1、 第十章 习题课习题课（一一）一、二重积分基本概念二重积分基本概念 二、直角坐标下计算二重积分二、直角坐标下计算二重积分 三、极坐标下计算二重积分三、极坐标下计算二重积分 二重积分概念与计算二重积分概念与计算内容小结内容小结(1)二重积分化为二次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形:若积分区域为X型)()(,),(21xyyxybxayxD则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为Y型)()(,),(21yxxyxdycyxD则)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy)(2xyy xybaDOxy)(1yxx Ddc)(2yx
2、x O)()(,),(21DDDfyxf)sin,cos(d),(则)()(21d)sin,cos(df(2)一般换元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且则DDvuvuyvuxfyxfdd ),(),(d),(J极坐标系情形极坐标系情形:若积分区域为dd在变换下D)(1)(2Ox(3)(3)计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积分好算为妙图示法不等式(先找两端点，后积一条线)充分利用对称性应用换元公式xyoD 设函数),(
3、yxf(上下对称)D 位于 x 轴上方的部分为D1,),(),()1(yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于 y 轴对称（左右对称）,函数（看x)关于1D在 D 上d),(21Dyxf在闭区域D上连续,区域D关于x 轴对称则（变量看y)则变量 x 有奇偶性时,仍有类似结果.二重积分的对称性二重积分的对称性在第一象限部分,则有22:1D xyDyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0二重积分的对称性特别重要！二重积分的对称性特别重要！如，D1为yx1xy 1O典型例题典型例题例例1 1.设,1,0)(Cxf且,d)(10A
4、xxf则.d)()(d110yyfxfxIx分析分析:交换积分顺序后,x,y互换 yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010d xI2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A等于（）22AI22AttydxxfdytF1)()()2(F2(2)f(2)f2(2)f例例2 设f(x)为连续函数，则等于（）.B.C.D.0 A.分析：.交换积分次序，变成定积分积分上限函数ttydxxfdytF1)()(1()tf x dx1(1)()txf x dx()(1)()F ttf t
5、(2)(2)Ff选 B.B O.x.y.t.1.y=x.1.1xdyD12 xy21xy2()Daxybydxdyabbaab例例3 3.设 是由曲线和围成的平面区域，则A.等于0 B.符号与有关，与 C.符号与有关，与无关 D.符号与、都有关.（）无关分析：.如图：.x.y.o.由积分区域的对称性2()Daxybydxdy2DDaxydxdyby dxdy20Dby dxdy2Dby dxdy选 C.C(,)f x y(,)(,)d dDf x yxyf u vu vD0y 2yx1x(,)f x y xy2xy18xy1xy 例例4 4.设连续,且是由围成,则（）A.B.C.D.分析：.注
6、意到二重积分是数，故设.(,)d dDAf u vu v则.(,)f x yxyA(,)d dDAf u vu v()DuvA dudv o.u.v.1123A18A 选C.C2100()uduuvA dv.例例5 5.计算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.oyx124xyxy32D1D1x解解:令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,在1D),(),(yxfyxf2D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224上在上(-1,0)(1,0)D2D3D4D例例6则yxyxyxDdd)sinco
7、s(yxyxADddsincos2)(1yxyxBDdd2)(1yxyxyxCDdd)sincos(4)(10)(D1D分析分析:如图,4321DDDDD由对称性知0ddyxyxD在43DD yxsincos上是关于 y 的奇函数在21DD 上是关于 x 的偶函数A,),(ayxaxayxD),(1yxD,0ayxaxxyaaaODdyxx)963(2，其中D为圆周 222ayx所围成的闭区域。.例例7 7xayo解：如图 由积分区域的对称性，有Ddyxx)963(22369DDDDx dxdydd2221()92Dxyda22200192adda 2294aa22Dx1(xy)dxdyyfD
8、3yx1y 1x ufD例例8 8.计算其中是由及所围成的区域，是上的连续函数.解：如图yox做辅助线将区域分成两部分D1，D2，D1D222Dx1(xy)dxdyyf1122()DDxdxdyxyf xydxdy2222()DDxdxdyxyf xydxdy1Dxdxdy30012xdxxdy25 例例9 9.计算,ddsinDyxxx其中D 是直线,0,yxy所围成的闭区域.OxyDxxy 解解:由被积函数可知,因此取D 为X-型域:0:0 xDyxDyxxxddsinxy0d0dsinxx0cos x20dsinxxxx先对 x 积分不行,cosaxaO例例1010.交换积分顺序aarc
