1、Ozyx第第9 9章章 重重 积积 分分 9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质2 重积分是定积分的推广和发展重积分是定积分的推广和发展.分割、取近似、求和、取极限分割、取近似、求和、取极限.定积分的被积函数是一元函数定积分的被积函数是一元函数,而二重、三重积分的被积函数而二重、三重积分的被积函数重积分有其广泛的应用重积分有其广泛的应用.序序 言言其同定积分其同定积分一样也是某种确定和式的极限一样也是某种确定和式的极限,其基本思想是四其基本思想是四步曲步曲:其积分区域其积分区域是一个确定区间是一个确定区间.其积分域是一个平面有界其积分域是一个平面有界是二元、三元函数是二元、三元函数,
2、和空间有界闭区域和空间有界闭区域.9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质3问题的提出问题的提出二重积分的概念二重积分的概念二重积分的性质二重积分的性质小结小结 思考题思考题 作业作业double integral9.1 二重积分二重积分的概念与性质的概念与性质第第9 9章章 重重 积积 分分 9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质4一、问题的提出一、问题的提出定积分中会求平行截面面积为已知的定积分中会求平行截面面积为已知的 一般立体的体积如何求一般立体的体积如何求先从先从曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积开始开始.而而曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积的计算问题的计算问题,一般立体的体
3、积可分成一些比较简单的一般立体的体积可分成一些比较简单的 回想回想立体的体积、立体的体积、旋转体的体积旋转体的体积.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积.可作为二重积分的一个模型可作为二重积分的一个模型.9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质5),(yxfz 曲顶柱体体积曲顶柱体体积=1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积D困难困难曲顶柱体曲顶柱体0),(yxf以以xOy面上的闭区域面上的闭区域D为底为底,D的边界曲线为准线而母线平行于的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面轴的柱面,侧面以侧面以曲面曲面z=f(x,y),且在且在D上连续上连续).oyxz顶是曲的顶是曲的顶是顶是 9.1 二重积分的
4、概念与性质二重积分的概念与性质6柱体体积柱体体积=特点特点 分析分析曲边梯形面积是如何求曲边梯形面积是如何求以直代曲、以直代曲、如何创造条件使如何创造条件使 解决问题的思路、步骤与解决问题的思路、步骤与回忆回忆思想是思想是分割、分割、平顶平顶平平曲曲这对矛盾互相转化这对矛盾互相转化与与以不变代变以不变代变.曲边梯形面积的曲边梯形面积的求法类似求法类似.取近似、取近似、求和、求和、取极限取极限.底面积底面积高高 9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质7步骤如下步骤如下用若干个用若干个D),(yxfz 先任意分割曲顶先任意分割曲顶 V曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积:并任取并任取之和之和近似
5、表示近似表示曲曲顶柱体的体积顶柱体的体积,iiniif ),(10lim xzyO),(ii ),(iif i 柱体的底柱体的底,小区域小区域,小平顶柱体体积小平顶柱体体积 9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质8(1)分割分割相应地此曲顶相应地此曲顶柱体分为柱体分为n个小曲顶柱体个小曲顶柱体.(2)取近似取近似iii ),(第第i个小曲顶柱体的体积的近似式个小曲顶柱体的体积的近似式iV n ,21(用用 表示第表示第i个子域的面积个子域的面积).i 将域将域D任意分为任意分为n个子域个子域在每个子域内任取一点在每个子域内任取一点ni,3,2,1 iiif ),(9.1 二重积分的概
6、念与性质二重积分的概念与性质9(3)求和求和 即得曲顶柱体体积的近似值即得曲顶柱体体积的近似值:(4)取极限取极限作作)趋于零趋于零,iiniifV ),(lim10求求n个小平顶柱体体积之和个小平顶柱体体积之和令令n个子域的直径中的最大值个子域的直径中的最大值(记记上述和式的极限即为上述和式的极限即为曲顶柱体体积曲顶柱体体积iiniif ),(1iiniif ),(1 V 9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质102.非均匀平面薄片的质量非均匀平面薄片的质量(1)将薄片将薄片分割分割成成 n个个小块小块,近似看作近似看作均匀薄片均匀薄片.iM(2)M(3)M(4)任取小块任取小块
7、i 设有一平面薄片设有一平面薄片,),(),(yxyx 处的面密度为处的面密度为在点在点Dyx在在假定假定),(求平面薄片的质量求平面薄片的质量M.iii ),(iinii ),(1iinii ),(10lim xyOi 上连续上连续,占有占有xOy面上的闭区域面上的闭区域D,),(ii 9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质11也表示它的面积也表示它的面积,个个小小区区域域表表示示第第其其中中ii ),(iii 上任取一点上任取一点在每个在每个 二、二重积分的概念二、二重积分的概念1.二重积分的定义二重积分的定义定义定义9.1,21n 作乘积作乘积 ),2,1(ni 并作和并作和
