1、 我要问我要问 这些图片中的物体具有什么样的几何这些图片中的物体具有什么样的几何 结构特征结构特征?你能对它们进行分类吗你能对它们进行分类吗? 我来答我来答 上图中的物体大体可分为两大类上图中的物体大体可分为两大类. 其中其中(2),(5),(7),(9),(13),(14),(15),(16) 具有相同的特点具有相同的特点:组成几何体的每个面都是平面图组成几何体的每个面都是平面图 形形,并且都是平面多边形；并且都是平面多边形； (1),(3),(4),(6),(8),(10),(11),(12) 具有相同的特点具有相同的特点:组成它们的面不全是平面图形组成它们的面不全是平面图形. 想一想想一
2、想? 我们应该给上述两大类几何我们应该给上述两大类几何 体取个什么名字才好呢体取个什么名字才好呢? 空间几何体空间几何体: 对于空间的物体对于空间的物体,如果只考虑它的的形状、大小和如果只考虑它的的形状、大小和 位置，而不考虑物体的其他性质位置，而不考虑物体的其他性质,从中抽象出来的空间从中抽象出来的空间 图形叫做空间几何体图形叫做空间几何体 1.1 1.1 柱、锥、台、球的结构特征柱、锥、台、球的结构特征 多面体的定义：多面体的定义： (1)(1)定义定义: :由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体 (2)(2)多面体的面：多面体的面： 多面体的
3、棱：多面体的棱： 多面体的顶点：多面体的顶点： 多面体的对角线：多面体的对角线： 围成多面体的各个多边形围成多面体的各个多边形 两个面的公共边两个面的公共边 棱和棱的公共点棱和棱的公共点 不在同一面上的两个顶点的连线段不在同一面上的两个顶点的连线段 (3)(3)多面体的分类多面体的分类: : 凸多面体凸多面体 凹多面体凹多面体 多面体多面体 四面体四面体 多面体多面体 五面体五面体 六面体六面体 D A B C E F F A E D B C 棱柱棱柱 棱锥棱锥 圆柱圆柱 圆锥圆锥 圆台圆台 棱台棱台 球球 结构特征结构特征 有两个面互相平行，有两个面互相平行， 其余各面都是四边形，其余各面都
4、是四边形， 并且每相邻两个四边形并且每相邻两个四边形 的公共边都互相平行。的公共边都互相平行。 侧棱侧棱 侧面侧面 底底 面面 顶点顶点 棱柱的结构特征棱柱的结构特征 1.1.棱柱的概念：棱柱的概念： A B C D E F A B C D E F 棱柱的棱柱的底面底面： 两个互相平行的面两个互相平行的面. . 简称简称底底. . 底面底面 底面底面 棱柱的棱柱的侧面侧面： 其余各面其余各面. 棱柱的棱柱的侧棱侧棱： 相邻侧面的公共边相邻侧面的公共边. . 棱柱的棱柱的顶点顶点： 侧面与底面的公共顶点侧面与底面的公共顶点. . 侧侧 面面 侧侧 棱棱 顶顶 点点 棱柱的结构特征棱柱的结构特征
5、2.2.棱柱的分类：棱柱的分类： 按底面多边形的边数来分按底面多边形的边数来分 三棱柱三棱柱 四棱柱四棱柱 五棱柱五棱柱 3.3.棱柱的表示：棱柱的表示： 棱柱棱柱ABC- - ABC 用表示底面各顶点的字母表示用表示底面各顶点的字母表示 D A B C D E A B C E A B C D A B C D A B C A B C 棱柱的结构特征棱柱的结构特征 A B C D E F A B C D E F 思考：思考：对于棱柱，对于棱柱， 1.1.侧棱长相等吗？侧棱长相等吗？ 侧面是什么四边形？侧面是什么四边形？ 平行四边形平行四边形 相等相等 2.2.两个底面多边形是什么关系？两个底面多
