1、预备知识预备知识-控制系统的李雅普诺夫控制系统的李雅普诺夫(Lyapunov)稳定性分析稳定性分析Modern Control Theory 李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性v 平衡状态平衡状态v 稳定、渐近稳定、大范围稳定、不稳定的定义稳定、渐近稳定、大范围稳定、不稳定的定义 李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法v 线性系统的稳定判据线性系统的稳定判据v 非线性系统的稳定判据非线性系统的稳定判据 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法v 预备知识预备知识v 几个稳定判据几个稳定判据线性系统的李雅普诺夫稳定性分析线性系统的李雅普诺夫稳定性分析v李雅
2、普诺夫第二法在线性系统中的应用李雅普诺夫第二法在线性系统中的应用主要内容主要内容引言引言v 稳定性：稳定性：表示系统在遭受外界扰动偏离原来的平衡表示系统在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，而在扰动消失后，状态，而在扰动消失后，系统本身系统本身仍有能仍有能力恢复到平衡状态的一种力恢复到平衡状态的一种“顽性顽性”，属于，属于系统的系统的基本结构特性基本结构特性，而，而与输入作用无关与输入作用无关。v不同的稳定性概念：不同的稳定性概念：（1 1）李雅普诺夫意义下的稳定性）李雅普诺夫意义下的稳定性内部稳定性；内部稳定性；（2 2）输入输出稳定性）输入输出稳定性外部稳定性外部稳定性v研究的目的和意义：研究
3、的目的和意义：v稳定性是一个自动控制系统正常工作的稳定性是一个自动控制系统正常工作的首要、必首要、必要条件要条件，是一个重要特征。，是一个重要特征。v要求：要求：v在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。或者趋于另一平衡状态继续工作。引言引言v经典控制理论判别稳定性的方法：经典控制理论判别稳定性的方法：v劳斯判据劳斯判据 奈魁斯特判据奈魁斯特判据 对数频率判据对数频率判据 根轨迹法根轨迹法 适用范围：线性定常系统，适用范围：线性定常系
4、统，不适用于非不适用于非 线性和时变系统。线性和时变系统。v描述函数法描述函数法：又称谐波平衡法，只适用于非又称谐波平衡法，只适用于非线性程度较低的系统。线性程度较低的系统。v相平面法相平面法：只适合于一阶、二阶非线性系统。只适合于一阶、二阶非线性系统。引言引言v俄国学者俄国学者李雅普诺夫李雅普诺夫 Lyapunov（18571918）v1892年在博士论文中提出稳定性年在博士论文中提出稳定性理论理论 -不仅适用于单变量线性系统，不仅适用于单变量线性系统，还适用于多变量、非线性、时变还适用于多变量、非线性、时变系统，是确定系统稳定性的系统，是确定系统稳定性的更一更一般性般性理论。理论。v190
5、7（15年后）出版了法文版年后）出版了法文版v1992（100年后）出版了英文版年后）出版了英文版v当今任何一本控制期刊都有李雅当今任何一本控制期刊都有李雅普诺夫的名字普诺夫的名字。引言引言LyapunovLyapunov稳稳定性方法定性方法主要内容：主要内容：第二法李雅普诺夫第一法李雅普诺夫 通过求解特征方程的通过求解特征方程的特征值特征值，利，利用其性质判断系统的稳定性用其性质判断系统的稳定性（间间接法接法）不求解微分方程，而利用经验和技不求解微分方程，而利用经验和技巧构造巧构造能量函数能量函数-李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数来来判断系统的稳定性判断系统的稳定性（直接法直接法）其基本思路和分
6、析方法与经典理论一致其基本思路和分析方法与经典理论一致特别适用于非线性系统和时变系统特别适用于非线性系统和时变系统（因其状态方程求解困难）（因其状态方程求解困难）对任意阶线性或非线性、对任意阶线性或非线性、定常或时变系统的稳定性定常或时变系统的稳定性分析均适用的一般性方法分析均适用的一般性方法引言引言2、初态：、初态：的解为的解为 初态初态00(;,)x t x t0000),(xtxtx一、一、李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性(一一)几个基本概念几个基本概念(,)t xf x00()txx其解表示为：其解表示为：00(,)ttxx(,)t xf x1、自治系统自治系统：不受外
