1、1 1问题描述问题描述 SARSSARS（Severe Acute Respiratory SyndromeSevere Acute Respiratory Syndrome，严重急性，严重急性呼吸道综合症呼吸道综合症,俗称：俗称：SARSSARS型肺炎）是型肺炎）是2121世纪第一个在世世纪第一个在世界范围内传播的传染病界范围内传播的传染病 。SARSSARS的爆发和蔓延给我国的经的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病
2、的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。1 1、对早期模型，评价其合理性和实用性。对早期模型，评价其合理性和实用性。2 2、建立自己的模型，特别要说明怎样才能建立一个真正、建立自己的模型，特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？型，这样做的困难在哪里？3 3、收集、收集SARSSARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。学模型并进行预测。12 2基本假设基本假设 1)1)假
3、设所考查人群的总数恒定，且无病源的输入和输出。假设所考查人群的总数恒定，且无病源的输入和输出。2)2)将所考查人群分为现有病人、治愈者、死亡者、正常将所考查人群分为现有病人、治愈者、死亡者、正常人四类。人四类。3)3)假设已治愈的患者二度感染的概率为假设已治愈的患者二度感染的概率为0 0，即患者具有，即患者具有免疫能力，不考虑其再感染。免疫能力，不考虑其再感染。4)4)假设所有患者均为假设所有患者均为“他人输入型他人输入型”患者，即不考虑人患者，即不考虑人群个体自身发病。群个体自身发病。5)5)假设各类人群在人群总体中分布均匀。假设各类人群在人群总体中分布均匀。6)6)假设已被隔离的人群之间不
4、会发生交叉感染。假设已被隔离的人群之间不会发生交叉感染。7)7)不考虑隐性不考虑隐性SARSSARS患者，即只要感染上患者，即只要感染上SARSSARS病毒的患者病毒的患者最终都会表现出症状最终都会表现出症状.23 3符号说明符号说明X(t):现有病人数现有病人数 Y(t):累计病人数累计病人数 R(t):累计治愈人数累计治愈人数 D(t):累计死亡人数累计死亡人数 T:采取强制措施的时间采取强制措施的时间 L1:病人的死亡率病人的死亡率 L2:病人的治愈率病人的治愈率 P:采取控制措施后的隔离强度采取控制措施后的隔离强度 R(t):未被隔离的病人平均每人每天感染的人数未被隔离的病人平均每人每
5、天感染的人数 34 4问题的分析问题的分析 把人群分为四类：正常人群、患病人群、治愈人类和死亡把人群分为四类：正常人群、患病人群、治愈人类和死亡人群，分别用人群，分别用H(t)H(t)、X(t)X(t)、R(t)R(t)和和D(t)D(t)表示。表示。在在SARSSARS爆发初期，由于整个社会对爆发初期，由于整个社会对SARSSARS病毒传播的速度和病毒传播的速度和危害程度认识不够，政府和公众对之不予重视，没有采取危害程度认识不够，政府和公众对之不予重视，没有采取任何有效的隔离控制措施。当疫情蔓延到任何有效的隔离控制措施。当疫情蔓延到4 4月月2020号，政府号，政府与社会开始采取强制措施，对
6、与社会开始采取强制措施，对SARSSARS进行预防和控制。进行预防和控制。因此因此SARSSARS的传播规律可分为的传播规律可分为“控前控前”和和“控后控后”两个阶段两个阶段 近乎自然的传播模式控 制 后政府控制后的传播模式控 制 前4各类人的转化关系各类人的转化关系 控前模型为近似于自然传播时的S-I-R模型，控后模型为介入隔离强度后的微分方程模型，两个模型中各类人的转化关系如图 55 5 模型的建立模型的建立控前控前现有病人数现有病人数 假设某地区产生第一例SARS病人的时间为T0，在（T0,T）时段，是近乎于自由传播的时段，隔离强度为0，每个病人每天感染人数为一常数。考察(t,t)时段内
