1、3.3.3 函数的最值与导数极值反映的是函数在某一点附近的局部性质,而不是函数在整个定义域内的性质。但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小。oxdbfcaehgy极大值点 ，ce g极小值点dbf你能说出函数的最大值点和最小值点吗？最大值点：a ，最小值点：d观察区间a,b上函数y=f(x)的图象，你能找出它的极大值点，极小值点吗？oxyab)(xfy最小值是f(b).单调函数的最大值和最小值容易被找到。函数y=f(x)在区间a,b上最大值是f(a),图1ox2xb4x1xa3x)(xfy 5xy最大值是f(x3),图2函数y=f(x)在区间a,b上最小值是f(x4).一般地
2、，如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。怎样求函数y=f(x)在区间a,b内的最大值和最小值？只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较即可。例例1、求函数求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间1，5内内 的极值与最值的极值与最值 故函数故函数f(x)在区间在区间1，5内的极小值为内的极小值为3，最大值为最大值为11，最小值为，最小值为2 解、解、f(x)=2x-4令令f(x)=0，即，即2x-4=0，得得x=2x1（1，2）2（2，5）5f(x)0y-+3112例1、求函数f(x)=x3-12x+12在0,3上的 最大值，最
3、小值。x (-,-2)-2 (-2,2)2 (2,+)+0 -0 +f(x)单调递增28单调递减-4单调递增)(xf例1、求函数f(x)=x3-12x+12在0,3上的 最大值，最小值。解：由上节课的例1知，在0,3上，当x=2时，f(x)=x3-12x+12有极小值，并且极小值为f(2)=-4.又由于f(0)=12,f(3)=3,因此，函数 f(x)=x3-12x+12在0,3上的 最大值为12，最小值为-4。求函数y=f(x)在(a,b)内的极值 (极大值与极小值);将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.求函数y
4、=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下练习1、求函数y=5-36x+3x2+4x3在区间 -2,2上的最大值与最小值。因为f(-2)=57,f(1.5)=-28.75,f(2)=-23所以函数的最大值为57，最小值为-28.75解：=-36+6x+12x2=6(2x2+x-6)(xf 令 =0,解得x1=-2,x2=1.5)(xf 练习2、求函数f(x)=x3-3x2+6x-2在区间 -1,1上的最值。解：=3x2-6x+6=3(x2-2x+2)(xf 因为 在-1,1内恒大于0,)(xf 所以 f(x)在-1,1上是增函数，故当x=-1时，f(x)取得最小值-12；当x=1时，f(x
5、)取得最大值2。例2、已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a;(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间-2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。令 0,解得x3)(xf 解:(1)=-3x2+6x+9)(xf 函数f(x)的单调递减区间为 (-,-1)(3,+)(2)f(-2)=8+12-18+a=2+af(2)=-8+12+18+a=22+af(2)f(-2)于是有22+a=20,解得a=-2f(x)=-x3+3x2+9x-2f(x)在-1,2上单调递增在(-1,3)上 0,)(xf 又由于f(x)在-2,-1上单调递减，即函数f(x)在区间-2,2上的最小值为-7。f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间-2,2上的 最大值和最小值。f(-1)=1+3-9-2=-7,小小 结结:求函数y=f(x)在(a,b)内的极值 (极大值与极小值);将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下