7、部影响即没有输入作用的：不受外部影响即没有输入作用的一类动态系统。一类动态系统。其状态方程描述为：其状态方程描述为：只需考虑自治系统（因为只需考虑自治系统（因为稳定性是系统在自由运动稳定性是系统在自由运动下的特性）：下的特性）：表示始于初态表示始于初态x0的一个运的一个运动或一条状态轨迹动或一条状态轨迹 3、平衡状态平衡状态n维状态维状态向量向量nxxx,21变量变量 和和t的的n维向量函数维向量函数),(txfx 若对所有若对所有t，总存在，总存在 ，则称则称 为系统的为系统的平衡状态或平衡点平衡状态或平衡点。ex注意：注意：1 1）如果系统是）如果系统是线性定常线性定常的，即：的，即：，则
8、当，则当 A为非奇异矩阵为非奇异矩阵时，系统存在一个时，系统存在一个唯一的唯一的平衡状态即平衡状态即 原点原点；Axx 对系统对系统0),(txfxee00eexAx系统能维持在某系统能维持在某状态不再变化状态不再变化2 2）对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态，这）对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态，这 些状态对应于系统的些状态对应于系统的常值解常值解（对所有（对所有t，总存在，总存在 ）exx 当当A为奇异矩阵为奇异矩阵时，系统将存在时，系统将存在无穷多个平衡状态无穷多个平衡状态。0eAxex无穷多个无穷多个3221211xxxxxx01x 02x 001ex102ex103ex三个
9、平衡三个平衡状态状态如：如：3 3）线性系统在平衡点稳定，则系统稳定；）线性系统在平衡点稳定，则系统稳定；而非线性系统在平衡点稳定，则只是在该点稳定，而非线性系统在平衡点稳定，则只是在该点稳定，而不是整个系统稳定而不是整个系统稳定-可见，可见，稳定性问题是相对稳定性问题是相对 于平衡状态而言的于平衡状态而言的。4 4）线性系统的稳定性）线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数只取决于系统的结构和参数，而与系统的而与系统的初始条件及外界扰动的大小无关初始条件及外界扰动的大小无关；但非线性系统的稳定性出了与系统的结构和参数有但非线性系统的稳定性出了与系统的结构和参数有 关外，还与初始条件及外界扰动
10、的大小有关。关外，还与初始条件及外界扰动的大小有关。5）孤立的平衡状态：）孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的领域内不存在某一平衡状态的充分小的领域内不存别的平衡状态，即称为孤立的平衡状态。别的平衡状态，即称为孤立的平衡状态。对于孤立的平衡状态，对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的总可以经过适当的坐标变换，把它变换到状态空间的原点坐标变换，把它变换到状态空间的原点。因此，因此，仅仅需要讨论系统在仅仅需要讨论系统在 这个平衡这个平衡状态处的稳定性即可。状态处的稳定性即可。-“-“原点稳定性问题原点稳定性问题”极大简化了研究，极大简化了研究，又不失一般性，是又不失一般性，是LyapunovLy
11、apunov的重要贡献。的重要贡献。0ex4、状态向量、状态向量 x 的范数的范数 在在n n维状态空间，维状态空间，向量向量x x的长度的长度称为向量称为向量x x的范数，的范数，表示为：表示为：状态向量状态向量 到平衡点到平衡点 的范数：的范数：当范数当范数 限制在某一范围之内时，可限制在某一范围之内时，可以表示为以表示为 ,且具有明确的几何意义。且具有明确的几何意义。用此概念来分析系统的稳定性。用此概念来分析系统的稳定性。2122221)(xxxxxxTn2222211)()()(neneeexxxxxxxxexxexx()x tex欧几里得范数欧几里得范数(二二)稳定性的几个定义稳定性
