1、2.5 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布问题：已知二维随机变量问题：已知二维随机变量(X,Y)的联合分布，的联合分布，如何求出如何求出 Z=g(X,Y)的分布？的分布？注意：注意：若（若（X，Y）为二维）为二维r.v.,则则Z=g(X,Y)是一维的是一维的r.v.本课程不涉及如下问题：本课程不涉及如下问题：已知已知(X,Y)的联合分布，的联合分布，(X,Y)的函数的函数 求求(U,V)的联合分布的联合分布.12(,)(,)UgX YVgX Y一、一、d.r.v.函数的分布函数的分布二维二维d.r.v 函数的分布是容易求的：函数的分布是容易求的：i)i)对对(X,Y)的各种可能取值对
2、，写出的各种可能取值对，写出 Z Z=g(X,Y)相应的取值相应的取值.ii)ii)对对Z Z的的 相同的取值，合并其对应的概率相同的取值，合并其对应的概率.例例1 1 设二维设二维r.v.(X,Y)的概率分布为的概率分布为X X Y Y p pij ij-1 1 2-1 1 2 -1 -1 0 04161418112181求求XYXYYXYX,的概率分布的概率分布解解 根据(X,Y)的联合分布可得如下表格：P 4141618181121 X+Y X-Y X Y Y/X(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1
3、3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0故得PX+Y-2 -1 0 1 241414161121PX-Y-1 0 1 2 34141418181PX Y-2 -1 0 1 6141812411PY/X-1 -1/2 0 14181241161定理定理2.3：设设X,Y是两个是两个相互独立的相互独立的d.r.v.,概率分布列为概率分布列为(),(1,2,);iiP Xxpi(),(1,2,)jjP Yypj则则 Z=X+Y 的分布列为的分布列为11)()()()()(=kikiikjjjP XxP YzxP XzyP YyP Zz 上式称为离散场合的上式称为离散场合的卷
4、积公式卷积公式。例例 2：设设X，Y是分别服从参数为是分别服从参数为12,的泊松分布，的泊松分布，且且X，Y相互独立，求相互独立，求Z=X+Y的分布。的分布。Z=X+Y 的可能取值为的可能取值为 0,1,2,0,1,2,0()(,)kiP ZkP Xi Yki 12120!()!ik ikieeiki 12120!()!kik iiekkiki 12()12(),!kek 0,1,2,k 解：解：0()()kiP Xi P Yki 这表明，这表明，12()ZXYP 一般地，若同一类分布的独立随机变量和的分布仍一般地，若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有是此类分布，则
5、称此类分布具有可加性可加性.类似地有：类似地有：(,),(,),XB m p YB n pX，Y 相互独立相互独立(,)XYB mn p即二项分布对第一个参数具有可加性。即二项分布对第一个参数具有可加性。二、二、c.r.v.函数的分布函数的分布设设c.r.v.(,)(,),X Yf x y(,)g x y为一连续函数，令为一连续函数，令(,),Zg X Y 则则Z 的分布函数为的分布函数为()()ZFzP Zz(,)P g X Yz(,)PX YD(:(,)D g X Yz(,)(,)g x yzf x y dxdy 从而有从而有()()ZZfzFz 这种求这种求Z的概率分布的方法通常称为的概
6、率分布的方法通常称为分布函数法。分布函数法。例例3：假设：假设r.v.X,Y相互独立，且均服从标准正态分布，求相互独立，且均服从标准正态分布，求22ZXY的概率密度函数。的概率密度函数。解：由解：由X，Y的独立性可得，的独立性可得，其联合密度函数其联合密度函数(,)()()XYf x yfx fy 2221,2xye 时，时，当当0 z()()ZFzP Zz22()P XYz0 时，时，当当0 z()()ZFzP Zz22()P XYz2222212xyxyzedxdy 2220012zzderdr 220rzerdr ()()ZZfzFz 21,020,0zezz 这是这是2(2)分布分布