6、边形是什么关系？ 与平行于底面的截面呢？与平行于底面的截面呢？ 全等全等 3.3.过不相邻的两条侧棱的截面是什么四边形？过不相邻的两条侧棱的截面是什么四边形？ 平行四边形平行四边形 棱柱的结构特征棱柱的结构特征 4.4.棱柱的性质：棱柱的性质： （1 1）侧棱相等，侧面都）侧棱相等，侧面都 是平行四边形；是平行四边形； （2 2）两个底面与平行于底）两个底面与平行于底 面的截面是全等多边形；面的截面是全等多边形； （3 3）过不相邻的两条侧棱的截面）过不相邻的两条侧棱的截面 是平行四边形是平行四边形. . A B C D E F A B C D E F 例例2.2.有两个面互相平行，其余各面都
7、是有两个面互相平行，其余各面都是 平行四边形的几何体是不是棱柱？平行四边形的几何体是不是棱柱？ 长方体：长方体： 侧面和底面都是矩形的棱柱侧面和底面都是矩形的棱柱. . 正方体：正方体： 侧面和底面都是正方形的棱柱侧面和底面都是正方形的棱柱. . 棱柱棱柱 棱锥棱锥 圆柱圆柱 圆锥圆锥 圆台圆台 棱台棱台 球球 S A B C D 顶点顶点 侧面侧面 侧棱侧棱 底面底面 结构特征结构特征 有一个面是多有一个面是多 边形，其余各面都边形，其余各面都 是有一个公共顶点是有一个公共顶点 的三角形。的三角形。 棱锥的结构特征棱锥的结构特征 1.1.棱锥的概念：棱锥的概念： 一般地，有一个面一般地，有一
8、个面 是多边形，其余各面都是多边形，其余各面都 是有一个公共顶点的三是有一个公共顶点的三 角形，由这些面所围成角形，由这些面所围成 的几何体叫做的几何体叫做棱锥棱锥. . 棱锥的结构特征棱锥的结构特征 1.1.棱锥的概念：棱锥的概念： 棱锥的棱锥的底面底面： 多边形面多边形面. . 简称简称底底. . 底面底面 顶点顶点 棱锥的棱锥的侧面侧面： 有公共顶点的有公共顶点的 各个三角形面各个三角形面. 棱锥的棱锥的侧棱侧棱： 相邻侧面的公共边相邻侧面的公共边. . 棱锥的棱锥的顶点顶点： 各侧面的公共顶点各侧面的公共顶点. . 侧侧 棱棱 侧侧 面面 棱锥的结构特征棱锥的结构特征 2.2.棱锥的分
9、类：棱锥的分类： 按底面多边形的边数来分按底面多边形的边数来分 三棱锥三棱锥 四棱锥四棱锥 五棱锥五棱锥 3.3.棱锥的表示：棱锥的表示： 棱锥棱锥SABC 用顶点各底面各顶点的字母表示用顶点各底面各顶点的字母表示 棱柱棱柱 棱锥棱锥 圆柱圆柱 圆锥圆锥 圆台圆台 棱台棱台 球球 结构特征结构特征 A B C D A B C D 用一个平行于棱用一个平行于棱 锥底面的平面去截棱锥底面的平面去截棱 锥锥,底面与截面之间的底面与截面之间的 部分是棱台部分是棱台. 棱台的结构特征棱台的结构特征 1.1.棱台的概念：棱台的概念： 棱台的棱台的底面底面： 原棱锥的底面和截原棱锥的底面和截 面分别叫做棱台
10、的面分别叫做棱台的下底下底 面面和和上底面上底面。 下底面下底面 侧侧 棱棱 顶顶 点点 侧侧 面面 上底面上底面 棱台的结构特征棱台的结构特征 1.1.棱台的概念：棱台的概念： 用一个平行于棱锥用一个平行于棱锥 底面的平面去截棱锥，底面的平面去截棱锥， 底面与截面之间的部分，底面与截面之间的部分， 这样的多面体叫做这样的多面体叫做棱台棱台. . 2.2.棱台的分类：棱台的分类： 由三棱锥、四棱锥、五棱锥由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的截得的 棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台 三棱台三棱台 四棱台四棱台 五棱台五棱台 3.3.棱台的表示：棱台的表示： 棱台棱台
