1、2019-2020学年度第一学期期末学业水平检测高三数学本试卷6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置；2.作答选择题时：选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；非选择题必须用黑色字迹的专用签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效；3.考生必须保证答题卡的整洁，
2、考试结束后，请将答题卡上交.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算，再计算交集得到答案.【详解】，.故.故选：.【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.2.已知i是虚数单位，复数（）为纯虚数的充要条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简得到，根据复数类型得到答案.【详解】，为纯虚数，故.故选：.【点睛】本题考查了根据复数的类型求参数，意在考查学生的计算能力.3.某校高三年级的学生参加了一次数学测试，学生的成绩全部介
3、于60分到140分之间（满分150分），为统计学生的这次考试情况，从中随机抽取100名学生的考试成绩作为样本进行统计.将这100名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第三组，.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.则第七组的频数为（ ）A. 8B. 10C. 12D. 16【答案】A【解析】【分析】直接根据频率和1计算得到答案.【详解】设第七组的频率为，则，故.故第七组的频数为：.故选：.【点睛】本题考查了频率分布直方图，意在考查学生对于频率直方图的理解和掌握.4.设函数的定义域为R，满足，且则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】取，代入
4、，计算得到答案.【详解】.故选：.【点睛】本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.5.在直角梯形中，是的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由数量积的几何意义可得，又由数量积的运算律可得，代入可得结果.【详解】，由数量积的几何意义可得：的值为与在方向投影的乘积，又在方向的投影为=2，同理，故选D.【点睛】本题考查了向量数量积的运算律及数量积的几何意义的应用，属于中档题.6.已知函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】确定函数为奇函数和增函数，化简得到，解得答案.【详解】，函数为奇函数，当时，函数单调递增，函数连续，故在上
5、单调递增.，故，即，解得.故选：.【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性和单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.7.三棱锥的底面是边长为的等边三角形，该三棱锥的所有顶点均在半径为2的球上，则三棱锥的体积最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】计算，圆心到球心的距离，再计算体积得到答案.【详解】中，即，圆心到球心的距离，故，故.故选：.【点睛】本题考查了三棱锥的体积的最值，确定高的最大值是解题的关键.8.已知定义在R上函数的图象是连续不断的，满足，且在上单调递增，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算函数周期为，计算，得到答案.【详解】
6、，则，故，故函数周期为，.故.故选：.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，周期性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知点为曲线C的焦点，则曲线C的方程可能为（ ）A. B. C. （）D. （）【答案】AD【解析】【分析】依次计算每个曲线方程的焦点判断得到答案.【详解】A. ，抛物线焦点为，满足； B. ，抛物线的焦点为，不满足；C. （），焦点为，或或曲线表示圆不存在焦点，则，均不满足；D. （），双曲线的焦点为，满足；故选：.【点
7、睛】本题考查了曲线的焦点，意在考查学生对于圆锥曲线知识的综合应用.10.在棱长为1的正方体中，点M在棱上，则下列结论正确的是（ ）A. 直线与平面平行B. 平面截正方体所得的截面为三角形C. 异面直线与所成的角为D. 的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】根据线面平行，异面直线夹角，截面图形，线段最值的计算依次判断每个选项得到答案.【详解】如图所示：易知平面平面，平面，故直线与平面平行，正确；平面截正方体所得的截面为为四边形，故错误；连接，易知，故异面直线与所成的角为，故，故正确；延长到使，易知，故，当为中点时等号成立，故正确；故选：.【点睛】本题考查了异面直线夹角，截面图形，线面平行，最短
8、距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.11.对于函数（其中），下列结论正确的是（ ）A. 若，则的最小值为；B. 若，则函数的图象向右平移个单位可以得到函数的图象；C. 若，则函数在区间上单调递增；D. 若函数的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为，则.【答案】AD【解析】【分析】根据三角函数的单调性，周期，最值，平移依次判断每个选项判断得到答案.【详解】，则，当时，.故，正确；的图象向右平移个单位可以得到函数，故错误；，则，函数先增后减，故错误；函数的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为，则，故，正确；故选：.【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，单调性，周期，意在考查学生对