7、例例4 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f(x,y),求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.Ddxdyyxf),(这里积分区域这里积分区域 D=(x,y):x+y z解：解：Z=X+Y的分布函数是的分布函数是:ZFzP Zz P XYz它它是直线是直线 x+y=z 及其左下方的半平面及其左下方的半平面.xyzxy0 化成累次积分化成累次积分,得得zyxZdxdyyxfzF),()(yzZdydxyxfzF),()(固定固定z和和y,对方括号内的积分作变量代换对方括号内的积分作变量代换,令令 x=u-y,得得 zZdyduyyufzF),()(zdudyyyuf),(变量代换变量代换交换
8、积分次序交换积分次序xyzxy0y由概率由概率密度与分布函数的关系密度与分布函数的关系,即得即得Z=X+Y的概率的概率密度为密度为:由由X和和Y的对称性的对称性,fZ(z)又可写成又可写成 dyyyzfzFzfZZ),()()(以上两式即是以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式两个随机变量和的概率密度的一般公式.dxxzxfzFzfZZ),()()(zZdudyyyufzF),()(特别地特别地，当，当 X 和和 Y 独立，设独立，设(X,Y)关于关于 X,Y 的边的边缘密度分别为缘密度分别为 fX(x),fY(y),则上述两式化为则上述两式化为:dyyfyzfzfYXZ)()()(d
9、xxzfxfzfYXZ)()()(卷积公式卷积公式例例5：设：设r.v.X,Y独立同分布，且独立同分布，且XN(0,1),求求Z=X+Y的分布。的分布。解：解：()()()ZXYfzfx fzx dx 22221122z xxeedx 22()2412zzxedx 22()212421122122zxzeedx 222(2)122ze (0,2)XYN用类似的方法可以证明用类似的方法可以证明:),(222121NYXZ 若若X和和Y 独立独立,),(),(222211NYNX 结论又如何呢结论又如何呢?此结论此结论可以推广到可以推广到n个独立随机变量之和的情形个独立随机变量之和的情形:若若X和
10、和Y 独立独立,具有相同的分布具有相同的分布 N(0,1),则则Z=X+Y 服从正态分布服从正态分布 N(0,2).一般地，若一般地，若 相互独立，且相互独立，且1,nXX2(,)iiiXN 则有则有2111(,)nnniiiiXXN更有更有1iniiXa ).,(2121iniiiniiaaN 特别地，特别地，1,nXX相互独立同正态分布相互独立同正态分布2(,),N 1iniiXa ).,(1221 niiniiaaN 若取若取11,naan),(2nNX 此为正态分布的可加性此为正态分布的可加性独立正态变量的线性组合仍为正态变量独立正态变量的线性组合仍为正态变量(Cf.P101)例例6
11、6 已知(X,Y)的联合d.f.为其他,010,10,1),(yxyxfZ=X+Y,求 f Z(z)解法一解法一（图形定限法）其他,010,1)(xxfX其他,010,1)(yyfY显然X,Y 相互独立,且dxxzfxfzfYXZ)()()(10)(dxxzfY其他,01,1)(zxzxzfYz1z=x10)(dxxzfY,20,0zz或,10,10zdxz,21,111zdxzz-1=xx2121,210,20,0)(zzzzzzzfZ或解法二解法二 用分布函数法)()(zYXPzFZzyxdxdyyxf),(x+y=z当z 0 时，0)(zFZ1yx1当0 z 1 时，xzzZdydxzF