11、ABCDABCD 用顶点各底面各顶点的字母表示用顶点各底面各顶点的字母表示 B 棱柱棱柱 棱锥棱锥 圆柱圆柱 圆锥圆锥 圆台圆台 棱台棱台 球球 A A O B O 轴轴 底面底面 侧侧 面面 母母 线线 结构特征结构特征 以矩形的一边所以矩形的一边所 在直线为旋转轴在直线为旋转轴,其其 余三边旋转形成的曲余三边旋转形成的曲 面所围成的几何体叫面所围成的几何体叫 做圆柱。做圆柱。 棱柱棱柱 棱锥棱锥 圆柱圆柱 圆锥圆锥 圆台圆台 棱台棱台 球球 S 顶点顶点 A B O 底面底面 轴轴 侧侧 面面 母母 线线 结构特征结构特征 以直角三角形的以直角三角形的 一条直角边所在直线一条直角边所在直线
12、 为旋转轴为旋转轴,其余两边旋其余两边旋 转形成的曲面所围成转形成的曲面所围成 的几何体叫做圆锥。的几何体叫做圆锥。 棱柱棱柱 棱锥棱锥 圆柱圆柱 圆锥圆锥 圆台圆台 棱台棱台 球球 结构特征结构特征 O O 用一个平行于圆用一个平行于圆 锥底面的平面去截圆锥底面的平面去截圆 锥锥,底面与截面之间的底面与截面之间的 部分是圆台部分是圆台. 棱柱棱柱 棱锥棱锥 圆柱圆柱 圆锥圆锥 圆台圆台 棱台棱台 球球 结构特征结构特征 O 半径半径 球心球心 以半圆的直径所以半圆的直径所 在直线为旋转轴在直线为旋转轴,半圆半圆 面旋转一周形成的旋面旋转一周形成的旋 转体转体. 球的结构特征球的结构特征 球：
13、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆 面旋转一周形成的几何体叫做面旋转一周形成的几何体叫做球体球体。 直径直径 O A B C 球心球心 大圆大圆 棱柱棱柱 棱锥棱锥 圆柱圆柱 圆锥圆锥 圆台圆台 棱台棱台 球球 （1 1）棱柱与圆柱统称为柱体。）棱柱与圆柱统称为柱体。 （2 2）棱锥与圆锥统称为锥体。）棱锥与圆锥统称为锥体。 旋转体旋转体 （2 2）棱台与圆台统称为台体。）棱台与圆台统称为台体。 多面体多面体 几何体的分类几何体的分类 前面提到的四种几何体：棱柱、棱锥、圆柱、圆前面提到的四种几何体：棱柱、棱锥、圆柱、圆 锥，可以怎样分类？锥，可以怎样分
14、类？ 柱体柱体 锥体锥体 锥锥 体体 柱柱 体体 台台 体体 柱、锥、台体的关系柱、锥、台体的关系 棱柱、棱锥、棱台之间有什么关系？圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、棱台之间有什么关系？圆柱、圆锥、 圆台之间呢？柱、锥、台体之间有什么关系？圆台之间呢？柱、锥、台体之间有什么关系？ 上底扩大上底扩大 上底缩小上底缩小 上底缩小上底缩小 上底扩大上底扩大 几何体的分类几何体的分类 柱体柱体 锥体锥体 台体台体 球球 多面体多面体 旋转体旋转体 练习：练习： 1、下列命题是真命题的是（、下列命题是真命题的是（ ） A 以直角三角形的一直角边所在的直线为轴以直角三角形的一直角边所在的直线为轴 旋转所得的几何体为
15、圆锥；旋转所得的几何体为圆锥； B 以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转所以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转所 得的旋转体为圆柱；得的旋转体为圆柱； C 圆柱、圆锥、棱锥的底面都是圆；圆柱、圆锥、棱锥的底面都是圆； D 有一个面为多边形，其他各面都是三角形有一个面为多边形，其他各面都是三角形 的几何体是棱锥。的几何体是棱锥。 A 2、过球面上的两点作球的大圆，可以作、过球面上的两点作球的大圆，可以作 （ ）个。）个。 1或无数多或无数多 3.下图中不可能围成正方体的是（下图中不可能围成正方体的是（ ） A D C B B 4.在棱柱中在棱柱中.( ) A . 只有两个面平行只有两个面平行 B .
