有10001000个各不相同的单元，由低至高按序排个各不相同的单元，由低至高按序排列列;现要对该数列进行二分法检索现要对该数列进行二分法检索(binary-(binary-search),search),在最坏的情况下在最坏的情况下,需检索需检索()个单元个单元.1000 1000 10 10 100 100 500500 高次多项式方程公式解的探索史料高次多项式方程公式解的探索史料 由于实际问题的需要由于实际问题的需要,我们经常需要寻求函数我们经常需要寻求函数的零点的零点(即的根即的根),),对于为一次或二次函数对于为一次或二次函数,我们有我们
4、有熟知的公式解法熟知的公式解法(二次时二次时,称为求根公式称为求根公式).).在十六在十六世纪世纪,已找到了三次和四次函数的求根公式已找到了三次和四次函数的求根公式,但对但对于高于于高于4 4次的函数次的函数,类似的努力却一直没有成功类似的努力却一直没有成功,到到了十九世纪了十九世纪,根据阿贝尔根据阿贝尔(Abel)(Abel)和伽罗瓦和伽罗瓦(Galois)(Galois)的研究的研究,人们认识到高于人们认识到高于4 4次的代数方程不存在求次的代数方程不存在求根公式根公式,亦即亦即,不存在用四则运算及根号表示的一不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解般的公式解.同时同时,即使对于即使对于3
5、 3次和次和4 4次的代数方程次的代数方程,其公式解的表示也相当复杂其公式解的表示也相当复杂,一般来讲并不适宜作一般来讲并不适宜作具体计算具体计算.因此对于高次多项式函数及其它的一些因此对于高次多项式函数及其它的一些函数函数,有必要寻求其零点的近似解的方法有必要寻求其零点的近似解的方法,这是一这是一个在计算数学中十分重要的课题个在计算数学中十分重要的课题创设情境材料二：创设情境材料二：1.1.函数的零点函数的零点2.2.方程的根与函数零点的关系方程的根与函数零点的关系 对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的实数根叫的实数根叫做函数做函数y=f(x)的零点的零点.(zero
6、point).函数函数y=f(x)的零点就是方程的零点就是方程f(x)=0的实数根的实数根,也就是函数也就是函数y=f(x)的图象与的图象与x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标.所以所以 方程方程f(x)=0有实数根有实数根 函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点 函数函数y=f(x)有零点有零点复习回顾 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连续不上的图象是连续不断的一条曲线断的一条曲线,并且有并且有f(a).f(b)0,那么那么,函数函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有内有零点零点,即存在即存在c(a,b),使使得得f(c)=0,这个这个c也就是也就是
7、方程方程f(x)=0的根的根.3.3.函数零点的存在性的判定方法函数零点的存在性的判定方法xyoab例例1.求函数求函数f(x)=x3-3x2+2x-6 在区间在区间0,4内的内的变号零点变号零点.解解:f(0)=-60.端点端点(中点中点)坐标坐标 中点的函数值中点的函数值取区间取区间0,42,4X1=(0+4)/2=2X2=(2+4)/2=3f(x1)=f(2)=-60f(x2)=f(3)=0 由上式计算可知由上式计算可知,x2=3就是所求函数就是所求函数的一个的一个零点零点.xyo【例【例2 2】借助计算器或计算机用二分法求方程】借助计算器或计算机用二分法求方程 x2-2x-1=0 的近
8、似解的近似解(精确到精确到0.1).你能把此方程的根你能把此方程的根限限制制在更小的区间内吗？在更小的区间内吗？(2)10,(3)20,ff 1(2,3),x 22.5()0.43750.2f 1(2.25,2.5),x xyo231()0,24f 1(2,2.5),x 【例【例2 2】求出方程】求出方程 x2-2x-1=0 的一个近似解的一个近似解(精确精确到到0.1).解解:由于由于f(2)=-10,可以取区间可以取区间2,3作为计算的初始区间作为计算的初始区间.端点端点(中点中点)坐标坐标中点的函数值中点的函数值取区间取区间区间长度区间长度1,21,1.51.25,1.51.375,1.