12、001)(zdxxz0)(2/2zzzfZ)(yx11x+y=zzzx+y=z当1 z 2 时，xzzdydx011111)(1zdxxzz12/22zzzzfZ2)(z-11yx1zz)1()(zzFZ1yx1x+y=z22当2 z 时，1)(zFZ0)(zfZ21,210,20,0)(zzzzzzzfZ或例例7 7 已知(X,Y)的联合 d.f.为其他,00,10,3),(xyxxyxfZ=X+Y,求 f Z(z)解法一解法一 （图形定限法）dxxzxfzfZ),()(由公式（1）zxz=xz=2xx=112当 z 2,zzzz当 0 z 1,22/893)(zxdxzfzzZ当 1 z
13、2,)41(233)(212/zxdxzfzZf Z(z)=0其他,02,10,3),(xzxxxxzxf其他,021),41(2310,89)(22zzzzzfZ这比用分布函数做简便解法二解法二 （不等式组定限法）dxxzxfzfZ),()(考虑被积函数取非零值的区域xxzx010)(102zxxz令不等式边边相等,解得 z 轴上的三个分界点 0，1，2当 或 时不等式组 无解20zz)(10 z当 时不等式组 解为)(zxz2当 时不等式组 解为21 z)(12xz其他021)1(3103)(1423289222zxdxzzxdxzfzzzzZ X X 与与 Y Y 独立，独立，X XU(
14、0,1),YU(0,1),YExp(1).Exp(1).试求试求 Z=X+Y Z=X+Y 的密度函数的密度函数.解解:1,01(),0,XxXfx 其其 它 它,0()0,0yYeyYfyy d()()()ZYXzfx f zx xf 被积函数的非零区域为：被积函数的非零区域为：0 x1 0 x0 x0用卷积公式：用卷积公式：x xz z1 1z=xz=x(1)z 0(1)z 0 时，时，f fZ Z(z)=0;(z)=0;(2(2）0 z 1 0 z 1 时，时，d()01zzxzexe f fZ Z(z)=(z)=(3)1 z(3)1 z 时，时，f fZ Z(z)=(z)=d1()0(1
15、)zxzexee 1 1三、极值分布三、极值分布设设 r.v.1,nXX相互独立，相互独立，分布函数为分布函数为()1,.iF xin，令令 ()1max,nnXXX (1)1min,nXXX()()()()nXnFxP Xx 1(max,)nPXXx1(,)nP XxXx1()()nP XxP Xx1()niiF x 若若1,nXX相互独立，且有共同的分布相互独立，且有共同的分布(),F x ()()()nnXFxF x 若若1,nXX还是连续的，共同的密度函数还是连续的，共同的密度函数(),f x ()()()nnXfxF x 1()()nn F xf x 类似地，类似地，(1)(1)()
16、()XFxP Xx 1(min,)nPXXx 11(min,)nPXXx11(,)nP XxXx11()()nP XxP Xx11(1()niiF x 1,nXX相互独立，且有共同的分布相互独立，且有共同的分布(),F x若若(1)1(1()nXFF x若若1,nXX还是连续的，共同的密度函数还是连续的，共同的密度函数(),f x (1)()11()nXfxF x 11()()nnF xf x 比如比如1,nXX独立同指数分布，参数为独立同指数分布，参数为,则极值分布为则极值分布为()()nXfx 1(1),0 x nxneex(1)()Xfx ,0n xn ex (1)()XE n 例例4：
17、),(),(yxfYX设设的密度函数。的密度函数。求求YXZ 解解bZaP bYXaP byxadxdyyxf),(0 xyayx byx dyy ybyadxyxf),(dy badzyyzf),(badz dyyyzf),(badzdyyyzf),(z,yx 令令zdxd 则则:;x aybybaz:的密度为的密度为则则Z dyyyzfzfZ),()(或或 dxxzxfzfZ),()(此两式称为连续场合下的此两式称为连续场合下的卷积公式卷积公式。相互独立，相互独立，与与若若YX即即(,)()()XYf x yfxfy的密度为的密度为则则Z()()()ZXYfzfzy fy dy 或或()()()ZXYfzfx fzx dx).(zfZ求求另外，可用分布函数法另外，可用分布函数法)(zZPzFZ zYXP dy yzdxyxf),()xsy令令 dy zdsyysf),(zdsdyyysf),().(zfZ求导即可得求导即可得密度函数分别为密度函数分别为(),(),XYfxfy