7、现有病人数的变化，应该等于t时间段新增的病人数减去死亡和治愈的人数。新增病人 现有病人死亡和治愈病人6 现有病人数的变化新增病人数(死亡人数治愈人数)。我们设r为每个未被隔离的病人每天感染的人数，L1和L2分别为治愈率和死亡率。则有 )()()()()()(t2211ttXLttXLtttXLttXLtttrXtrtX病人数治愈人数治愈率病人数死亡人数死亡率时间内感染人数每人在新增病人数病人数7 于是有 当t0时，累计死亡人数累计死亡人数 死亡累计人数的变化新增死亡人数 当t0时)()()()()()()()()()(2121tXLLtrXttXttXttXLLttrXtXttX)()()()
8、(21tXLLtrXdttdX ttXLtDttD)()()(1)()(1tXLdttdD8 累计治愈人数累计治愈人数 治愈累计人数的变化新增治愈人数。累计病人数累计病人数 累计病人数现有病人数累计死亡人数累计治愈人数 ttXLtRttR)()()(2)()(2tXLdttdR)()()()(tRtDtXtY9SARSSARS传播的控前模型传播的控前模型 初始值初始值)()()()()()()()()()()()(2121tRtDtXtYtXLdttdRtXLdttdDtXLLtrXdttdX0)0(0)0(1)0(1)0(RDYX10控后模型控后模型 控后隔离强度从控前的0变为 p。未被隔离
9、的病人平均每人每天感染的人数r随时间逐渐变化，它从初始的最大值a+b逐渐减小至最小值a。设每个未被隔离的病人每天感染的人数 其中，用来反映r(t)的变化快慢，可以用附件中的数据估计出它的大小。类似于控前模型的分析，我们来考虑在t到t+t时段内各类人群的变化情况。)()(Ttbeatr11 现有病人数现有病人数 现有病人数的变化新增病人数(死亡人数治愈人数)。与控前模型一样，用和表示治愈率和死亡率。则有 )()()()()()()1()()()1(t2211ttXLttXLtttXLttXLtttXtrpttrtXp病人数治愈人数治愈率病人数死亡人数死亡率时间内感染人数每人在新增病人数病人数12
10、 于是有 当t0时，累计死亡人数累计死亡人数 t时间内死亡累计人数的变化等于新增死亡人数。当t0时)()()()()1()()()()()()()1()()(2121tXLLtXtrpttXttXttXLLttXtrptXttX)()()()()1()(21tXLLtXtrpdttdXttXLtDttD)()()(1)()(1tXLdttdD13 累计治愈人数累计治愈人数 治愈累计人数的变化新增治愈人数。累计病人数累计病人数 累计病人数现有病人数累计死亡人数累计治愈人数 ttXLtRttR)()()(2)()(2tXLdttdR)()()()(tRtDtXtY14SARSSARS传播的控后模型
11、传播的控后模型 初始值X(T)取控前模型的最后一个值。TttRtDtXtYtXLdttdRtXLdttdDtXLLtXtrpdttdX,)()()()()()()()()()()()()1()(21216.0245.0)(babeatrt156.6.模型的求解：模型的求解：6.16.1控前模型的求解控前模型的求解 对于现有病人数，我们可以根据对于现有病人数，我们可以根据SARSSARS传播的控前方程传播的控前方程(5.8)(5.8)，求得它的解析解为，求得它的解析解为 (5.19)(5.19)其中，其中，(5.20)(5.20)再将分别代入再将分别代入SARSSARS传播的控后方程传播的控后方