16、 所有的棱都相等所有的棱都相等 C . 所有的面都是平行四边形所有的面都是平行四边形 D . 两底面平行，并且各侧棱也平行两底面平行，并且各侧棱也平行 D 知识小结知识小结 简单几何体的结构特征简单几何体的结构特征 柱体柱体 锥体锥体 台体台体 球球 棱柱棱柱 圆柱圆柱 棱锥棱锥 圆锥圆锥 棱台棱台 圆台圆台 1.2.3 空间几何体空间几何体 的直观图的直观图 什么叫直观图什么叫直观图 ? 把空间图形画在平面内，使得既富有立体感，又把空间图形画在平面内，使得既富有立体感，又 能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系 的图形的图形 B C D A B
17、C D A 画直观图的方法：画直观图的方法：斜二侧法斜二侧法 1、画水平放置的正六边形的直观图. A D E B F C M O x y N A B M CN E D F x O y 规则： （3 3）已知图形中平行于）已知图形中平行于x x轴的线段，在直观图中轴的线段，在直观图中 保持长度不变；平行于保持长度不变；平行于y y轴的线段，长度为原来的轴的线段，长度为原来的 一半一半 （2 2）已知图形中平行于）已知图形中平行于x x轴、轴、y y轴的线段，在直观轴的线段，在直观 图中分别画成平行于图中分别画成平行于 或轴或轴 轴的线段；轴的线段； x y （1 1）在已知图形中取互相垂直的）在
18、已知图形中取互相垂直的x x轴和轴和y y轴轴, ,两轴相交两轴相交 于点于点O.O.画直观图时画直观图时, ,把它们画成对应的把它们画成对应的 轴和轴和 轴轴, ,两两 轴相交于轴相交于O,O,且使且使 , ,它们确定的平面它们确定的平面 表示水平面；表示水平面； 00 13545或yox x y 2、画水平放置的圆的直观图. C O x y D A B E F G H x O y AB CE D F 原图原图 直观图直观图 原图原图 直观图直观图 1 1）画水平放置的平面多边形的直观图关键是确定多边形）画水平放置的平面多边形的直观图关键是确定多边形 的顶点位置。确定点的位置，可以借助于平面
19、直角坐标系。的顶点位置。确定点的位置，可以借助于平面直角坐标系。 2 2）平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不）平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不 变；点的共线性不变；线的共点性不变；但角的大小有变变；点的共线性不变；线的共点性不变；但角的大小有变 化；（特别是垂直关系发生变化）有些线段的度量关系也化；（特别是垂直关系发生变化）有些线段的度量关系也 发生变化。因此，图形的形状发生变化，这种变化，目的发生变化。因此，图形的形状发生变化，这种变化，目的 是为了图形富有立体感。是为了图形富有立体感。 小小 结结 3、画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的 长方体的直观图.