12、的几个定义exxex表示状态矢量表示状态矢量 与平衡状态与平衡状态 的的距离距离 x S点集点集ex表示表示以以 为中心为中心 为半径的超为半径的超球体（球域）球体（球域）212222211neneeexxxxxxxx Sx则xxe表示向量的向量的2 2范数或范数或欧几里得范数欧几里得范数 1 1、预备知识、预备知识当当 很小时，称很小时，称 为为 的邻域。的邻域。Sex Sx 0则xxe0意味着位于球域内，则：的解若方程00,;,txtxtxfxextxtx00,;表明齐次方程表明齐次方程 由初态由初态 或短暂或短暂扰动所引起的自由响应是有界的扰动所引起的自由响应是有界的 txfx,0 x设
13、系统设系统 如果对每个实数如果对每个实数 都对应存在另一个都对应存在另一个实数实数 ，使得满足，使得满足00),(0t),(00txxe的任意初始态的任意初始态 出发的运动轨迹出发的运动轨迹0 x00(;,)x t x t，在，在 都满足：都满足：t),(txfx 0),(txfxee2 2、李雅普诺夫、李雅普诺夫（李氏）意义下的稳定性李氏）意义下的稳定性000(;,),ex t x txtt 向量范数向量范数(表示表示空间距离空间距离)则称则称平衡状态平衡状态 是李雅普诺夫意义下稳定，是李雅普诺夫意义下稳定，常简称为常简称为稳定稳定。ex注意：通常实数注意：通常实数 与与 有关，一般情况下也
14、与有关，一般情况下也与 有关有关若若 与与 无关，则称这种平衡状态是无关，则称这种平衡状态是一致稳定一致稳定的。的。0t0t时变：时变：与与 有关有关 定常系统定常系统：与与 无关，无关，是是一致稳定一致稳定的。的。ex0t0t平衡状态即：如果对应于每一个即：如果对应于每一个 ，存在一个，存在一个 ，使得当，使得当t趋于趋于 无穷时，始于无穷时，始于 的轨迹不脱离的轨迹不脱离 ，则系统的平衡，则系统的平衡 状态称为在状态称为在LyapunovLyapunov意义下稳定意义下稳定。)(S)(S)(S)(S2x2xt S1x0 x0t S S1x状态轨迹李氏意义下稳定性的几何表示李氏意义下稳定性的
15、几何表示状态响应有界状态响应有界3 3、渐近稳定渐近稳定1）渐近稳定必然是）渐近稳定必然是LyapunovLyapunov意义下的稳定意义下的稳定2）3）一致渐近稳定一致渐近稳定00lim(;,)0etx t x tx无关与0t 如果平衡状态如果平衡状态 是稳定的，并且始于域是稳定的，并且始于域 的任一条轨迹当时间的任一条轨迹当时间t趋于无穷时趋于无穷时，都不脱离，都不脱离 ，且且收敛于收敛于 ，则称系统的平衡状态则称系统的平衡状态 为为渐近稳定渐近稳定的，的，其中球域其中球域 被称为平衡状态被称为平衡状态 的的吸引域吸引域。)(S)(Sex)(Sexexex平衡状态t S2x1x0 x0t
16、S S1x2x状态轨迹渐近稳定性的几何表示渐近稳定性的几何表示状态轨迹具状态轨迹具有：有界性有：有界性和渐近性和渐近性说明：说明：渐近稳定性表明系统能渐近稳定性表明系统能完全消除扰动的影响；完全消除扰动的影响；但，只是一个但，只是一个局部概念局部概念，依赖系统的平衡状态。依赖系统的平衡状态。对系统对系统任意任意的状态，如果由该的状态，如果由该状态出发的状态轨状态出发的状态轨迹都保持渐近稳定性迹都保持渐近稳定性，即随时间推移最终都收敛到，即随时间推移最终都收敛到平衡状态平衡状态 ，则系统称为大范围渐近稳定。，则系统称为大范围渐近稳定。或者说，如果系统的平衡状态或者说，如果系统的平衡状态 的渐近稳
17、的渐近稳 定的定的初始条件扩大为整个状态空间初始条件扩大为整个状态空间，则称此时，则称此时 系统的平衡状态系统的平衡状态 为为大范围渐近稳定大范围渐近稳定的。的。0ex0ex0ex4 4、大范围大范围(全局全局)渐近稳定渐近稳定)(0sx 当 与 无关 一致大范围渐近稳定。必要条件：在整个状态空间中只有一个平衡状态 0texx (),s 大范围稳定ex初始条件扩展到整个空间，且具渐近稳定性初始条件扩展到整个空间，且具渐近稳定性。即：对即：对 都有都有00lim(;,)0etx t xtx 如果对于某个实数如果对于某个实数 和任一个实数和任一个实数 ，不管这两个实数多么小不管这两个实数多么小，在