9、510.50.250.125X1=(1+2)/2=1.5X2=1.25X3=1.375X4=1.438f(x1)=0.6250f(x2)0f(x3)0【例【例2 2】求出方程】求出方程 x2-2x-1=0 的一个近似解的一个近似解(精确精确到到0.1).由上表的计算可知由上表的计算可知,区间区间2.375,2.4375的的长度长度小于小于0.1,所以这个区间的所以这个区间的中点中点x3=2.4063可作为所求函数误差不超过可作为所求函数误差不超过0.1的一个的一个正实数正实数零点零点的近似值的近似值.用二分法求函数变号零点的一般步骤用二分法求函数变号零点的一般步骤:1.勘根定理勘根定理,求出初
10、始区间求出初始区间 2.进行计算进行计算,确定下一区间确定下一区间3.循环进行循环进行,达到精确要求达到精确要求2.二分法：二分法：对于在区间对于在区间a，b上连续不断，且上连续不断，且f(a)f(b)0的函数的函数y=f(x)，通过不断地把函数，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（叫做二分法（bisection）.3.给定精确度给定精确度,用二分法求函数用二分法求函数f(x)零点近似值零点近似值的步骤如下的步骤如下:1.确定区间确定区
11、间a,b,验证验证f(a)f(b)0,给定精确度给定精确度;2.求区间求区间(a,b)的中点的中点x1;3.计算计算f(x1);(1)若若f(x1)=0,则则x1就是函数的零点就是函数的零点;(2)若若f(a)f(x1)0,则令则令b=x1(此时零此时零x0(a,x1);(3)若若f(x1)f(b)0,则令则令a=x1(此时零点此时零点x0 (x1,b);(4)判断是否达到精确度判断是否达到精确度,即若即若|a-b|,则得到零点则得到零点近似值近似值a(或或b);否则重复否则重复24.思考思考：一元二次方程可以用公式求根，但是可以用公式来求出方程lnx+2x-6=0的根吗？求方程求方程f(x)
12、=0的实数根的实数根,就是要就是要确定函数确定函数y=f(x)的零点的零点.区间中点的值中点函数近似值(2，3)2.5-0.084(2.5，3)2.750.512(2.5，2.75)2.6250.215(2.5，2.625)2.56250.066(2.5，2.5625)2.53125-0.009(2.53125，2.5625)2.5468750.029(2.53125，2.546875)2.53906250.010(2.53125，2.5390625)2.535156250.001组织探究（组织探究（1）二分法及步骤：对于在区间a,b上连续不断，且满足f(a)f(b)0的函数，通过不断地把函数
13、y=f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：组织探究（组织探究（2）1确定区间 a,b，验证 f(a)f(b)0，给定精度 ；2求区间 a,b 的中点x1；3计算：(1)若 f(x1)=0，则就是函数的零点；(2)若 f(a)f(x1)0，则令 b=x1（此时零点x0(a,x1)）；(3)若 f(x1)f(b)0，则令 a=x1（此时零点 x0(x1,b)）；4判断是否达到精度 ；即若|a-b|，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤24 二分法定义二分法定义:对于区间a，b上连续不断、
14、且f(a)f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法二分法（bisection）end二分法的解题步骤二分法的解题步骤给定精确度给定精确度，用二分法求函数用二分法求函数f(x)零点近似解的步骤如下零点近似解的步骤如下：,给定精确度给定精确度 ；确定区间确定区间a,b,验证验证()()0f af b求区间求区间(a,b)的中点的中点 ；1x计算计算f(）；）；1x若若f(1x)=0，则，则1x就是函数的零点就是函数的零点；若1()()0f af x，则令b=1x(01(,)xa x)；此时零点若
15、1()()0f xf b，则令a=1x(此时零点01(,)xx b)；判断是否达到精确度判断是否达到精确度：即若|a-b|0 0fffx0(1.25)(1.5)0 (1.25,1.5)取取(1 1,1 1.5 5)中中点点1 1.2 25 5 (1 1.2 25 5)=-0 0.8 87 72 2 0 0fffx0(1.25)(1.5)0 (1.25,1.5)取取(1 1,1 1.5 5)中中点点1 1.2 25 5 (1 1.2 25 5)=-0 0.8 87 72 2)确定零点近似解所在区间a,b,0(1.375)(1.5)0 (1.375,1.5)取取(1 1.2 25 5,1 1.5
16、5)中中点点1 1.3 37 75 5 (1 1.3 37 75 5)=-0 0.2 28 81 1 0 0fffx迭代直至步长1 1.4 43 37 75 5-1 1.3 37 75 5=0 0.0 06 62 25 5 0 0.1 11.4375原原方方程程的的近近似似解解为为得到近似解,0)5.1()1(ff因为,0)5.1()25.1(ff因为解解:原方程即0732 xx732)(xxfx令观察图像，0)2()1(ff可知0)2,1(x有零点即在区间5.1)2,1(1x的中点取33.0)5.1(f用计算器可得)5.1,1(0 x所以25.1)5.1,1(2x的中点再取87.0)25.1
17、(f可得)5.1,25.1(0 x所以)4375.1,375.1(),5.1,375.1(,00 xx可得同理1.00625.04375.1375.1由于所以，原方程的近似解可取1.4375.函数零点的性质从“数”的角度看：即是使 f(x)=0 的实数；从“形”的角度看：即是函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标；若函数 f(x)的图象在 x=x0 处与 x 轴相切，则零点 x0 通常称为不变号零点；若函数 f(x)的图象在 x=x0 处与 x 轴相交，则零点 x0 通常称为变号零点 二分法的条件 f(a)f(b)0 表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点1、用二分法求函数4.19.0
18、1.1)(23xxxxf在区间（0，1）内的零点（精确到0.1）解解:由题设可知：0)1()0(,06.1)1(,04.1)0(ffff则所以，函数)(xf区间（0，1）内有一个零点.下面用二分法求函数在区间（0，1）内的零点取区间(0,1)的中点,5.01x55.0)5.0(f得).1,5.0(,0)1()5.0(0 xff所以因为再取区间(0.5,1)的中点,75.02x32.0)75.0(f得).75.0,5.0(,0)75.0()5.0(0 xff所以因为)6875.0,625.0(),75.0,625.0(00 xx同理)6875.0,65625.0(0 x1.003125.065625.06875.0所以课堂小结1.1.本节学习的主要数学知识本节学习的主要数学知识二分法的定义二分法的定义二分法求函数零点的近似值的步骤二分法求函数零点的近似值的步骤.2.2.本节应用的数学思想方法本节应用的数学思想方法体会信息技术的应用体会信息技术的应用二分法渗透了极限和算法的思想二分法渗透了极限和算法的思想