9、于三角函数性质的综合应用.12.如图，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W.则下述正确的是（ ）A. 曲线W与x轴围成的面积等于；B. 曲线W上有5个整点（横纵坐标均为整数的点）；C. 所在圆的方程为：；D. 与的公切线方程为：.【答案】BCD【解析】分析】计算面积，故错误；曲线W上有5个整点，故正确；计算圆方程得到正确；计算公切线得到正确；得到答案.【详解】如图所示：连接，过点作轴于，轴于.则面积，故错误；曲线W上有5个整点，故正确；所在圆圆心为，半径为，故圆的方程为：，正确；设与的公切线方程为：，根据图像知，则，解得，即，正确；故选
10、：.【点睛】本题考查了圆的面积，圆方程，公切线，意在考查学生的计算能力.三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是_.【答案】；【解析】【分析】根据命题为假得到恒成立，计算得到答案.【详解】命题“，”为假命题，故恒成立.，故.故答案为：.【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的推断能力.14.已知等比数列的前n项和为，.若，则_.【答案】2；【解析】【分析】根据等比数列公式化简得到，得到答案.【详解】，故，即，.故答案为：.【点睛】本题考查了等比数列公式，意在考查学生的计算能力.15.若二项式（）的展开式中所有项的系数和为，
11、则：（1）_；（2）该二项式展开式中含有项的系数为_.【答案】 (1). 5 (2). ；【解析】【分析】（1）取，代入计算到答案.（2）直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】（1）取，则，故；（2），取得到系数为.故答案为：(1)5 ；(2).【点睛】本题查看了二项展开式的计算，意在考查学生的计算能力.16.黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”.离心率的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C：（）的左右顶点分别为A，B，“优美椭圆”C上动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线，的斜率分别为，则_.【答案】；【解析】【分析】设，计算得到答案.【详解】设，则.故答案为：.【点睛】
12、本题考查了根据椭圆的离心率求斜率关系，意在考查学生的计算能力.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知数列，满足：，.（1）证明：数列为等差数列，数列为等比数列；（2）记数列的前n项和为，求及使得的n的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）；【解析】【分析】（1）两式相加得到，两式相减得到，得到证明.（2）计算，解不等式得到答案.【详解】（1）由和相加得：所以，因此数列是以2为公差的等差数列由和相减得：，所以，因此数列是以为公比的等比数列（2），两式相加得：所以因为，所以又因为，所以使得的n的取值范围为.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的证明
13、，分组求和法，根据数列的单调性解不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求A；（2）若，求a取最小值时的面积S.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化简，再利用正弦定理计算得到答案.（2）根据余弦定理得到，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）因为，所以，即，由正弦定理得，由于C为的内角，所以，所以，即由于B为的内角，所以，又因为，所以，；（2）在中由余弦定理知：，所以，等号当仅当时等号成立，此时.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.19.如图，在三棱台中，G，H分别为，
14、上的点，平面平面，.（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）证明，得到平面，得到答案.（2）分别以，所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，计算平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.【详解】（1）因为平面平面，平面平面，平面平面，所以.因为，所以四边形为平行四边形，所以，因为，所以，H为的中点.同理G为的中点，所以，因为，所以，又且，所以四边形是平行四边形，所以，又，所以. 又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面（2），所以.分别以，所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
15、则，.设平面的一个法向量为，因为，则，取，得.设平面的一个法向量为，因为，则，取，得.所以，则二面角的大小为【点睛】本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20.有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如下：甲公司乙公司职位ABCD职位ABCD月薪/元6000700080009000月薪/元50007000900011000获得相应职位概率0.40.30.20.1获得相应职位概率0.40.30.20.1（1）根据以上信息,如果你是该求职者,你会选择哪一家公司？说明理由;（2）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士,就选择这两家公司的意愿做了统计,得到
