1、,1.2 直角三角形的性质和判定(),第1章 直角三角形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第2课时 勾股定理的实际应用,八年级数学下(XJ) 教学课件,1. 会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题. (重点) 2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型,利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联 系,并进一步求出未知边长.(难点),情景引入,数学来源于生活,勾股定理的应用在生活中无处不在,观看下面视频,你们能理解曾小贤和胡一菲的做法吗?,导入新课,问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况,并结合曾小贤和胡一菲的做法,对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发?,这个跟我们
2、学的勾股定理有关,将实际问题转化为数学问题,讲授新课,例1 一个门框的尺寸如图所示,一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?,典例精析,解:在RtABC中,根据勾股定理,,AC2=AB2+BC2=12+22=5,因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.,分析:可以看出木板横着,竖着都不能通过,只能斜着.门框AC的长度是斜着能通过的最大长度,只要AC的长大于木板的宽就能通过.,解:在RtABO中,根据勾股定理得,OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1,,OB=1.,在RtCOD中,根据勾股定理得,OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=
3、3.15,所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时,梯子底端并不是也外移0.5m,而是外移约0.77m.,例2 如图,一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2.4m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?,例3:我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题,这个问题的意思是:有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?,D,A,B,C,解:设水池的水深AC为x尺, 则这根芦苇长AD=AB=(x+1)尺,,在
4、直角三角形ABC中,BC=5尺,由勾股定理得,BC2+AC2=AB2,即 52+ x2= (x+1)2,25+ x2= x2+2x+1,,2 x=24,, x=12, x+1=13.,答:水池的水深12尺,这根芦苇长13尺.,例4 在一次台风的袭击中,小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂,树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗?,A,C,B,解:根据题意可以构建一直角三角形模型,如图. 在RtABC中, AC=6米,BC=8米, 由勾股定理得,这棵树在折断之前的高度是10+6=16(米).,利用勾股定理解决实际问题的一般步骤:,(1)读懂题意,分析已知、未知间的关系
5、;,(2)构造直角三角形;,(3)利用勾股定理等列方程;,(4)解决实际问题.,归纳总结,数学问题,直角三角形,勾股定理,实际问题,1.湖的两端有A、B两点,从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为 ( ),A.50米 B.120米 C.100米 D.130米,130,120,?,A,练一练,2.如图,学校教学楼前有一块长方形草坪,草坪长为4米,宽为3米,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在草坪内走出了一条“径路”,却踩伤了花草. (1)求这条“径路”的长; (2)他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)?,解:(1)在Rt ABC中, 根据勾股定理得 这条
6、“径路”的长为5米.,(2)他们仅仅少走了 (3+4-5)2=4(步).,A,B,C,C,B,A,问题 在A点的小狗,为了尽快吃到B点的香肠,它选择A B 路线,而不选择A C B路线,难道小狗也懂数学?,AC+CB AB(两点之间线段最短),思考 在立体图形中,怎么寻找最短线路呢?,想一想:蚂蚁走哪一条路线最近?,A,蚂蚁AB的路线,问题:在一个圆柱石凳上,若小明在吃东西时留下了一点食物在B处,恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息,于是它想从A处爬向B处,蚂蚁怎么走最近?,根据两点之间线段最短易知第四个路线最近.,若已知圆柱体高为12 cm,底面半径为3 cm,取3.,侧面展开图,A,A,解:
7、在RtABA中,由勾股定理得,立体图形中求两点间的最短距离,一般把立体图形展开成平面图形,连接两点,根据两点之间线段最短确定最短路线.,例5 有一个圆柱形油罐,要以A点环绕油罐建梯子,正好建在A点的正上方点B处,问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 米,高AB是5 米,取3)?,A,B,A,B,A,B,解:油罐的展开图如右图,则AB为梯子的最短距离. AA=232=12, AB=5, AB=13. 即梯子最短需13米.,数学思想:,立体图形,平面图形,转化,展开,B,牛奶盒,A,【变式题】看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿,小明灵光乍现,拿出了牛奶盒,把小蚂蚁放在点A处,并在点B处放了点儿
8、火腿肠粒,你能帮小蚂蚁找出吃到火腿肠粒的最短路程么?,6cm,8cm,10cm,B,B1,8,A,B2,6,10,B3,AB12 =102 +(6+8)2 =296,,AB22= 82 +(10+6)2 =320,,AB32= 62 +(10+8)2 =360,,解:由题意知有三种展开方法,如图.由勾股定理得,AB1AB2AB3.,小蚂蚁吃到火腿肠的最短路程为AB1,长为 cm.,例6 如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km北7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家他要完成这件事情所走的最短路程是多少?,牧童A,小屋B,A,C,东,北,解:如图,作出点
9、A关于河岸的对称点A,连接AB,则AB就是最短路程. 由题意得AC=4+4+7=15(km),BC=8km. 在RtACB中,由勾股定理得,求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路程的方法:先找到其中一点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一点的线段就是最短路径长,以连接对称点与另一个点的线段为斜边,构造出直角三角形,再运用勾股定理求最短路程.,如图,是一个边长为1的正方体硬纸盒,现在A处有一只蚂蚁,想沿着正方体的外表面到达B处吃食物,求蚂蚁爬行的最短距离是多少.,A,B,解:由题意得AC =2,BC=1, 在RtABC中,由勾股定理得 AB= AC+ BC=2+1=5 AB= ,即最
10、短路程为 .,练一练,1.从电线杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的钢缆,则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是( ) A.24m B.12m C. m D. m,D,当堂练习,2.如图,一支铅笔放在圆柱体笔筒中,笔筒的内部底面直径是9cm,内壁高12cm,则这只铅笔的长度可能是( ) A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm,D,3.如图,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两棵对相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢,问小鸟至少飞行多少?,A,B,C,解:如图,过点A作ACBC于点C. 由题意得AC=8米,BC=8-2=6(米), 答:小鸟至少飞行10米.,4.如图,
11、是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于55cm,10cm和6cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路的长是多少?,B,A,解:台阶的展开图如图,连接AB.,在RtABC中,根据勾股定理得,AB2=BC2AC25524825329,AB=73cm.,5. 为筹备迎新晚会,同学们设计了一个圆筒形灯罩,底色漆成白色,然后缠绕红色油纸,如图.已知圆筒的高为108cm,其横截面周长为36cm,如果在表面均匀缠绕油纸4圈,应裁剪多长的油纸?,能力提升:,解:如右下图,在RtABC中, 因为AC36cm,BC108427(cm) 由勾股定理,得 AB2AC2BC23622722025452, 所以AB45cm, 所以整个油纸的长为454180(cm),课堂小结,勾股定理 的应用,用勾股定理解决实际问题,用勾股定理解决点的距离及路径最短问题,