12、程(5.17)(5.17)，就可以给出、，就可以给出、以及的数值解。再将分别代入以及的数值解。再将分别代入SARSSARS传播的控后方程传播的控后方程(5.17)(5.17)，就，就可以给出、以及的数值解可以给出、以及的数值解 。1)0(0695.0053.055.021XLLrTeXtXtLLrt,)0()()(21 166.26.2控后模型的求解控后模型的求解同理，我们求得现有病人数得解析解同理，我们求得现有病人数得解析解 (5.21)(5.21)其中，其中，(5.22)(5.22)我们已经分析过，为一客观参数。由于我们已经分析过，为一客观参数。由于3 3月月5 5日第一例日第一例SARS
13、SARS进入我国，是我们记时的起点；进入我国，是我们记时的起点；4 4月月2020日即为的情况。日即为的情况。和和 为待估计的参数，现在来估计为待估计的参数，现在来估计 和和 。根据附件中的数据，将各时刻累计病人数减去累计治愈人根据附件中的数据，将各时刻累计病人数减去累计治愈人数再减去死亡人数，可得到现有病人数，估计数再减去死亡人数，可得到现有病人数，估计 和和 的值。的值。估计时我们按均方最小误差原则，计算出其估计值分别为：估计时我们按均方最小误差原则，计算出其估计值分别为：，。TteTXtXTtebPTtLLap,)()()1()1()()1()(21476.0245.0Tbapp%65P
14、02.0p17 至此即至此即 为关于为关于 的一元确定函数。的一元确定函数。我们根据以上求出的解，作出了现有病人数、累计死亡人数、我们根据以上求出的解，作出了现有病人数、累计死亡人数、累计治愈人数、累计病人数的曲线图，如图累计治愈人数、累计病人数的曲线图，如图4 4所示。其中，打点的所示。其中，打点的是实际公布数据。是实际公布数据。)(tXt181920 图图4 4 理论值与实际值对照图理论值与实际值对照图 从图从图4 4中可以看出，方程的解与实际数据吻合的很好，说明中可以看出，方程的解与实际数据吻合的很好，说明我们的参数和模型都是正确可靠的。我们的参数和模型都是正确可靠的。217 7模型检验
15、与结果分析模型检验与结果分析 7.1 7.1 灵敏度分析灵敏度分析 根据我们所建的模型，卫生部门通常可以采取两种方案对根据我们所建的模型，卫生部门通常可以采取两种方案对疫情进行有效控制。一是改变控制时间点；二是改变控制强度。现疫情进行有效控制。一是改变控制时间点；二是改变控制强度。现在我们分别考察他们对模型的影响在我们分别考察他们对模型的影响 。隔离强度对的模型影响隔离强度对的模型影响 图图5 5 隔离强度对的模型影响隔离强度对的模型影响22隔离强度隔离强度累计病人数累计病人数555569966996656528272827757513391339p 表表1 1 由图由图5 5和表和表1 1可
16、以看出：可以看出：隔离强度隔离强度75%75%与隔离强度与隔离强度65%65%相比，可使发病总人数减小相比，可使发病总人数减小15001500人左右。人左右。隔离强度隔离强度65%65%与隔离强度与隔离强度55%55%相比，可使发病总人数减小相比，可使发病总人数减小40004000人左右。人左右。说明隔离强度，对疫情的传播具有极大的敏感度和相关说明隔离强度，对疫情的传播具有极大的敏感度和相关性。性。23控制时间对的模型影响控制时间对的模型影响 24图图6 6 控制时间对的模型影响控制时间对的模型影响25 表表2 2控制时间累计病人数累计病人数延后延后5 5天天53825382延后延后4 4天天
