1、问 题 情 境有趣的数阵图第9讲 例例1 1：把：把1 15 5这五个自然数，分别填入下图中的五个圆圈内，这五个自然数，分别填入下图中的五个圆圈内，使相交成十字的两条直线上三个数之和等于使相交成十字的两条直线上三个数之和等于9 9。我发现一条直线上三个数相加时，我发现一条直线上三个数相加时，端点四个数只加了一次，端点四个数只加了一次，中间的中间的数加了两次数加了两次。例例1 1：把把1 15 5这五个自然数，分别填入下图中的五个圆圈内，这五个自然数，分别填入下图中的五个圆圈内，使相交成十字的两条直线上三个数之和等于使相交成十字的两条直线上三个数之和等于9 9。不论这不论这5 5个数填在哪里，从
2、整体来个数填在哪里，从整体来看，看，5 5个数都加了个数都加了1 1次，其中有次，其中有1 1个个数还多加了一次，得到了数还多加了一次，得到了2 2个和，个和，也就是也就是6 6个数相加等于个数相加等于2 29=189=18。例例1 1：把把1 15 5这五个自然数，分别填入下图中的五个圆圈内，这五个自然数，分别填入下图中的五个圆圈内，使相交成十字的两条直线上三个数之和等于使相交成十字的两条直线上三个数之和等于9 9。1+2+3+4+51+2+3+4+5+a+a=9=92 2 1515+a+a=18=18a=3a=3假设重叠数是假设重叠数是a a3 31 15 52 24 4 解答数阵图的关键
3、是重叠数，所以解答数阵图的关键是重叠数，所以填数阵时，填数阵时，一般优先考虑重叠数一般优先考虑重叠数。可。可以把这个数用括号或字母表示，列出以把这个数用括号或字母表示，列出等式，再根据条件解答出来。等式，再根据条件解答出来。把把1 17 7这七个数分别填入图中七个圆圈内，使每条直线上三这七个数分别填入图中七个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和都是个圆圈内各数之和都是1212。1+2+1+2+6+6+7=28+7=2812123-28=83-28=8最中间的圆圈数重叠两次，最中间的圆圈数重叠两次，所以它是所以它是8 82=42=44 41 17 72 23 36 65 5 例例2 2：将：将
4、1 11010填入中，使每条线上四个数之和相等。你填入中，使每条线上四个数之和相等。你有几种填法？有几种填法？我发现一条直线上四个数相加时，我发现一条直线上四个数相加时，中间的中间的数加了三次数加了三次，其他的三个数只加一次。而，其他的三个数只加一次。而且，且，和前面不一样的地方是：没有告诉我和前面不一样的地方是：没有告诉我们直线上的和是多少。们直线上的和是多少。例例2 2：将将1 11010填入中，使每条线上四个数之和相等。你填入中，使每条线上四个数之和相等。你有几种填法？有几种填法？1+2+3+9+101+2+3+9+10+a+a+a+a=55=55+a+a+a+a假设重叠数是假设重叠数是
5、a a55+a+a55+a+a是是3 3的倍数的倍数a=a=1 1 或或4 4 或或7 7 或或1010答：有答：有4 4种填法。种填法。例例2 2：将将1 11010填入中，使每条线上四个数之和相等。你填入中，使每条线上四个数之和相等。你有几种填法？有几种填法？例例3 3：把：把1 19 9这九个数分别填入下图中九个圆圈内，使每条这九个数分别填入下图中九个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和都相等，你有几种填法？直线上三个圆圈内各数之和都相等，你有几种填法？例例3 3：把把1 19 9这九个数分别填入下图中九个圆圈内，使每条这九个数分别填入下图中九个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和都
6、相等，你有几种填法？直线上三个圆圈内各数之和都相等，你有几种填法？例例3 3：把把1 19 9这九个数分别填入下图中九个圆圈内，使每条这九个数分别填入下图中九个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和都相等，你有几种填法？直线上三个圆圈内各数之和都相等，你有几种填法？1+2+3+91+2+3+9+a+a+a+a+a+a=45=45+a+a+a+a+a+a假设重叠数是假设重叠数是a a45+a+a+a45+a+a+a是是4 4的倍数的倍数a=a=1 1 或或5 5或或9 9答：有答：有3 3种填法。种填法。例例3 3：把把1 19 9这九个数分别填入下图中九个圆圈内，使每条这九个数分别填入下图中九