20、x o y z N M P Q A D C A1 B B1 C1 D1 x y 3 4 规则： （1 1）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴oxox、 oy,oy,再取再取ozoz轴，使轴，使xoy=45xoy=450 0，且，且xoz=90 xoz=900 0 ； （4 4）已知图形中平行于）已知图形中平行于x x轴和轴和z z轴的线段，在直观轴的线段，在直观 图中保持长度不变；平行于图中保持长度不变；平行于y y轴的线段，长度为原轴的线段，长度为原 来的一半来的一半 （2 2）画直观图时，把它们画成对应的）画直观图时，把它们画成对应的 轴，使轴，
21、使 所确定所确定 的平面表示水平平面；的平面表示水平平面； , , zoyoxo .90,13545 000 yoxzoxyox或 （3 3）已知图形中平行于）已知图形中平行于x x轴、轴、y y轴或轴或z z轴的线段，在轴的线段，在 直观图中分别画成平行于直观图中分别画成平行于 轴轴 轴或轴或 轴的线段；轴的线段； x y z 4、直棱柱的直观图的画法 x y O z A B C D E F A B C D E F 直 六 棱 柱 已知几何体的三视图如下，画出它的直观图. O O . . p O O . . p . 正视图正视图 侧视图侧视图 俯视图俯视图 练习练习 x o y z . O
22、. p x y . p . O . o 练习练习 1. 对几何体三视图，下列说法正确的是：（对几何体三视图，下列说法正确的是：（ ） A . 正视图反映物体的长和宽正视图反映物体的长和宽 B . 俯视图反映物体的长和高俯视图反映物体的长和高 C . 侧视图反映物体的高和宽侧视图反映物体的高和宽 D . 正视图反映物体的高和宽正视图反映物体的高和宽 C 2 . 若某几何体任何一种视图都为圆，那么这个几何体若某几何体任何一种视图都为圆，那么这个几何体 是是 _ 球体球体 1. 柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积 正方体、长方体的表面积就是各个面的面积之和。正方体、长方体的表面积就是各
23、个面的面积之和。 探究探究 棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形 围成的几何体，它们的展开图是什么？如围成的几何体，它们的展开图是什么？如 何计算它们的表面积？何计算它们的表面积？ 棱柱的侧面展开图棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形是由平行四边形组成的平面图形 棱锥的侧面展开图棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形是由三角形组成的平面图形 棱台的侧面展开图棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形是由梯形组成的平面图形 这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、 三角形、梯形的面积问题。三角形、梯
24、形的面积问题。 .),( ,1 求它的表面积如下图面体 四各面均为等边三角形的、已知棱长为例 ABCS a S B A C D a a aBDSBSD 2 3 ) 2 ( 2222 2 4 3 2 3 2 1 2 1 aaaSDBCS SBC 22 3 4 3 44 ABC-S aaSS SBC 的表面积四面体 圆柱的展开图是一个圆柱的展开图是一个矩形矩形： 如果圆柱的底面半径为如果圆柱的底面半径为 ，母线为，母线为 ，那么圆柱，那么圆柱 的底面积为的底面积为 ，侧面积为，侧面积为 。因此圆柱的。因此圆柱的 表面积为表面积为 rl 2 rrl2 )(222 2 lrrrlrS O O l r
25、r2 圆锥的展开图是一个圆锥的展开图是一个扇形扇形： 如果圆柱的底面半径为如果圆柱的底面半径为 ，母线为，母线为 rl )( 2 lrrrlrS O S r2 l rllrS2 2 1 侧 圆锥的表面积为：圆锥的表面积为： 那么圆锥的侧面积为：那么圆锥的侧面积为： 圆台的展开图是一个圆台的展开图是一个扇环扇环，它的表面积等于上、，它的表面积等于上、 下两个底面和加上侧面的面积，即下两个底面和加上侧面的面积，即 )( 22 rllrrrS O O 、 r2 r2 、 r2 r2 、 r r l 、 、 、 、 即 rr lr AO EB AB SA EB AB AO SA ）（ 、 、 、 扇
26、rr lr rSArS SAC 、 o o S A B CD E )()( )( SBD 、 、 扇 rr rl rl rr lr r lSArSBrS )(S-S SACSBD 、 扇扇扇环 rrlS )(SSS 22 rllrrrS 、 侧面下底上底表面 思考：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公 式间的联系与区别 S圆柱侧= 2rl S圆锥侧= rl S圆台侧=（r1+r2)l r1=0 r1=r2 ?)1,14. 3 (.15 ,5 . 1,15 ,20, 2 cm cm cmcm cm 结果精确到 取多少平方厘米那么花盆的表面积约是 盆壁长底部渗水圆孔直径为直径为 盆底一个圆台形花盆直径为如下