17、47294729延后2天373337334月20日28792879提前2天2764提前提前4 4天天1576提前提前5 5天天1621T 由图由图6 6和表和表2 2可以看出：控制时间的提前或延后，对累计病可以看出：控制时间的提前或延后，对累计病人影响显著。人影响显著。说明控制时间说明控制时间T T，对疫情的传播具有极大的敏感度和相关性。，对疫情的传播具有极大的敏感度和相关性。267.2 7.2 收敛性讨论收敛性讨论收敛的判别标准为当收敛的判别标准为当 时，各类人群数是否收敛。时，各类人群数是否收敛。针对该模型，我们要判别控后模型方程组解的收敛性，针对该模型，我们要判别控后模型方程组解的收敛性
18、，X(t)X(t)的的取值至关重要取值至关重要,D(t),D(t)、R(t)R(t)以及以及Y(t)Y(t)的收敛性都直接依赖于的收敛性都直接依赖于X(t)X(t)是否收敛到是否收敛到0 0。将控后模型中将控后模型中X(t)X(t)的解析解取极限得的解析解取极限得:tbPTtLLaptteTXtX)1()()1(21lim)()(lim(5.23)(5.23)t该试为该试为t t的指数函数，其收敛性取决于自变量的系数。的指数函数，其收敛性取决于自变量的系数。当时当时 ，模型收敛，疫情能够得到控制。模型收敛，疫情能够得到控制。当当 ，模型发散，疫情难以控制。，模型发散，疫情难以控制。0)1(21
19、LLap0)(limtXt0)1(21LLap0)(limtXt分析发现，模型收敛得条件为分析发现，模型收敛得条件为 :27aLLp211(5.24)(5.24)其中，其中，245.0a0.053 L 10695.02L所以，要使疫情得到控制，必须使隔离强度所以，要使疫情得到控制，必须使隔离强度 。%50p7.3 7.3 计算机模拟检验计算机模拟检验 为了检验模型求解结果的正确性，我们进行了仿真模拟。为了检验模型求解结果的正确性，我们进行了仿真模拟。模拟结果如图模拟结果如图7 7所示。所示。28图图7 7 计算机模拟图计算机模拟图从以上曲线可以看出：计算机模拟结果与模型计算结果有着良从以上曲线
20、可以看出：计算机模拟结果与模型计算结果有着良好的一致性。本模型是可以信赖的好的一致性。本模型是可以信赖的SARSSARS传播模型。传播模型。298 8 模型的评价模型的评价8.1 8.1 模型的优点模型的优点 本文中所建立的是一个连续的微分方程模型，它从机理上本文中所建立的是一个连续的微分方程模型，它从机理上准确地描述了每一时刻的现有病人、治愈者、死亡者的变化规准确地描述了每一时刻的现有病人、治愈者、死亡者的变化规律，消除了离散模型在处理非整数天数时的困难，机理合理、律，消除了离散模型在处理非整数天数时的困难，机理合理、方法直观、实用，结果与实际数据拟合的很好。方法直观、实用，结果与实际数据拟
21、合的很好。该模型根据附录给出的数据设置变量，各变量之间相互该模型根据附录给出的数据设置变量，各变量之间相互影响，关系明确；同时设定的参数合情合理，意义明确，消除影响，关系明确；同时设定的参数合情合理，意义明确，消除了人为因素对模型结果的影响。了人为因素对模型结果的影响。建立的微分方程稳定性较好，给出了模型的收敛性条件，建立的微分方程稳定性较好，给出了模型的收敛性条件，即隔离强度达到多少才能控制疫情，对政府的决策有指导意义。即隔离强度达到多少才能控制疫情，对政府的决策有指导意义。该模型针对不同隔离强度进行分段研究，能够方便有效的该模型针对不同隔离强度进行分段研究，能够方便有效的预测疫情趋势。欲对
