1、1第二第二 节节一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程二、齐次方程二、齐次方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程五、小结与思考题五、小结与思考题四、线性方程解的性质四、线性方程解的性质一、可分离变量的方程一、可分离变量的方程3xxfyygd)(d)(xxfyygd)(d)(设函数设函数)(yG和和)(xF是依次为是依次为)(yg和和)(xf的的某个某个原函数原函数,CxFyG )()(为微分方程的通解为微分方程的通解.两边积分两边积分,为为可分离变量的方程可分离变量的方程.称称则则4求求方方程程22ddxyxy 的的通通解解.解解分分离离变
2、变量量,xxyyd2d2,积分积分 Cxy 21,所以通解为所以通解为 Cxy 21.例例1 15求求方方程程xyxy2dd 的的通通解解.解解分分离离变变量量,xxyyd2d,积积分分 Cxy 2|ln,或或写写为为 2eexCy ,记记 CCe1 ,则通解为则通解为 2e1xCy .可简写为：可简写为：分分离离变变量量,xxyyd2d,积积分分 Cxylnln2 ,则通解为则通解为 2exCy .例例2 26求方程求方程2cos2cosddyxyxxy 的通解的通解.2cos2cosddyxyxxy ,2sin2sin2yx ,d2sin2sin2d xxyy|2cot2csc|lnyy
3、为所求通解为所求通解.解解Cx 2cos2例例3 37求求方方程程0d)ee(d)ee(yxyyxxyx的的通通解解.解解分分离离变变量量:1edee1de xxyyxy,两两边边积积分分:Cxyln)1eln()1eln(,即即所所求求通通解解为为 Cyx )1e)(1e(.例例4 48求方程求方程)1(122xxyyy 满足满足2)1(y的特解的特解.解解例例5 5xxxyyyd)1(1d122 分离变量，分离变量，两边积分两边积分)1ln(212y 222d)1(121xxx 222d)111(21xxxCxxln211ln2122 通解为通解为 ,11222xxCy 将将2)1(y代代
4、入入得得 10 C，所求特解为所求特解为.1101222xxy 二、齐次微分方程二、齐次微分方程9)(ddxyfxy 形如形如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程.2.2.解法解法,xyu 作变量代换作变量代换,xuy 即即代入原式得代入原式得,ddddxuxuxy ),(ddufxuxu 1.1.定义定义分分离离变变量量得得 xxuufud)(d ,两边积分即得通解两边积分即得通解.注意：须将注意：须将u代回代回.10例例6 6求求方方程程 xyxyxytan3dd 的的通通解解.解解作作变变量量代代换换 xyu,代代入入原原方方程程得得 uuxuxutan3dd ,xuy ,ddd
5、dxuxuxy 此题不能分离变量此题不能分离变量,是齐次方程是齐次方程,分分离离变变量量得得 xxuud3tand,积积分分得得 Cxulnln3)ln(sin ,.sin 3Cxxy 即即得得原原方方程程通通解解为为11例例7 7求求方方程程 0)()(yxyyx 的的通通解解.解解原原方方程程变变形形为为 xyxyxy dd 11 xyxy,作作变变量量代代换换 xyu ,代代入入原原方方程程得得 11dd uuxuxu,分分离离变变量量得得 xxuuudd112 ,xuy ,ddddxuxuxy 是齐次方程是齐次方程,12积积分分得得 Cxuu|ln)1ln(21arctan2,或写成或
6、写成 uCuxarctan12e1 ,再再将将xyu 代代入入,得得通通解解为为 分分离离变变量量得得 xxuuudd112 ,xyCyxarctan122e 13例例8 81)1(y的的特特解解.解解原原方方程程变变形形为为 22ddxxyyxy 作作变变量量代代换换 xyu,代代入入原原方方程程得得 1dd2 uuxuxu,求求方方程程xyxyxyxydddd22 满满足足初初始始条条件件 1)/(2 xyxy,即即 11dd2 uuuuuxux,xuy ,ddddxuxuxy 14积积分分得得：Cxuu|ln|ln,或写成或写成 Cxuu|ln,再再将将xyu 代代入入,得得通通解解为为
7、 Cyxy|ln；分分离离变变量量得得 xxuudd)11(,再再由由初初始始条条件件1)1(y,得得1 C,于于是是得得所所求求特特解解为为1|ln yxy.即即 11dd2 uuuuuxux,三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程15)()(ddxQyxPxy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式：的标准形式：,0)(xQ当当上述方程称为上述方程称为齐次的齐次的.上述方程称为上述方程称为非齐次的非齐次的.,0)(xQ当当例如例如,dd2xyxy ,sindd2ttxtx ,32 xyyy,1cos yy线性的线性的,非齐次非齐次非线性的非线性的.16.0)(dd yxPxy,d)(