18、，在 内总内总存在一存在一 个状态个状态 ，使得，使得始于这一状态的轨迹最终会始于这一状态的轨迹最终会 脱离开脱离开 ，那么平衡状态，那么平衡状态 称为称为不稳不稳 定定的。的。00)(S0 x)(S0ex5 5、不稳定性不稳定性 线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定。非线性系统的平衡状态不稳定 只说明存在局 部发散的轨迹。t S2x1x0 x0t S S1x2x状态轨迹不稳定性的几何表示不稳定性的几何表示平衡状态几点说明：几点说明：1)、对于线性系统（严格）：渐近稳定等价对于线性系统（严格）：渐近稳定等价于大范围渐近稳定于大范围渐近稳定(线性系统稳定性与初始线性系统稳定性与初始条件的大小
19、无关条件的大小无关)。2)、但对于非线性系统：只能在小范围一致稳、但对于非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状态空间出发的轨迹都收敛定，由状态空间出发的轨迹都收敛 或其或其附近。附近。3)、稳定含义之间的区别、稳定含义之间的区别ex经典控制理论经典控制理论(线线性系统）性系统）不稳定不稳定(Re(s)0)临界情况临界情况(Re(s)=0)稳定稳定(Re(s)0)Lyapunov意义下意义下不稳定不稳定稳定稳定渐近稳定渐近稳定4)、不同的稳定性概念、不同的稳定性概念1 1）外部稳定性：）外部稳定性：若系统对所有若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输有界输入引起的零状态响应的输出出是有界的是有界
20、的，则称该系统是外部稳定的。，则称该系统是外部稳定的。外部稳定性也称为外部稳定性也称为有界输入有界输出有界输入有界输出BIBO（Bounded Input Bounded Output）稳定性稳定性。2 2）内部稳定性（或称状态稳定性）：）内部稳定性（或称状态稳定性）：系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而敛性，而与输入作用无关与输入作用无关。系统的稳定性都是系统的稳定性都是相对具体的某个平衡状态相对具体的某个平衡状态而言的而言的。李雅普诺夫稳定性问题就是研究系统在其平衡状态李雅普诺夫稳定性问题就是研究系统在其平衡状态附近自由运动的行为
21、特征，指的正是内部稳定性。附近自由运动的行为特征，指的正是内部稳定性。4)、不同的稳定性概念、不同的稳定性概念(一一)李雅普诺夫第一法（间接法）李雅普诺夫第一法（间接法）利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。1.1.线性定常系统稳定性的线性定常系统稳定性的特征值判据特征值判据：1）线性定常系统线性定常系统渐近稳定渐近稳定的的充要条件充要条件：即系统矩阵即系统矩阵A的全部特征值都具有负实部的全部特征值都具有负实部。Axx 0)0(xx0tni,2,1二、二、李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫稳定性理论Re()0i2）线性定常系统）线性定常系统 BIBO 稳定的稳
22、定的充要条件充要条件：传递函数传递函数 的的所有极点均所有极点均位于位于S左半平面左半平面。1()()ssGCIAB注意！：注意！：由于所有极点都是由于所有极点都是A的特征值，所以的特征值，所以渐近稳渐近稳定的系统，必然也是输入输出稳定定的系统，必然也是输入输出稳定的。的。但是，但是，由于不是由于不是A的所有特征值都是传函的极点的所有特征值都是传函的极点（G(s)中可能存在零极点对消现象），所以中可能存在零极点对消现象），所以输入输入输出稳定的系统，不一定具有渐近稳定性输出稳定的系统，不一定具有渐近稳定性。0 1y x|(1)60.IA例例1 1、试分析如下所示系统的渐近稳定和、试分析如下所示
23、系统的渐近稳定和BIBOBIBO稳定。稳定。解解:1:1、2132故系统故系统不是渐近稳定的不是渐近稳定的。2 2、11()()3G ssscIAb闭环极点闭环极点 s=-3=-3，位于，位于s 平面左半部分，所以系统为平面左半部分，所以系统为输入输出稳定输入输出稳定。结论：结论：BIBOBIBO稳定稳定 渐近稳定。渐近稳定。2.非线性系统的稳定性分析：非线性系统的稳定性分析：假定非线性系统在平衡状态附近可展开成泰勒级假定非线性系统在平衡状态附近可展开成泰勒级数，可用数，可用线性化系统的特征值判据线性化系统的特征值判据判断非线性系判断非线性系统的平衡状态处的稳定性。统的平衡状态处的稳定性。设非