16、以下数据分布：选择意愿人员结构40岁以上（含40岁）男性40岁以上（含40岁）女性40岁以下男性40岁以下女性选择甲公司11012014080选择乙公司15090200110若分析选择意愿与年龄这两个分类变量,计算得到的K2的观测值为k15.5513,测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析,选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附：0.0500.0250.0100.0053.8415.0246.6357.879【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）分别求出两家公司的月薪的期望E（X）、E（Y），经计算E（X）E（Y），再求出两
17、家公司的月薪的方差，D（X）D（Y），比较这些数据即可作出选择；（2）由k15.55135.024，结合表中对应值，可以得出“选择意愿与年龄有关系”的结论的犯错的概率的上限，由题中数据可以得到选择意愿与性别两个分类变量的22列联表，求出对应的K2，可得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率的上限，从而可知选择意愿与性别关联性更大【详解】（1）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X，Y，则E（X）60000.4+70000.3+80000.2+90000.17000，E（Y）50000.4+70000.3+90000.2+110000.17000，D（X）（60007000）20.4+（70
18、007000）20.3+（80007000）20.2+（90007000）20.110002，D（Y）（50007000）20.4+（70007000）20.3+（90007000）20.2+（110007000）20.120002，则E（X）E（Y），D（X）D（Y），我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司；或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司；（2）因为k15.55135.024，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025， 由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的22列联表如下：选择甲公司选择乙公司总计男250350600女20020
19、0400总计4505501000计算K26.734，且K26.7346.635，对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，由0.010.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大【点睛】本题考查了期望与方差的求法及应用，考查了独立性检验，考查了学生的逻辑思维能力与计算求解能力，属于中档题21.已知函数.（1）证明：；（2）数列满足：，（）.（）证明：（）；（）证明：，.【答案】（1）证明见解析（2）（i）证明见解析（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得到，在区间上单调递减，在区间上单调递增，得到得到证明.（2）计算，得到当时，得到；函数，证明在区间上
20、单调递减，得到答案.【详解】（1）由题意知，当时，所以在区间上单调递减，当时，因为所以在区间上单调递增，因此，故当时，所以在区间上单调递增，因此当时，所以（2）（）在区间上单调递增，因为，故，所以因此当时，又因为，所以（）函数（），则，令，则，所以在区间上单调递增；因此，所以在区间上单调递减，所以，因此，所以，【点睛】本题考查了导数与数列的综合应用，难度大综合性强，意在考查学生的综合应用能力.22.已知椭圆C：（）的短轴长和焦距相等，左、右焦点分别为、，点满足：.已知直线l与椭圆C相交于A，B两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l过点，且，求直线l的方程；（3）若直线l与曲线相切于点（
21、），且中点的横坐标等于，证明：符合题意的点T有两个，并任求出其中一个的坐标.【答案】（1）（2）或（3）证明见解析；其中一个的坐标为【解析】【分析】（1）根据题意计算得到，解得答案.（2）设，由题意，则可设直线l的方程为：，联立方程，根据韦达定理得到，代入计算得到答案.（3）设，设直线l的方程为：，联立方程得到，根据切线方程得到，根据对应函数的单调性得到答案.【详解】（1）设椭圆C焦距为，因为椭圆C的短轴长和焦距相等，所以，因为，所以点Q在椭圆C上，将代入得：，由解得：，所以椭圆C的方程为，（2）设，由题意，则可设直线l的方程为：，由得：，所以，又因为，所以，所以，解得：，所以，所以，解得：，所以直线l的方程为：或.（3）设，由题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为：，由得：，则，因为直线l与曲线相切于点（），所以，所以，整理得，令（），所以，因为在上单调递增；且，所以，存在（）使得.因此在上单调递减，在上单调递增；所以，又因为，所以，又因为，因此除零点外，上还有一个零点，所以，符合题意的点T有两个，其中一个的坐标为.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系，切线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