27、图例 15cm 10cm 7.5cm 2、柱体、锥体、台体的体积、柱体、锥体、台体的体积 正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可以统正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可以统 一为：一为： V = Sh（S为底面面积，为底面面积，h为高）为高） 一般棱柱的体积公式也是一般棱柱的体积公式也是V = Sh，其中，其中S为为 底面面积，底面面积，h为高（即上下底面的距离）为高（即上下底面的距离） h s 柱柱 体体 圆锥的体积公式是圆锥的体积公式是 ShV 3 1 (其中其中S为底面面积，为底面面积，h为高为高) 3 1 它是同底同高的圆柱的体积的它是同底同高的圆柱的体积的 锥锥 体体 棱锥的体积公式也
28、是棱锥的体积公式也是 ShV 3 1 S O h h A S B C 探究探究 探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系？探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系？ 3 1 它也是同底同高的棱柱的体积的它也是同底同高的棱柱的体积的 hSSSSV)( 3 1 圆台圆台(棱台棱台)的体积可以利用两个锥体的体积可以利用两个锥体 的体积差，得到台体体积公式：的体积差，得到台体体积公式： 其是其是S，S分别为上底面面积，分别为上底面面积，h为圆台（棱台）高。为圆台（棱台）高。 台台 体体 ?)14. 3( ,10,10,12 ,8 . 5)( )/8 . 7( 3 3 取大约有多少个 问这堆螺帽高为内孔直径
29、边长为 已知底面是正六边形共重如下图六角螺帽 铁的密度是有一堆规格相同的铁制例 mmmmmm kg cmg 圆柱棱柱螺帽 VVV- 每个螺帽总 个数/VV 3 59.7438 . 710008 . 5/cmmV 总 32160103366 shV 棱柱 78510514. 3 22 hrV 圆柱 12 h 33612 2 3 12 2 1 三角 S 295678532160 螺帽 V （个） 螺帽总 2522.956743.59/VV 练习练习 1 . 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形， 则这个圆柱的全面积与侧面积的比是则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（
30、） A . B . C . D . 2 21 4 41 21 2 41 A 2 . 已知圆锥的全面积是底面积的已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么这个倍，那么这个 圆锥的侧面积展开图圆锥的侧面积展开图-扇形的圆心角为扇形的圆心角为_ _度度 180 教学目标：教学目标： 1 1、通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、 锥、台的体积的求法。锥、台的体积的求法。 2 2、了解柱、锥、台的体积计算公式；能运、了解柱、锥、台的体积计算公式；能运 用柱锥台的表面积公式及体积公式进行计用柱锥台的表面积公式及体积公式进行计 算和解决有关实际问题算和解决有关实际问题. . 3 3
31、、培养学生空间想象能力和思维能力。、培养学生空间想象能力和思维能力。 复习引课：复习引课： 1.1. 复习提问：圆柱、圆锥、圆台的表面积复习提问：圆柱、圆锥、圆台的表面积 计算公式是什么？计算公式是什么？ )(222 2 lrrrlrS 圆柱表面积 )( 2 lrrrlrS 圆锥表面积 )( 22 rllrrrS 圆台表面积 2.2. 练一练：若知道正六棱锥的侧棱长为练一练：若知道正六棱锥的侧棱长为 6, 6, 底面边长为底面边长为4,4, 你能求出它的高和表面你能求出它的高和表面 积吗积吗? ? 3.3. 提问：我们已经学过了柱体、锥体、台提问：我们已经学过了柱体、锥体、台 体的表面积的求法
32、及其计算公式体的表面积的求法及其计算公式, ,现在的问现在的问 题是它们的体积如何求题是它们的体积如何求? ?是否也有相应的计是否也有相应的计 算公式算公式? ? 探究新知：探究新知： 回顾：还记得特殊的棱柱回顾：还记得特殊的棱柱正方体、长方正方体、长方 体，以及圆柱的体积计算公式吗？体，以及圆柱的体积计算公式吗？ 正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可 以统一为：以统一为： V = Sh（S为底面面积，为底面面积，h为高）为高） 简要介绍祖暅简要介绍祖暅(g ng)原理，原理，( (教材教材P30P30） 祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体祖暅原理：