24、线性系统状态方程：设非线性系统状态方程：在平衡状态在平衡状态 附近存在各阶偏导数，于是：附近存在各阶偏导数，于是：)(xfx)(xf-非线性函数非线性函数0ex其中：其中：)(xR-级数展开式中二阶及以上各项之和级数展开式中二阶及以上各项之和nnnnnTxfxfxfxfxfxfxf2112111)(xRxxfxexxT 上式为向量函数的雅可比矩阵。若忽略高阶项 则线性化状态方程为：Tnffff21Tnxxxx21exxTxfAAxx)(xR一次近似式一次近似式结论结论(李雅普诺夫第一法基本内容李雅普诺夫第一法基本内容)：1)若若 ，则非线性系，则非线性系统在统在 处是处是渐近稳定渐近稳定的，与
25、的，与 无关。无关。2)若若 则系统的平衡状态总是则系统的平衡状态总是不稳定不稳定的。的。3)若若 ，则稳定性与，则稳定性与 有关，有关，即即不能由其一次近似式来表征不能由其一次近似式来表征。Re()0ini,2,1ex)(xRRe()0iRe()0jnji,1Re()0i)(xR一、李雅普诺夫第二法简介：一、李雅普诺夫第二法简介：李氏第二法称为李氏第二法称为直接法直接法，建立在用，建立在用能量观点能量观点分分析稳定性的基础上析稳定性的基础上 。若系统的平衡状态是若系统的平衡状态是渐近稳定渐近稳定，则系统激励后，则系统激励后其存储的其存储的能量能量将随着时间的推移而将随着时间的推移而衰减衰减，
26、当趋于当趋于平衡状态平衡状态时，其时，其能量达到最小值能量达到最小值。反之，若系统的平衡状态是反之，若系统的平衡状态是不稳定不稳定的，则系统的，则系统将不断从外界吸收能量，其存储的将不断从外界吸收能量，其存储的能量将越来越大能量将越来越大。(二二)李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法二、李雅普诺夫函数二、李雅普诺夫函数-虚构的能量函数：虚构的能量函数：定义在状态空间上，定义在状态空间上，满足李雅普诺夫定理的，满足李雅普诺夫定理的，n n维状态向量和时间维状态向量和时间t t的的正定标量函数，正定标量函数，可用可用V(x,t)V(x,t)来来表示表示,不显含不显含t t则记为则记为V(x)V(x)。
27、对非线性系统，尚未形成构造李雅普诺夫函数的对非线性系统，尚未形成构造李雅普诺夫函数的通用方法；通用方法；对线性系统，通常可用对线性系统，通常可用二次型函数二次型函数作为能量函数。作为能量函数。李雅普诺夫第二法就是根据李雅普诺夫第二法就是根据能量函数能量函数及其状态轨及其状态轨迹随时间的变化率的迹随时间的变化率的定号性定号性来判断系统的稳定性。来判断系统的稳定性。若系统稳定，其总能量连续减小至平若系统稳定，其总能量连续减小至平衡状态时为止，则能量函数对时间的衡状态时为止，则能量函数对时间的导数必然负定。导数必然负定。三、三、二次型函数的一般概念二次型函数的一般概念(1)(1)定义：定义：代数式中
28、一种多项式函数，每一项的次数都代数式中一种多项式函数，每一项的次数都是二次，则称该函数为二次型函数（标量函数）。是二次，则称该函数为二次型函数（标量函数）。(2)(2)二次型函数的表示形式二次型函数的表示形式 以三阶系统为例：以三阶系统为例：代数式：代数式：矩阵式：矩阵式：322322312121)(xfxcxbxxexaxxdxxv3213215.05.05.05.05.05.0)(xxxcfefbdedaxxxPxxxvT二次齐次二次齐次多项式多项式对于线性系统，通常可用二次型函数对于线性系统，通常可用二次型函数 作作为李雅普诺夫函数。为李雅普诺夫函数。二次型的矩阵表示（通式）：二次型的矩
29、阵表示（通式）：nnnnnnnnTxxxPPPPPPPPPxxxPxxxV2121222211121121通常通常P为实对称方阵为实对称方阵 PxxT(3)(3)二次型函数的符号性质二次型函数的符号性质 正定正定：当当 (P P正定正定)时，则函数时，则函数 正定。正定。正半定：正半定：当当 (P P正半定正半定)时，则函时，则函数数 半正定。半正定。负定：负定：当当 (P P负定负定)时，则函数时，则函数 负定。负定。0,0)(0,0)(xxvxxv)(xv0,0)(0,0)(xxvxxv)(xv0,0)(0,0)(xxvxxv)(xv().TVxx Px负定。正定，则或者：若)()(xVx