8、.),(1iiniif iiif ),(设设f(x,y)是有界闭区域是有界闭区域 D上的上的有界函数有界函数,将闭区域将闭区域 D任意分成任意分成n个小闭域个小闭域(1)(2)(3)9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质12,d),(Dyxf 这和式这和式趋近于零时趋近于零时,如果当如果当各小闭区域的直径中的最大值各小闭区域的直径中的最大值 的极限存在的极限存在,则则iiniif ),(1二重积分二重积分,记为记为即即iiniiDfyxf ),(limd),(10称此极限为函数称此极限为函数 f(x,y)在闭区域在闭区域D上的上的(4)9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质
9、13曲顶柱体体积曲顶柱体体积,d),(DyxfV 它的面密度它的面密度.d),(DyxM 曲顶曲顶 即即在底在底D上的上的二二重积分重积分,),(yxfz 平面薄片平面薄片D的质量的质量即即0),(yx 在薄片在薄片D上的二重积分上的二重积分,9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质14 (2)在直角坐标系下用在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来平行于坐标轴的直线网来划分区域划分区域D,Dyxf d),(二重积分可写为二重积分可写为注注定积分中定积分中(1)重积分重积分与与定积分的区别定积分的区别:重积分中重积分中,0d dx可正可负可正可负.yxdd Dyxf),(则面积元素为则面
10、积元素为yxddd Dyxf d),(Oxy 9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质152.二重积分的存在定理二重积分的存在定理设设f(x,y)是有界闭区域是有界闭区域D上的连续函数上的连续函数 Dyxf d),(存在存在.连续函数一定可积连续函数一定可积注注 今后的讨论中今后的讨论中,相应的积相应的积分区域内总是连续的分区域内总是连续的.或是分片连续函数时或是分片连续函数时,则则都假定被积函数在都假定被积函数在 9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质16(2)3.二重积分的几何意义二重积分的几何意义(3)(1)的的二重积分就等于二重积分就等于二重积分是二重积分是二重积分是
11、二重积分是而在其而在其他他的部分区域上是负的的部分区域上是负的.这些这些部分区域上的部分区域上的柱体体积的柱体体积的代数和代数和.那那么，么，f(x,y)在在D上上,0),(时时当当 yxf,0),(时时当当 yxf柱体体积的负值柱体体积的负值;柱体体积柱体体积;当当f(x,y)在在D上的若干部分区域上是正的上的若干部分区域上是正的,9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质17例例 设设D为圆域为圆域222Ryx 二重积分二重积分 DyxR d222=解解 222yxRz 上述积分等于上述积分等于 DyxR d222.323R 由由二重积分的几何意义二重积分的几何意义可知可知,是上半球
12、面是上半球面上半球体的体积上半球体的体积:RyxzOD 9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质18性质性质9.1(线性性质线性性质)为常数为常数,则则(二重积分与定积分有类似的性质二重积分与定积分有类似的性质)三、二重积分的性质三、二重积分的性质 Dyxgyxf d),(),(、设设 DDyxgyxf d),(d),(根据根据二重积分的几何意义二重积分的几何意义,确定积分值确定积分值,d)(22 Dyxb).0(ab222ayxD 为为其中其中ba2 Db d Dyx d22)31(33aa ba2.323a 9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质19性质性质9.2(区域可
13、加性区域可加性)将区域将区域D分为两个子域分为两个子域 Dyxf d),()(21DDD OxyD1D2D1与与D2除分界线除分界线外无公共点外无公共点.D 1d),(Dyxf.d),(2 Dyxf 将区域将区域D分为两个子域分为两个子域D1,D2 9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质20以以1为高的为高的 性质性质9.3(几何应用几何应用)若若 为为D的面积的面积 注注 D d既可看成是以既可看成是以D为底为底,柱体体积柱体体积,D d1 D d又可看成是又可看成是D的面积的面积.9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质21例例 41222222dd)sin(yxyxyx
14、yx的值的值=().(A)为正为正.(B)为负为负.(C)等于等于0.(D)不能确定不能确定.为负为负B性质性质9.4 9.4(正性正性),),(,0),(Dyxyxf 则则 Dyxf d),(0 9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质22 Dyxf d),(推论推论2 2(绝对可积性绝对可积性)推论推论1 1(单调性单调性),),(),(),(Dyxyxgyxf 设设则则 Dyxg d),(Dyxf d),(Dyxf d),(若若f(x,y)可积可积,保序性保序性比较性比较性则则|f(x,y)|可积可积,且有且有 9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质23选择题选择题 比