22、某疫区进行预测，只需对参数进行估计，预测疫情趋势。欲对某疫区进行预测，只需对参数进行估计，给出初值带入方程即可。给出初值带入方程即可。308.2 8.2 模型的缺点模型的缺点 为了简化模型的复杂性，我们设定隔离强度，治为了简化模型的复杂性，我们设定隔离强度，治愈率、死亡率等参数在一定阶段不发生变化，而实际情愈率、死亡率等参数在一定阶段不发生变化，而实际情况下，随着感染人数的减少，其会发生变化，还需要针况下，随着感染人数的减少，其会发生变化，还需要针对具体情况做具体分析。对具体情况做具体分析。模型给出的把人群的每一个个体、每一个地区模型给出的把人群的每一个个体、每一个地区视为相同的，忽略了性别、
23、年龄结构以及地区差异对隔视为相同的，忽略了性别、年龄结构以及地区差异对隔离措施强度、控制时间等参数的影响等，而事实上，个离措施强度、控制时间等参数的影响等，而事实上，个体免疫力与个体年龄因素有关的，同时不同地域对疫情体免疫力与个体年龄因素有关的，同时不同地域对疫情的趋势也有影响，有待改进。的趋势也有影响，有待改进。我们忽略了人口流动给该地区传染病带来的影我们忽略了人口流动给该地区传染病带来的影响，而实际上响，而实际上SARSSARS的传染源多为输入性病人。如果考虑的传染源多为输入性病人。如果考虑人口流动，模型要加以改进。人口流动，模型要加以改进。319 9 问题的推广与应用问题的推广与应用 传
24、染病对人类的威胁与祸害由来已久，自从人传染病对人类的威胁与祸害由来已久，自从人类开始向文明社会迈进，病毒就已不断的袭击人类。类开始向文明社会迈进，病毒就已不断的袭击人类。当某种传染传染病病菌首次侵入缺乏患病经验的种群当某种传染传染病病菌首次侵入缺乏患病经验的种群时，往往会爆发大规模的传入病，造成严重后果。虽时，往往会爆发大规模的传入病，造成严重后果。虽然随着人类的医学研究的发展与突破，已经能够有效然随着人类的医学研究的发展与突破，已经能够有效的防治和控制许多传染病，但是由于病毒的遗传与变的防治和控制许多传染病，但是由于病毒的遗传与变异，可能会出现新的突发性传染病。异，可能会出现新的突发性传染病
25、。32 如如20032003年年SARSSARS这一突发疫情袭击了世界上这一突发疫情袭击了世界上2020多个国家和地区，我国首当其冲。虽然早期的临床经多个国家和地区，我国首当其冲。虽然早期的临床经验对之有初步的认识，但对它的危害、传染性都没有验对之有初步的认识，但对它的危害、传染性都没有完全认清，它的传播途径、传染性等都需要进一步研完全认清，它的传播途径、传染性等都需要进一步研究。同时突发疾病的不确定性严重影响了使我国经济究。同时突发疾病的不确定性严重影响了使我国经济的发展和人们生活、学习和工作各方面，更重要得是的发展和人们生活、学习和工作各方面，更重要得是SARSSARS带来的恐慌和政府为了
26、预防传播扩散采取的措施带来的恐慌和政府为了预防传播扩散采取的措施改变了原有社会的消费、投资、生产等行为模式，对改变了原有社会的消费、投资、生产等行为模式，对国民经济各方面如旅游、社会总需求、进出口贸易等国民经济各方面如旅游、社会总需求、进出口贸易等造成的直接损失总额达到造成的直接损失总额达到21002100亿元，加上间接影响远亿元，加上间接影响远远不止远不止21002100亿元。亿元。33 大面积、大规模突发性传染病具有蔓延迅速、来势凶大面积、大规模突发性传染病具有蔓延迅速、来势凶猛、难以预防与治疗的特点。猛、难以预防与治疗的特点。传染病流行过程的研究与其它传染病流行过程的研究与其它学科有所不
27、同，不能通过在人群中进行科学试验的方式获得科学科有所不同，不能通过在人群中进行科学试验的方式获得科学准确的数据。在人群中作传染病试验，来取得传染病流行的学准确的数据。在人群中作传染病试验，来取得传染病流行的数据的作法是极不人道也是不可行的。数学模型是研究传染病数据的作法是极不人道也是不可行的。数学模型是研究传染病的重要工具它有助于研究影响疾病传播的社会和生物机理的相的重要工具它有助于研究影响疾病传播的社会和生物机理的相互作用，能使我们判断流行病传播过程各种因素的相互作用；互作用，能使我们判断流行病传播过程各种因素的相互作用；能够帮助政府、医学界和科学界提供治疗和控制措施由于上述能够帮助政府、医