30、V(3)(3)二次型函数的符号性质二次型函数的符号性质 负半定：负半定：当当 时，即系数矩阵时，即系数矩阵 P P负半定负半定，则函数则函数 半负定半负定 。不定：不定：不满足上述任何一种条件的二次型函数，即对不满足上述任何一种条件的二次型函数，即对所有所有x x，V(x)V(x)可正也可负。可正也可负。0,0)(0,0)(xxvxxv)(xv().TVxx Px负半定。正半定，则或者：若)()(xVxV赛尔维斯特准则赛尔维斯特准则（希尔维斯判据）（希尔维斯判据）-二次型的符号性质由其表示矩阵的符号性决定。二次型的符号性质由其表示矩阵的符号性决定。实实对称对称矩阵矩阵P为为正定正定的充分必要条
31、件是的充分必要条件是P P的各阶的各阶主子式均大于零主子式均大于零，即：，即：0det;0;0222112112111Ppppppn 实实对称对称矩阵矩阵P为为负定负定的充分必要条件是的充分必要条件是P的各阶的各阶主子式满足主子式满足：),2,1(;0;0niiii为奇数为偶数().TVxx Px负定。正定，则或者：若PP P P正半定正半定的充分必要条件的充分必要条件：系数矩阵系数矩阵P P的各阶主的各阶主子行列式均大于或等于零子行列式均大于或等于零，即，即),2,1(0niiP P负半定负半定的充分必要条件的充分必要条件：系数矩阵系数矩阵 P P 的各阶主的各阶主子行列式均满足下列条件，即
32、子行列式均满足下列条件，即)5,3,1(0)6,4,2(0iii负半定。正半定，则或者：若PP 例例2 2 设设X X为二维向量，试判断下面二次型为二维向量，试判断下面二次型 函数的符号特性。函数的符号特性。2212Vxxx 212Vxxx 2212Vxxx1)1)2)2)3)3)4)4)5)5)21232Vxxx 2122Vx xxx不定不定负半定负半定负定负定正半定正半定正定正定v稳定性定理：设系统状态方程：其平衡状态满足 ，考虑状态空间原点作为平衡状态()，并设在原点邻域存在一个对 x 具有连续一阶偏导数的标量函数 。),(txfx 0),0(tf0ex),(txV四、李雅普诺夫主要的稳
33、定性定理四、李雅普诺夫主要的稳定性定理 定理1：若(1)正定；(2)负定；则系统在原点平衡状态处是渐近稳定的。说明：负定 随时间增加，沿系统的任意轨迹运行时，系统的能量是连续单调衰减的。),(txV),(txV),(txV若还满足：若还满足：则系统在平衡状态处是则系统在平衡状态处是大范围渐近稳定大范围渐近稳定的。的。(,)Vt 当时，有xx充分条件、苛刻条件！充分条件、苛刻条件！例例3、已知非线性系统的状态方程为：已知非线性系统的状态方程为：试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。)(2221121.xxxxx)(2221212.xxxxx令令01.x02.x01x
34、02x原点是唯一平衡点。原点是唯一平衡点。解：解：设2221)(xxxV2.21.1.22)(xxxxxV22221.)(2)(xxxV0)(0.xVx0)(0.xVx负定)(.xV1)原点是原点是渐近稳定渐近稳定的；的；2)有有 ，该系统是，该系统是大范围大范围渐近稳定渐近稳定；3)由于由于V(x)与与t无关，又是无关，又是大范围一致渐近稳定大范围一致渐近稳定。定理定理1则(,)Vt当时，有xx 几何意义：)()(22212221ccxxxV以原点为圆心、半径为以原点为圆心、半径为c的一簇圆的一簇圆1c2c),(2010 xx2x1x 系统状态运动时，能量逐渐减少，即系统状态运动时，能量逐渐
35、减少，即在此二维状态空间中，系统运动的状态轨迹均由外向在此二维状态空间中，系统运动的状态轨迹均由外向内穿过各内穿过各V圆，最终收敛于原点。圆，最终收敛于原点。负定)(xV-表示系统的储能（能量越多，半径越大）。表示系统的储能（能量越多，半径越大）。定理2：若(1)正定；(2)负半定；(3)在非零状态不恒等于零，则系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。),(txV),(txV若还满足：若还满足：(,)Vt 当时，有xx则系统在平衡状态处是则系统在平衡状态处是大范围渐近稳定大范围渐近稳定的。的。说明：不存在 ，经历能量等于恒定，但不会维持在该状态，而是继续运动到原点。0),(txV00(;,)0 x