15、较比较与与 d)(21 DyxI,1)1()2(:22 yxD其其中中(D)无法比较无法比较.oxy 1 12C(2,1)单调性单调性.)()(32yxyx d)(32 DyxI的大小的大小,则则().)A(21II .)B(21II .)C(21II 1 yx,),(Dyx,1 yx 9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质24,d)cos(,dcos222221 DDyxIyxI设设,d)cos(2223 DyxI,1),(22 yxyxD其中其中.)A(123III 则则.)B(321III .)C(312III .)D(213III ,2,01,0 x2222222)(yxyx
16、yx xcos由于由于所以所以2222222)cos()cos(cosyxyxyx 考研数学考研数学(三三,四四)(4分分)单调性单调性 9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 Dyxf d),(,),(Dyx 则 Dyxg d),(),(),(yxgyxf 设设25 DMyxfm d),(几何意义几何意义以以m为高和以为高和以M为高的两个为高的两个证证 D d再用再用性质性质9.1和和性质性质9.3,性质性质9.5 9.5(估值性质估值性质)则则为为D的面积的面积,Myxfm ),(,),(,0),(Dyxyxf 设设则曲顶柱则曲顶柱体的体积介于以体的体积介于以D为底为底,平顶柱体
17、体积之间平顶柱体体积之间.证毕证毕.D d D d),(DCf 设设M、m为为f(x,y)在在D上的最大上的最大、最小值最小值,9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质2622eyx de)(22 Dyx.ede222)(aDyxabab 解解估值性质估值性质 DMyxfm d),(区域区域D的面积的面积ab 在在D上上,因为因为220yx 例例,de,)(22的的值值估估计计不不作作计计算算 DyxI).0(,1:2222abbyaxD 是椭圆闭区域是椭圆闭区域其中其中2a 2ea 0e 12ea mM所以所以,即即,9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质27性质性质9.6
18、 9.6(积分中值定理积分中值定理)Dyxf d),(体积等于体积等于),(f以以显然显然几何意义几何意义证证(使得使得 ),(f,),(,0),(Dyxyxf 设设则曲顶柱体则曲顶柱体以以D为底为底 为高的平顶柱体体积为高的平顶柱体体积.将将性质性质9.5中不等式各除以中不等式各除以 DMyxfm d),(1.0 ,有有),(DCf 设设,),(D 则则 DMyxfm d),(为为D的面积的面积)9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质28 DMyxfm d),(1f(x,y)的最大值的最大值M与最小值与最小值m之间的之间的.Dyxf d),(1由有界闭区域上连续函数的介值定理由有界
19、闭区域上连续函数的介值定理.Dyxf d),(1两端各乘以两端各乘以),(点的值点的值证毕证毕.即是说即是说,确定的数值确定的数值是介于函数是介于函数在在D上至少存在一点上至少存在一点使得函数在该使得函数在该),(f 与这个确定的数值相等与这个确定的数值相等,即即,9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质29选择题选择题222 yx).(d),(1lim22220是是极限极限 yxyxf(A)(B)(C)(D)提示提示:B设设 f(x,y)是有界闭区域是有界闭区域D:上的上的连续函数连续函数,不存在不存在.).0,0(f).1,1(f).0,1(f利用积分中值定理利用积分中值定理.9.
20、1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质30利用利用积分中值定理积分中值定理,),(lim0 f 解解即得即得:222d),(1lim20 yxyxf求求 222222d),(d),(yxyxfyxf222 yx),(222d),(1lim20 yxyxf).0,0(f,0时时当当),(点点由函数的连续性知由函数的连续性知,),(2 f显然显然,).0,0(其中点其中点是是圆域圆域内的一点内的一点.),(d),(fyxfD 9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质31 补充补充 在分析问题和算题时常用的在分析问题和算题时常用的设设区域区域D关于关于x轴对称轴对称,如果函数如果函数
21、f(x,y)关于坐标关于坐标y为偶为偶函数函数.Dyxf d),(oxyD1),(),(yxfyxf 即即则则D1为为D在第一象限中在第一象限中的部分的部分,对称性质对称性质.1d),(2Dyxf 坐标坐标y为奇函数为奇函数0d),(Dyxf),(),(yxfyxf 即即则则设设区域区域D关于关于x轴对称轴对称,如果函数如果函数 f(x,y)关于关于 9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质32这个性质的这个性质的几何意义几何意义如图如图:OxyzOxyz 区域区域D关于关于x轴对称轴对称 区域区域D关于关于x轴对称轴对称 f(x,y)关于坐标关于坐标y为偶函数为偶函数 f(x,y)关
22、于坐标关于坐标y为奇函数为奇函数 9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质33 Dyxf d),(如果函数如果函数 f(x,y)关于坐标关于坐标x为奇函数为奇函数.0d),(Dyxf oxyD1如果函数如果函数 f(x,y)关于坐标关于坐标x则则),(),(yxfyxf 即即为偶为偶函数函数),(),(yxfyxf 即即则则类似地类似地,设设区域区域D关于关于y轴对称轴对称,且且D1为为D在在第一象限中的部分第一象限中的部分,1d),(2Dyxf 9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质34,d)sin()sin(22 DyxxyA 计计算算二二重重积积分分 解解)sin()s