8、dxxPyy ,d)(d xxPyy,lnd)(lnCxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.ed)(xxPCy1 1.线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法使用分离使用分离变量法变量法这这里里记记号号 xxPd)(表表示示)(xP的的某某个个确确定定的的原原函函数数.172 2.线性非齐次方程线性非齐次方程)()(ddxQyxPxy 常数变易法：常数变易法：作变换作变换 xxPxuyd)(e)(,e)()(e)(d)(d)(xxPxxPxPxuxuy代代入入原原方方程程得得和和将将yy),(e)(d)(xQxuxxP ,de)()(d)(CxxQxuxxP
9、积分得积分得所以原方程的通解为所以原方程的通解为:de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 18.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP,sin)(xxxQ)desin(ed1d1 Cxxxyxxxx)desin(elnln Cxxxxx)dsin(1 Cxxx.)cos(1Cxx 解解de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 例例9 9通解为通解为 19求方程求方程2e22ddxxxyxy 满足满足1)0(y的特解的特解.解解由由初初始始条条件件1)0(y,1 C,即即所所求求特特解解为为 )1(e22 xyx.例例1010d2e2Cxxx ,)(e22Cxx d
10、ee2ed2d22Cxxyxxxxx 通解为通解为 20求求方方程程0d)(d24 yyxxy的的通通解解.解解例例1111,212dd3yyxyx 可把可把 y 视为自变量视为自变量,把方程改写为把方程改写为 此即一阶线性方程此即一阶线性方程,解得通解为解得通解为 )de21(ed213d21Cyyxyyyy )d21(21321Cyyyy .74yCy )71(2721Cyy .02)6(2的通解的通解求方程求方程 ydxdyxy例例1212).(yxx故先求故先求方程，方程，及其导数而言，是一次及其导数而言，是一次相对应于相对应于解解方程化为方程化为23yxydydx ,3)(yyP ,
11、2)(yyQ 其中其中 CdyeyQexdyyPdyyP)()()(Cdyeyeyyln3ln32.213为所求通解为所求通解 Cyy Cdyeyedyydyy1313)2(所以所以23设设)(xf连续且满足连续且满足xxxttfxfe)1(d)(3)(0 ，解解例例1 13 3求求)(xf.两边求导，两边求导，得得 ,e)(3)(xxxfxf 通解为通解为)dee(ed3d3Cxxyxxx )de(e43Cxxxx )e161e41(e443Cxxxx ,ee161e413xxxCx 在在原原方方程程中中令令0 x，得得1)0(f，故故1615 C，于是于是.e1615e161e41)(3x
12、xxxxf 243.伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程nyxQyxPxy)()(dd )1,0(n解法：解法：得得两两端端除除以以，ny),()(dd1xQyxPxyynn ,1 nyz 令令),()1()()1(ddxQnzxPnxz 求出通解后求出通解后,将将 代入即得代入即得原方程的通解原方程的通解.nyz 1,)()(dd1111xQyxPxynnn 得得凑微分，凑微分，线性方程线性方程25.4dd2的通解的通解求方程求方程yxyxxy ,4dd12xyxxyy de2ed22d2Cxxyxxxx 24)2(Cxxy 解解得得两两端端除除以以，y,)2(2Cxx 得原方程的通解
13、为得原方程的通解为 例例1 14 4,4dd22xyxxy ,22dd2xyxxy 26求求方方程程04)(2 xyyxy )0(y的的通通解解.解解例例1 15 5de21e2d2d2Cyxyyyy )(Cyy yCy 2121dd22 xyyxxxyyx4141dd 把把 y 作为自变量作为自变量,原方程改写为原方程改写为 这是伯努利方程这是伯努利方程,两边乘以两边乘以 x,化为线性方程化为线性方程 得通解得通解 27四四 线性方程解的性质线性方程解的性质齐次线性齐次线性方程方程 方程的任意两个解的和仍是的解；方程的任意两个解的和仍是的解；方程方程的任意一个解的常数倍仍是的解；的任意一个解
14、的常数倍仍是的解；方程方程的任意一个解加上方程的任意一个解的任意一个解加上方程的任意一个解 是的解；是的解；方程的任意两个解之差是的解方程的任意两个解之差是的解 .非齐次线性非齐次线性方程方程.yYy那么方程那么方程的通解为的通解为28.yYy那么方程那么方程的通解为的通解为de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP xxQCxxPxxPxxPde)(eed)(d)(d)(对应齐次方对应齐次方程的通解程的通解非齐次方程特解非齐次方程特解线性方程解的线性方程解的叠加原理叠加原理29设设)(),(21xyxy 分分别别是是非非齐齐次次方方程程 则则)()(21xyxy 为为非非齐齐次次方方程程)()(1xfyxpy 的特解的特解,和和)()(2xfyxpy )()()(21xfxfyxpy 的一个特解的一个特解.