33、夹在两个平行平面之间的两个几何体, , 被平行于这两个平面的任意平面所截被平行于这两个平面的任意平面所截, ,如果截面如果截面 ( (阴影部分阴影部分) )的面积都相等的面积都相等, ,那么这两个几何体的那么这两个几何体的 体积一定相等。体积一定相等。 利用上述原理推导柱体和锥体的体积公式：利用上述原理推导柱体和锥体的体积公式： 1 1、探究柱体的体积公式、探究柱体的体积公式 结论：等底、等高的结论：等底、等高的 棱柱、圆柱的体积相棱柱、圆柱的体积相 等等. 归纳：一般柱体的体归纳：一般柱体的体 积积 V=Sh,其中其中S为底为底 面面积面面积,h为柱体的高。为柱体的高。 2 2、探究锥体的体
34、积公式、探究锥体的体积公式 结论结论1 1：等底面积等高的两个锥体的体积相等。：等底面积等高的两个锥体的体积相等。 结论结论2 2：三棱锥的体积等于它的底面积乘以高的积：三棱锥的体积等于它的底面积乘以高的积 的三分之一。的三分之一。 归纳：锥体的体积计算公式：归纳：锥体的体积计算公式： S S为底面面积，为底面面积，h h为高。为高。 ShV 3 1 锥体 讨论：台体的上底面积讨论：台体的上底面积S S，下底面积，下底面积S S，高，高h h，由，由 此如何计算切割前的锥体的高？此如何计算切割前的锥体的高？ 如何计算台体的体积？如何计算台体的体积？ 解解:设切割设切割前的锥体的高为前的锥体的高
35、为x, 则则: 2 () xSxS xhShSS S xh SS 11 () 33 VS hx S x 为高。分别为上、下底面积，、其中 台体 hSS hSSSSV )( 3 1 22 11 ()() 33 VSS SS hrrRR h 圆台 想一想：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？想一想：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？ 从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为 一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相 同时，台成为柱。因此只要分别令同时，台成为柱。因此只要分别令S=SS=S和和S=0S=0便便 可以
36、从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。 从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式 例题示范：例题示范： 例例1(P26)1(P26) 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7.8g/cm7.8g/cm3 3）六角螺帽共重）六角螺帽共重5.8kgkg，已知底面是正六，已知底面是正六 边形，边长为边形，边长为12mm，内孔直径为，内孔直径为10mm，高为，高为 10mm，问这堆螺帽大约有多少个（，问这堆螺帽大约有多少个（取取3.14）? 分析、讨论：六角螺帽分析、讨论：六角螺帽 的几何结构
37、特征怎样？的几何结构特征怎样？ 如何求其体积？如何求其体积？ 利用哪些数量关系求螺利用哪些数量关系求螺 帽的个数？帽的个数？ 解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体 积之差，即积之差，即: : 22 310 126 103.14 ()10 42 V 3 2956()mm 3 2.956()cm 所以螺帽的个数为所以螺帽的个数为 5.85.810001000(7.8(7.82.956)2.956) 252(252(个个) ) 答：这堆螺帽大约有答：这堆螺帽大约有252252个个 巩固练习：巩固练习： 1.1. 把三棱锥的高分成三等分，过这些分点且平行把三
38、棱锥的高分成三等分，过这些分点且平行 于三棱锥底面的平面，把三棱锥分成三部分，求于三棱锥底面的平面，把三棱锥分成三部分，求 这三部分自上而下的体积之比。这三部分自上而下的体积之比。 2 2、棱台的两个底面面积分别是、棱台的两个底面面积分别是245cm245cm2 2和和8080m m2 2， 截得这个棱台的棱锥的高为截得这个棱台的棱锥的高为35cm35cm，求这个棱台的，求这个棱台的 体积。体积。 （答案：（答案：2325cm2325cm3 3） 3.3. 已知圆锥的侧面积是底面积的已知圆锥的侧面积是底面积的2 2倍，它的轴截倍，它的轴截 面的面积为面的面积为4 4，求圆锥的体积，求圆锥的体积
39、. . 4.4. 高为高为12cm12cm的圆台，它的中截面面积为的圆台，它的中截面面积为225225 cmcm2 2, , 体积为体积为2800cm2800cm3 3，求它的侧面积。，求它的侧面积。 柱体、锥体、柱体、锥体、 台体的表面积台体的表面积 各面面积之和各面面积之和 rr 0 r 知识小结知识小结: 展开图展开图 22 ()Srrrlrl 圆台圆台 圆柱圆柱 2()Sr rl ()Sr rl 圆锥圆锥 柱体、锥体、柱体、锥体、 台体的体积台体的体积 1 3 VSh 锥体锥体 1 () 3 VSS SS h 台体台体 柱体柱体 VSh SS 0S 知识小结知识小结: 割割 圆圆 术术