7、个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和都相等，你有几种填法？直线上三个圆圈内各数之和都相等，你有几种填法？将将1 19 9这九个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上这九个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等（至少找出两种本质上不同的填法）。五个数之和相等（至少找出两种本质上不同的填法）。1 15 5 6 63 38 82 29 94 47 79 93 3 6 64 45 51 18 82 27 7 例例4 4：把：把5 51010这六个数，分别填入图中三角形三条边的六这六个数，分别填入图中三角形三条边的六个内，使每边上的三个内数的和都是个内，使每边上的三个内数的和都是2
8、424。中间的三个数只加一次，中间的三个数只加一次，三个角上的数都加了两次三个角上的数都加了两次，有三个数要设字母吗？有三个数要设字母吗？例例4 4：把把5 51010这六个数，分别填入图中三角形三条边的六这六个数，分别填入图中三角形三条边的六个内，使每边上的三个内数的和都是个内，使每边上的三个内数的和都是2424。按照前面学习的方法，按照前面学习的方法，先列出一个等式，再考虑三先列出一个等式，再考虑三个未知的数吧。个未知的数吧。例例4 4：把把5 51010这六个数，分别填入图中三角形三条边的六这六个数，分别填入图中三角形三条边的六个内，使每边上的三个内数的和都是个内，使每边上的三个内数的和
9、都是2424。5+6+7+8+9+105+6+7+8+9+10+a+b+c+a+b+c=24=243 3 4545+a+b+c+a+b+c=72=72 假设重叠数是假设重叠数是a a、b b、c c a+b+ca+b+c=27=27 8+9+10=278+9+10=27 9 98 810107 76 65 5将将1 19 9分别填入下图的九个圆圈中，使每条边相加的和等于分别填入下图的九个圆圈中，使每条边相加的和等于1717。1 16 64 45 58 87 71+2+1+2+8+8+9 9=454517173-45=63-45=6三个顶点重叠一次，即三个三个顶点重叠一次，即三个顶点数之和为顶点
10、数之和为6 66=1+2+36=1+2+32 23 39 9例例5 5：将：将1 18 8这八个数分别填入下图的中，使两个大圆这八个数分别填入下图的中，使两个大圆上的五个数之和都等于上的五个数之和都等于2121。例例5 5：将将1 18 8这八个数分别填入下图的中，使两个大圆这八个数分别填入下图的中，使两个大圆上的五个数之和都等于上的五个数之和都等于2121。例例5 5：将将1 18 8这八个数分别填入下图的中，使两个大圆这八个数分别填入下图的中，使两个大圆上的五个数之和都等于上的五个数之和都等于2121。1+2+7+81+2+7+8+a+b+a+b=21=212 2 3636+a+b+a+b
11、=42=42 假设重叠数是假设重叠数是a a、b b a+b=6a+b=6 1+5=61+5=6或或2+4=6 2+4=6 1 15 52 26 67 73 34 48 8例例5 5：将将1 18 8这八个数分别填入下图的中，使两个大圆这八个数分别填入下图的中，使两个大圆上的五个数之和都等于上的五个数之和都等于2121。1+2+7+81+2+7+8+a+b+a+b=21=212 2 3636+a+b+a+b=42=42 假设重叠数是假设重叠数是a a、b b a+b=6a+b=6 1+5=61+5=6或或2+4=6 2+4=6 2 24 41 16 68 83 35 57 7 将将1 1、3
12、3、5 5、7 7、9 9、1111、1313、1515这八个数，分别填入图中的这八个数，分别填入图中的八个内，使得每个大圆上五个内数的和都是八个内，使得每个大圆上五个内数的和都是3939。1 17 79 915153 311111+3+5+15=641+3+5+15=6439392-64=142-64=14中间的两个圆圈数重叠一次，中间的两个圆圈数重叠一次，两数之和为两数之和为14 14 13135 5 解答数阵图的关键是重叠数，所以解答数阵图的关键是重叠数，所以填数阵时，填数阵时，一般优先考虑重叠数一般优先考虑重叠数。可。可以把这个数用括号或字母表示，列出以把这个数用括号或字母表示，列出等式，再根据条件解答出来。等式，再根据条件解答出来。