28、学界和科学界提供治疗和控制措施由于上述原因，我们通常主要依据机理的方法来建力数学模型。原因，我们通常主要依据机理的方法来建力数学模型。我们可以通过收集分析从已有的传染病观测资料中获我们可以通过收集分析从已有的传染病观测资料中获取的相关数据、资料，找出其变化和传播的规律，建立数学模取的相关数据、资料，找出其变化和传播的规律，建立数学模型。由公布的历史数据，确定模型中的固定参数，再通过改变型。由公布的历史数据，确定模型中的固定参数，再通过改变可控参数：隔离措施强度和控制时间来改变患者的增长趋势，可控参数：隔离措施强度和控制时间来改变患者的增长趋势，从而为有效的控制疫情具有指导作用。从而为有效的控制
29、疫情具有指导作用。34 本文建立的本文建立的SARSSARS模型根据现有的数据资料模型根据现有的数据资料设置变量，通过分析各类人群在传播过程中的流量平设置变量，通过分析各类人群在传播过程中的流量平衡，建立各类人群的微分方程。并通过数据拟合得到衡，建立各类人群的微分方程。并通过数据拟合得到影响传染病传播的固定参数，使得患病人数的计算值影响传染病传播的固定参数，使得患病人数的计算值与实际的统计值基本吻合。同时调整可控参数，使之与实际的统计值基本吻合。同时调整可控参数，使之达到一定水平就能使疫情得到控制。并用此可控参数达到一定水平就能使疫情得到控制。并用此可控参数未来的疫情态势作预测，从而指导实践对
30、政府对疫情未来的疫情态势作预测，从而指导实践对政府对疫情的控制有知指导意义。的控制有知指导意义。社会、季节、风俗习惯等因素都会影响传染社会、季节、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，传染率、病人患病后入院时间、传染时间病的传播，传染率、病人患病后入院时间、传染时间也是疫情的重要控制参数，但最直接的因素是隔离措也是疫情的重要控制参数，但最直接的因素是隔离措施强度与政府严格采取隔离措施的时间，对疫情的发施强度与政府严格采取隔离措施的时间，对疫情的发展态势控制有很大的影响。展态势控制有很大的影响。35 因此我们通过建立传染病数学模型，可以因此我们通过建立传染病数学模型，可以对不同疫区的未来情况进行预
31、测，从而对政府的决对不同疫区的未来情况进行预测，从而对政府的决策行为进行指导。我们建议：策行为进行指导。我们建议：控制传染病源，加大隔离力度。控制传染病源，加大隔离力度。构筑医疗卫生体系，建立传染病预警机构筑医疗卫生体系，建立传染病预警机置。置。加强零散病人的及时隔离和医治。加强零散病人的及时隔离和医治。强化确诊病例和疑似病人的医治和隔离。强化确诊病例和疑似病人的医治和隔离。36 面对突发性传染并的袭击，根据对隔离参数面对突发性传染并的袭击，根据对隔离参数和采取强制控制时间的要求，我们认为面对突发性传和采取强制控制时间的要求，我们认为面对突发性传染并的袭击，根据传染病模型中对采取强制控制时间染并的袭击，根据传染病模型中对采取强制控制时间的要求，我们认为预防为主，防止结合，对患者和疑的要求，我们认为预防为主，防止结合，对患者和疑似病人做到似病人做到“早发现、早报告、早隔离、早治疗早发现、早报告、早隔离、早治疗”，防患于未然，应是我国卫生工作的重要方针。我国政防患于未然，应是我国卫生工作的重要方针。我国政府应加大力度构筑医疗卫生体系，以数学模型为理论府应加大力度构筑医疗卫生体系，以数学模型为理论指导，建立传染病预警机置，这对于各种传染性的疾指导，建立传染病预警机置，这对于各种传染性的疾病的控制具有十分重要的意义。病的控制具有十分重要的意义。3738