40、 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推 导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”。导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”。 他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的 边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所 谓“割之弥细，所失弥小”。这样重复下去，谓“割之弥细，所失弥小”。这样重复下去， 就达到了“割之又割，以至于不可再割，则就达到了“割之又割，以至于不可再割，则 与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早的与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早的 “极限”思想。“极限”思想。 球面：半圆以它的直径为
41、旋转轴，旋转所成的曲面。球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。 球球( (即球体即球体):):球面所围成的几何体。球面所围成的几何体。 它包括它包括球面球面和和球面所包围的空间球面所包围的空间。 半径是半径是R R的球的体积：的球的体积： 推导方法推导方法： 3 3 4 RV 分割分割 求近似和求近似和 化为准确和化为准确和 复习回顾复习回顾 球的概念球的概念 球心球心 球的半径球的半径 球的直径球的直径 二、球的概念二、球的概念 点集角度点集角度 旋转体角度旋转体角度 球面所围成的球面所围成的几何体几何体叫叫球体球体简称简称球球。 球面球面:半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的半圆以它的
42、直径为旋转轴旋转所成的曲面曲面。 球体与球面的区别？球体与球面的区别？ 在在空间内空间内到一个定点的距离为定长的点的集合到一个定点的距离为定长的点的集合 二、球的概念二、球的概念 球的截面 的形状 圆面圆面 球面被经过球心的平面截得的圆叫做球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆大圆 不过球心的截面截得的圆叫做球的不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆小圆 球的体积公式的推导球的体积公式的推导 球的体积公式及应用球的体积公式及应用 球的表面积公式及应用球的表面积公式及应用 球的表面积公式的推导球的表面积公式的推导 教学重点 教学难点 化为准确和思想方法化为准确和思想方法求近似和求近似和分割分割 重点难
43、点重点难点 R . 3 4 , 3 2 : 33 RVRV 从而从而猜测猜测 半球半球 ? 半球半球 V 3 3 1 RV 圆锥圆锥 3 3 3 RV 圆柱圆柱 高等于底面半径的旋转体体积对比高等于底面半径的旋转体体积对比 球的体积球的体积 学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法 球的体积球的体积 我们把一个半径为我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新的圆分成若干等分，然后如上图重新 拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分
44、别是 .的矩形的矩形和和RR . 2 R 于于那么圆的面积就近似等那么圆的面积就近似等 当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式份数无穷大时，就得到了圆的面积公式 法导出球的体积公式法导出球的体积公式下面我们就运用上述方下面我们就运用上述方 即先把半球分割成即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，部分，再求出每一部分的近似体积， 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积为无穷大的情形，由半球的近
45、似体积推出准确体积 球的体积球的体积 分割分割 求近似和求近似和 化为准确和化为准确和 , 2 1 RRr ,)( 22 2 n R Rr 问题问题: :已知球的半径为已知球的半径为R,R,用用R R表示球的体积表示球的体积. . ,) 2 ( 22 3 n R Rr A O B2 C2 球的体积球的体积 A O O R )1( i n R 半径：半径：层“小圆片”下底面的层“小圆片”下底面的第第i .,2,1,)1( 22 nii n R Rri i r O A 球的体积球的体积 ni n i n R n R rV ii ,2, 1,) 1 (1 2 3 2 nii n R Rri,2, 1,)1( 22 n VVVV 21半球半球 )1(21 2 2223 n n n n R 6 ) 12() 1(1 2 3 nnn n n n R 6 )12)(1(1 1 2 3 nn n R 球的体积球的体积 6 ) 1 2)( 1 1( 1 3nn RV 半球半球 .0 1 , n n时时当当 . 3 4 3 2 3 3 RV RV 从而从而 半球半球 3 3 4 RVR 的球的体积为：的球的体积为：定理：半径是定理：半径是 球的体积球的体积 2)2)若每小块表面看作一个平面若每小块表面看作一个平面, ,将每小块平面作为底面将每小块平面作为底面, ,球心作为球
