1、24.4.1 弧长和扇形面积弧长和扇形面积1弧弧n1n弧弧把圆心角等分成把圆心角等分成360360份份,则每一份则每一份的圆心角是的圆心角是1 1.同时整个圆也被分成同时整个圆也被分成了了360360份份.则每一份这样的弧叫做则每一份这样的弧叫做 1 1的弧的弧.这样这样,1,1的圆心角对着的圆心角对着1 1的弧的弧,1 1的弧对着的弧对着1 1的圆心角的圆心角.n n的圆心角对着的圆心角对着n n的弧的弧,n n的弧对着的弧对着n n的圆心角的圆心角.性质性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等弧的度数和它所对圆心角的度数相等.问题：已知问题：已知O O半径为半径为R R，求，求n n圆心角所
2、对弧长圆心角所对弧长lABOn（1 1）3603600 0的圆周角所对的弧长是多少？的圆周角所对的弧长是多少？C=2R（2 2）1 1圆心角所对弧长是多少？圆心角所对弧长是多少？1803602RR（3 3）n n圆心角所对的弧长是圆心角所对的弧长是1 1圆心角所对的弧圆心角所对的弧长的多少倍？长的多少倍？n倍倍（4 4）n n圆心角所对弧长是多少？圆心角所对弧长是多少？180Rn 1Rn0的圆心角所对的弧长公式的圆心角所对的弧长公式180Rnl其中其中n表示表示1圆心角的倍数，不带单位圆心角的倍数，不带单位区分弧、弧的度数、弧长三概念区分弧、弧的度数、弧长三概念 制造弯形管道时，经常要先按中心
3、线计算制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度展直长度”(图中虚图中虚线的长度线的长度)，再下料，再下料，问题：计算问题：计算“展直长度展直长度”(图中虚线的长度图中虚线的长度)问题：计算问题：计算“展直长度展直长度”(图中虚线的长度图中虚线的长度)解：由弧长公式，可得弧解：由弧长公式，可得弧AB 的长的长答：管道的展直长度为答：管道的展直长度为2970mm 180RnlAB180900100 500)(1570 mm所以展直长度所以展直长度L=2700+1570=2970(mm)1.1.有一段弯道是圆弧形的，道长是有一段弯道是圆弧形的，道长是12m12m，弧所对的圆心角是，弧所对的圆心
4、角是8181o o,求这求这段圆弧的半径段圆弧的半径R R（精确到（精确到0.10.1米）米）2.2.已知一条弧的半径已知一条弧的半径R=4cmR=4cm，弓形的高，弓形的高h=2cmh=2cm，这条弧的长这条弧的长_AOCBD2OAD=300n=1200R=4381804120180RnlAOCB 由组成圆心角的两条由组成圆心角的两条半径半径和圆心角所对的和圆心角所对的弧弧围成的围成的图形是图形是扇形扇形。半径半径半径半径圆心角圆心角弧弧如何求扇形的面积？扇形面积的大小到底和哪些因扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢？素有关呢？（当圆半径一定时）扇形的面积（当圆半径一定时）扇形的面积随随着圆心
5、角的增大而增大着圆心角的增大而增大。圆心角是圆心角是3603600 0的扇的扇形面积是多少？形面积是多少？1801800 090900 02702700 0已知已知O半径为半径为R，如何求圆心角，如何求圆心角n的扇形的面积的扇形的面积?圆心角是圆心角是1 10 0的扇形面积的扇形面积是圆面积的是圆面积的 3601圆心角是圆心角是n n0 0的扇形面积的扇形面积是圆面积的是圆面积的 360nS扇形扇形 S圆圆360n360n r210n0n n表示表示1 1圆心角的倍数，不带单位；圆心角的倍数，不带单位；r r 表示圆半径表示圆半径1 1、已知扇形的圆心角为、已知扇形的圆心角为120120，半径
6、为，半径为2 2，则，则这个扇形的面积，这个扇形的面积，S S扇扇=.3462 2、已知扇形面积为、已知扇形面积为 ，圆心角为，圆心角为5050，则，则这个扇形的半径这个扇形的半径R=_R=_ 53 3、已知半径为、已知半径为2 2的扇形，面积为的扇形，面积为 ，则，则它的圆心角的度数为它的圆心角的度数为 34120扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？如果扇形的半径为如果扇形的半径为R的圆中，圆心角为的圆中，圆心角为no，那么扇形面，那么扇形面积的计算公式为：积的计算公式为：2360rns2180rrnlr21扇形的弧长与扇形面积的关系为：扇形的弧长与扇形面积的
7、关系为：lRS21扇形想一想想一想：扇形的面积公式与什么公式类似？：扇形的面积公式与什么公式类似？已知半径为已知半径为2cm2cm的扇形，其弧长为的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积，则这个扇形的面积，S S扇扇=3434 例例1 1 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m0.6m，其中水面高其中水面高0.3m.0.3m.求截面上有水部分的面积（精确到求截面上有水部分的面积（精确到0.01m0.01m2 2）弓形的面积弓形的面积 =S=S扇扇-S-S0BACD 变式：变式：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是如图、水平放置的圆柱形排水
8、管道的截面半径是0.6cm，其中水面高其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积。（精确到，求截面上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。）。0ABDCE弓形的面积弓形的面积 =S扇扇+S 例例2 2 如图，有一把折扇和一把团扇。已知折扇的骨柄与团扇的直径一如图，有一把折扇和一把团扇。已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120120，问，问哪一把扇子扇面的面积大？哪一把扇子扇面的面积大？1.1.如图，如图，A A、B B、C C、D D两两不相交，两两不相交，且半径都是且半径都是2cm2cm，求
9、图中阴影部分的面积。，求图中阴影部分的面积。ABCD 2.2.点点A A是半径为是半径为1 1的圆的圆O O外一点，且外一点，且OA=2OA=2，ABAB是是O O的的切线，切线，BC/OABC/OA，连结，连结ACAC，则阴影部分面积等于，则阴影部分面积等于 。OABC 例例3 3 已知正三角形的边长为已知正三角形的边长为a a，求它的内切圆与，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积外接圆组成的圆环的面积 OrR解：设正三角形的外接圆、内切圆的解：设正三角形的外接圆、内切圆的半径分别为半径分别为R R，r r，面积为，面积为S S1 1、S S2 2 S=)rR(rRSS222221 ，S=4a)2a(rR22222a42.2.扇形面积公式与弧长公式的区别：扇形面积公式与弧长公式的区别：S扇形扇形 S圆圆360nl弧弧 C圆圆360n1.1.扇形的面积大小与哪些因素有关？扇形的面积大小与哪些因素有关？（1 1）与圆心角的大小有关）与圆心角的大小有关（2 2）与半径的长短有关）与半径的长短有关3.3.扇形面积单位与弧长单位的区别：扇形面积单位与弧长单位的区别：（1 1）扇形面积单位有平方的）扇形面积单位有平方的（2 2）弧长单位没有平方的）弧长单位没有平方的