9、cos)0(d),(dcos022afIa解解:积分域如图rra0daarccosaarccosId),(faxy2解：解：原式ay0daay2d22xaxy22yaax例例1111.给定改变积分的次序.)0(d),(d20222ayyxfxIaaxxaxay0d2222d),(yaaayxyxfayaaxyxf222d),(aayxyxf222d),(ayx22a2a2aOxyayx2222yaax22yaax2|Dyxdxdy,其中(,)11,02Dx yxy 例例12.计算oxy2yx解：如图解：如图为去掉绝对值，做辅助线为去掉绝对值，做辅助线将区域分成两部分D1，D2，D1D22|Dy
10、xdxdy12Dxy dxdy22Dyx dxdy由积分区域的对称性，有212002xdxxydy212202xdxyx dy231220012()2xxydx223122012()2xyxdx532例例13.解解:.24212sinsin22xxxxxdxdydxdyyy例例14.计算解：如图解：如图oxy1 12 24 4（2,22,2）（1,11,1）24212sinsin22xxxxxdxdydxdyyy221sin2yyxdydxy2212(cos)2yyyxdyy212(coscos)22yydy34(2)Dr2222201limcos()d dxyrDexyx yr例例15.设区
11、域是中心在原点，半径为的圆盘，求解：如图解：如图xr由积分中值定理，存在由积分中值定理，存在(,)D 使使222221cos()d dxyDexyx yr2222221cos()err2222cos()e于是于是2222201limcos()d dxyrDexyx yr22220lim(cos()re=1=1(,)或者或者2222201limcos()d dxyrDexyx yr22220001limcosrrdedr 222002limcosrredr 2202coslim2rrrerr由洛必达法则=1=1xr例例16.设二元函数设二元函数22211(,)12xxyf x yxyxy解：解：
12、当时，1 yx12xyxy计算计算(,)Df x y d其中其中(,)2Dx yxy 由对称性由对称性1D2D1(,)Df x y d12Dx d112004xdxx dy13当时，2(,)Df x y d22sincos10sincos4dxd4 2ln(21)(,)Df x y d14 2ln(21)3于是于是2222()Dxydab，其中D为圆周 222ayx所围成的闭区域。.例例17.xayo解：如图由积分区域的对称性，有2222()Dxydab222211DDx dy dab22222211()()22DDxydxydab222211()()22Dxydab22220011()22a
13、ddab 422111()4aab例例18.设f(x)是在0,1上连续，单调减少的正值函数，1122001100()()()()xfx dxfx dxxf x dxf x dx证明:证明:x0,1且f(x)0,上述四个积分都大于零令1111220000()()()()Ifx dxyf y dyyfy dxf x dx变成二重积分22()()()()Dfx yf yyfy f x d()()()()Dyf x f yf xf y d交换变量符号()()()()DIxf x f yf yf x d(,)01,01Dx yxy()()()()DIxf x f yf yf x d()()()()DIy
14、f x f yf xf y d于是，将上两式相加，得1()()()()()2DIf x f yf yf xxy d因 f(x)单调递减，所以当xy时()()0f yf x当xy()()0f yf x于是总有0I 从而有1122001100()()()()xfx dxfx dxxf x dxf x dx例例19.设 f(x)在0,1上连续，()()1()()()2Daf xbf ydabf xf y(,)01,01Dx yxy证明:证明:因为D关于x=y对称，所以()()DDf x df y d设()()()()()()DDf xf yIadbdf xf yf xf y()()()()()()D
15、Df yf xadbdf xf yf xf y所以1()()()()2()()Da f xy yb f xy yIdf xf y1()2ab(交换变量符号)2222230()2lim(0)3xyttfxydxdyft(0)0f()f u例例20.设为可微函数且证明：证明：2222230()limxyttfxydxdyt20030()limttdfdt 0302()limttfdt 202()lim3ttf tt02()0lim30tf tt2(0)3f 220lim2(0,0)Dffxyxydxdyfxy(,)f x y例例2121.设在单位圆上有连续偏导数,且在边界上证明：取值为零，证明：222(,)1Dx yxy令cos,sinxy则ffxffxy cossinffxy从而fffxyxy因为(,)f x y在单位圆的边界上取值为零，则当1时，(cos,sin)0f因此22DffxyxyIdxdyxy2Dfd d 210fdd210(cos,sin)fd 20(cos,sin)fd20(cos,sin)fd 02(cos,sin)f0,2故00limlim(2(cos,sin)If2(0,0)f 由积分中值定理祝您成功！