36、 t x t),(txV2 22 2取取V(x)=)=x1 1+x2 2x1 1x2 2x1 1x2 2()0,0Vxx()0,0VxxV增大的方向增大的方向若若V(x)表示系统状态到状态空间原点的距离，表示系统状态到状态空间原点的距离，其几何意义为：其几何意义为：V(x)表示状态表示状态x沿系统轨迹趋于原点的速度沿系统轨迹趋于原点的速度。:.x x0 0 x x0 0例例4、试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。解：解：1)1)21.xx 212.xxx令令02.x01x02x01.x即系统的平衡状态为原点。即系统的平衡状态为原点。2221)(xxxV222
37、)(xxV设设则：则：0)(0,0.21xVxx0)(.xV)(.xV其它其它负半定负半定令令0)(.xV01x02x只有全零解只有全零解0 x非零状态时非零状态时0)(.xV原点原点 是是渐近稳定渐近稳定的，且是的，且是大范围一致渐近稳大范围一致渐近稳定定的。的。0ex定理定理2(,)Vt 当时，有xx且且V(x)与与t无关无关v定理3：若(1)正定；(2)负半定；即 在非零状态存在恒为零；则原点是李雅普诺夫意义下稳定的（但非渐近稳定）。),(txV),(.txV说明：系统维持等能量运动（稳定的等幅振荡状态），使 维持在非零状态而不运行至原点。0),(.txV0 x00(;,)x t x t
38、),(txV()0,0Vxxx x2 2x x1 1二维非线性系统二维非线性系统-运动于运动于闭合轨线，称为闭合轨线，称为极限环极限环。线性定常系统线性定常系统-表现为相表现为相平面上的一簇同心圆；平面上的一簇同心圆；经典控制论中，称为经典控制论中，称为临界临界稳定稳定。x x0 0例例5 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。)0(21.kkxx 12.xx 02.1.xx 021 xx则原点是平衡状态则原点是平衡状态2221)(kxxxV.1212()220V xkx xkx x定理定理3()V x 正（负）半 定设设 则则 故系统是李雅普诺夫意义下的稳定
39、。故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。解：由于解：由于v定理定理4：若：若(1)正定；正定；(2)正定；正定；则原点是则原点是不稳定不稳定的。的。),(txV),(txV),(.txV00(;,)x t x tex说明：说明：正定 系统能量随时间不断增大，在 处发散，远离原点。原点不稳定原点不稳定线性系统不稳定非线性系统不一定exv推论1：当 正定，正半定，且 在非零状态不恒为零时，则原点不稳定(同定理4)。v推论2：正定，正半定，若 时，仍有 ，则原点 是李雅普诺夫意义下稳定(同定理3)。),(txV),(.txV),(txV),(txV0 x0),(txV),(txV几点说明：几点说明：1)选
40、取不唯一选取不唯一，但没有通用办法，但没有通用办法，选取不当，会导致选取不当，会导致 不定的结果不定的结果。2)这仅仅是这仅仅是充分条件充分条件。-单调衰减单调衰减(实际上是衰减振荡实际上是衰减振荡),(txV),(.txV),(txV),(.txV小小 结结李雅普诺夫第二法的步骤：李雅普诺夫第二法的步骤：1)构造一个构造一个 二次型；二次型；2)求求 ，并代入状态方程；，并代入状态方程；3)判断判断 的定号性；的定号性；4)判断非零状态情况（即判断非零状态情况（即 ）下，）下，是否恒为零。是否恒为零。),(txV),(.txV),(.txV？渐近稳定？渐近稳定？李雅普诺夫稳定？李雅普诺夫稳定
41、？不稳定？不稳定),(.txV0 x 令令 若若 成立成立 李雅普诺夫意义李雅普诺夫意义下稳定下稳定 若仅若仅 成立成立 渐近稳定渐近稳定 0),(.txV0),(.txV0),(.txV0,x 0,x解解:即即 设设 则则 可见可见 与与 无关，故非零状态无关，故非零状态(如如 )有有 ，而对其余任意状态，而对其余任意状态 有有212.21.xxxxx0 2.1.xx0 21 xx0ex2221)(xxxV22.2)(xxV)(.xV1x01x02x0)(xV0)(.xV例例6、试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。故故 正半定正半定。令令 即即非零状态时非