23、in(22yxxy 和和由性质得由性质得 Dxy d)sin(2 DyxxyA d)sin()sin(22.000 例例 d)(sin2yxD 积分区域积分区域D关于关于x轴轴,y轴都轴都对称对称,分别关于分别关于x和和y是奇函数是奇函数,.11,11),(yxyxD其其中中 9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质35).(dd)sincos(等于等于则则yxyxxyD 为顶点的三角形区域为顶点的三角形区域,(A).ddsincos21yxyxD (B).dd21yxxyD(C).dd)sincos(41yxyxxyD (D)0.A)1,1()1,1(),1,1(和和平平面面上上以以
24、是是设设xOyDD1是是D在第一象限的部分在第一象限的部分,研究生考题研究生考题,选择选择,3分分 9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质36yxyxxyDdd)sincos(D1D2D3D4记记 I=则则I=I1+I2,其中其中I1=yxxyDdd I2=yxyxDddsincos 而而 I1 =yxxyDdd yxxyDDdd21 yxxyDDdd43 D1与与D2关于关于y轴对称轴对称D3与与D4关于关于x轴对称轴对称xy关于关于x和关于和关于y都是奇函数都是奇函数000 )1,1()1,1()1,1(xyO线性性质线性性质 9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质37
25、而而 I2 =yxyxDddsincos yxyxDDddsincos21 yxyxDDddsincos43 是是关于关于x的偶函数的偶函数,yxyxDddsincos21 关于关于y的奇函数的奇函数.所以所以 yxyxDddsincos21 yxyxDddsincos21 21III 0 yxsincosD1D2D3D4)1,1()1,1(xyO )1,1(9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质38,ddcosyxxyIkDk 被对角线被对角线(A)I1.(B)I2.(C)I3.(D)I4.A考研题考研题,选择题选择题,4分分1|,1|),(,yxyx正正方方形形如如图图划分为四个
26、区域划分为四个区域),4,3,2,1(kDk).(max41 kkI则则111 1 D3 解解 利用二重积分区域的对称性利用二重积分区域的对称性与被积函数的奇偶性与被积函数的奇偶性.D2、D4两区域两区域即被积函数是即被积函数是关于关于y的奇函数的奇函数,xyyxfcos),(而而所以所以;042 II关于关于x轴对称轴对称,),(yxf xyOD1D2D4 9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质39,ddcosyxxyIkDk 被对角线被对角线(A)I1.(B)I2.(C)I3.(D)I4.A考研题考研题,选择题选择题,4分分1|,1|),(,yxyx正正方方形形如如图图划分为四个
27、区域划分为四个区域),4,3,2,1(kDk).(max41 kkI则则D1、D3两区域两区域即被积函数是即被积函数是关于关于x的偶函数的偶函数,)(cos),(xyyxf而而所以所以 yxxyIddcos21D2D4关于关于y轴对称轴对称,),(yxf10,),(xxyyx;0 yxxyIddcos2310,),(xxyyx.0 D1D3xyO111 1 二重积分性质二重积分性质 9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质40 今后在计算重积分利用今后在计算重积分利用对称性简化计算对称性简化计算时时,注意注意被积函数的奇偶性被积函数的奇偶性.积分区域积分区域的对称性的对称性,要特别注意
28、考虑两方面要特别注意考虑两方面:9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质41二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义(曲顶柱体体积曲顶柱体体积的代数和的代数和)(四步四步:分割、取近似、求和、取极限分割、取近似、求和、取极限)四、小结四、小结(注意对称性质的用法注意对称性质的用法)9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质42思考题思考题1 将二重积分定义与定积分定义进行比较将二重积分定义与定积分定义进行比较,被积函数为定义在平面区域上被积函数为定义在平面区域上思考题解答思考题解答相同点相同点定积分与二重积分都表示某个和式的定积
29、分与二重积分都表示某个和式的极限值极限值,且此值只与被积函数及积分区域有关且此值只与被积函数及积分区域有关.不同点不同点 定积分的积分区域为区间定积分的积分区域为区间,被积函数为被积函数为定义在区间上的一元函数定义在区间上的一元函数,而二重积分的积分而二重积分的积分区域为平面区域区域为平面区域,的二元函数的二元函数.找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处.9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质43思考题思考题2二重积分二重积分yxyxfDdd),(的几何意义是以的几何意义是以),(yxfz 为曲顶为曲顶,D为底的曲顶柱体体积为底的曲顶柱体体积.(是非题是非题)非非.9.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质44作业作业习题习题9.19.1(375(375页页)