42、零状态时，不恒为零不恒为零，则原点不稳，则原点不稳定即系统不稳定。定即系统不稳定。)(.xV0,00)(12.xxxV)(.xV推论推论1v推论1：当 正定，正半定，且 在非零状态不恒为零时，则原点不稳定。),(txV),(.txV),(txV只有全零解只有全零解设系统状态方程为：为唯一平衡状态。Axx A-非奇异矩阵非奇异矩阵0ex)(xV()TV xx Px线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析则：将将 代入代入 ：Axx 设选取如下的正定二次型函数 为李雅普诺夫函数 由渐近稳定性定理1，只要Q正定(即 负定)，则系统是大范围一致渐近稳定。TA PPAQ QxxxVT)(.)(.xV()Tx P
43、xV x定理定理5：系统 在原点处大范围渐近稳定的充要条件为：给定一任意正定实对称矩阵Q，存在唯一的正定实对称矩阵P使 成立，则 为系统的一个李雅普诺夫函数。AxxTA PPAQ 令即即ATP+PA=-=-Q-李雅普诺夫方程李雅普诺夫方程()Tx PxV x定理定理6：系统 在原点处大范围渐近稳定，给定一任意正半定矩阵Q，存在唯一的正定实对称矩阵P使 成立的充要条件为：且 为系统的一个李雅普诺夫函数。AxxTA PPAQ nQAQAQranknTT)(1正定对称阵正定对称阵正定对称阵正定对称阵解法1：（定理5）给定正定Q P Q常取为单位阵I P的定号性解法2：Q取正半定(定理6)允许单位矩阵
44、主对 角线上部分元素为零 校验：则 有唯一正定实对称矩阵解P P的定号性()Tx PxV xnQAQAQranknTT)(1TA PPAQ)(xV也可用原点外也可用原点外 不恒为零来校验有解性不恒为零来校验有解性!例例5.判断该系统的稳定性。判断该系统的稳定性。xx1110.0ex()TV xx Px11121112122212220101 11111001pppppppp 解：选取解：选取1212 p0221211ppp1222212 pp121212322121211pppp02311p0121212322121211ppppP正定正定 是大范围一致渐近稳定。是大范围一致渐近稳定。ex22
45、11221(322)02TVx Pxxx xx0)(2221.xxV121212322121211pppp控制系统的李雅普诺夫稳定性分析控制系统的李雅普诺夫稳定性分析1 1、稳定性是表征系统运动行为的一类重要结构特性，、稳定性是表征系统运动行为的一类重要结构特性，是系统正常运行的前提。本章学习了李雅普诺夫稳是系统正常运行的前提。本章学习了李雅普诺夫稳定的基本概念、间接法和直接法。偏重讨论了李雅定的基本概念、间接法和直接法。偏重讨论了李雅普诺夫普诺夫直接法直接法，是现今控制理论研究稳定性问题的，是现今控制理论研究稳定性问题的最基本工具。最基本工具。2 2、外部稳定性外部稳定性（BIBOBIBO稳
46、定性稳定性）；）；内部稳定性内部稳定性（状态空（状态空间描述的系统自治运动的稳定性）。对线性定常系间描述的系统自治运动的稳定性）。对线性定常系统，前者为传递函数矩阵的所有极点具有负实部，统，前者为传递函数矩阵的所有极点具有负实部，后者为系统特征值具有负实部，若后者为系统特征值具有负实部，若系统能控且能观，系统能控且能观，则两者等价则两者等价。小结小结4 4、构造能量函数的方法、构造能量函数的方法(直接法的关键和难点直接法的关键和难点)：对简单系统，可采用一些规则化方法构造（对简单系统，可采用一些规则化方法构造（李雅普李雅普诺夫方程诺夫方程）；对复杂系统，至今仍采用基于实验的）；对复杂系统，至今仍采用基于实验的试凑方法。试凑方法。3 3、李氏第二法、李氏第二法-直接法：给出了系统大范围渐直接法：给出了系统大范围渐近稳定的充分判据，其核心是构造一个近稳定的充分判据，其核心是构造一个能量函数能量函数，这一方法这一方法适用于所有系统适用于所有系统。理解李雅普诺夫意义下稳定性的定义及物理理解李雅普诺夫意义下稳定性的定义及物理意义；意义；清楚李雅普诺夫意义下的稳定性与经典控制清楚李雅普诺夫意义下的稳定性与经典控制理论中稳定性的异同；理论中稳定性的异同；牢固理解和掌握李雅普诺夫第一方法和牢固理解和掌握李雅普诺夫第一方法和第二第二方法方法，并灵活应用。，并灵活应用。要求要求 谢谢观赏
