1、第五章第五章 留数理论及其应用留数理论及其应用&1.留数的定义留数的定义&2.留数定理留数定理&3.留数的计算规则留数的计算规则5.1 留数留数(Residue)的奇点的奇点所围成的区域内含有所围成的区域内含有)(zfC0z一、留数的引入一、留数的引入C设设C为区域为区域D内内包含包含的任一条正向简单闭曲线的任一条正向简单闭曲线0z)(f dzzc未必为未必为0,0,z所围成的区域内解析所围成的区域内解析在在)(Cf =0z.的某去心邻域的某去心邻域:0()f zz在在00zzR 解解析析D内的内的Laurent展式展式:)(zfRzz 00在在12=ic zzzczzzczcnCnCCd)(
2、d)(d0010 =CCnnzzzczzzcd)(d)(1010 Czzfd)(0(P49例例3.3)0(柯西柯西-古萨基本定理古萨基本定理)i 201010)()()(czzczzczfnn =nnzzczzc)()(001定义定义设设 z0 为为 f(z)的孤立奇点，的孤立奇点，f(z)在在 z0去心邻去心邻域内的罗朗级数中负幂次项域内的罗朗级数中负幂次项(z-z0)1 的系数的系数 c1 称称为为f(z)在在 z0 的的留数留数，记作，记作 Res f(z),z0。由留数定义由留数定义,Res f(z),z0=c1(1)2()(21),(Re10dzzficzzfsc=故故1Lauren
3、tc 是是积积分分过过程程中中唯唯一一残残留留下下来来的的系系数数,zzficCd)(211=即即综上综上，的系数的系数 01)(zz展式中负幂项展式中负幂项Laurent000(),()0,f zzf zzzzR 设设函函数数以以有有限限点点 为为孤孤立立奇奇点点 即即在在点点的的某某去去心心邻邻域域内内解解析析 则则称称积积分分记记作作为为 f(z)在在 的的0z),(Re0zzfs。01(),:,0;2Cf z dzCzzRi=定义定义留数留数,注注1c=dzzfizzfsC=)(21),(Re0 二、利用留数求积分二、利用留数求积分1.1.留数定理留数定理 设函数设函数 f(z)在区域
4、在区域D内除有限个孤立奇点内除有限个孤立奇点 z1,z2,.,zn 外处处解析外处处解析.C是是D内包围诸奇点的一条正向内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线简单闭曲线,则则12Res(),nkkif z z=dzzfc)(Dz1z2z3znC1C2C3CnC证明证明zzfizzfizzfinCCCd)(21d)(21d)(2121 两边同时除以两边同时除以 得，得，i 2如图如图,由复合闭路原理由复合闭路原理=zzfCd)(1)(CdzzfdzzfC 2)(dzzfnC )(12Res(),Res(),Res(),nf z zf z zf z z=zzfCd)(12i12Res(),.nkkif
5、z z=dzzfc)(即即求沿闭曲线求沿闭曲线C积分积分求求C内各孤立奇点处的留数内各孤立奇点处的留数.注注1(1)如果如果0z为为)(zf的的可去奇点可去奇点,0Res(),0.f z z=一般规则说明一般规则说明：2.2.留数的计算规则留数的计算规则成成Laurent级数求级数求.1 c(2)如果如果0z为为的的本性奇点本性奇点,)(zf)(zf展开展开则需将则需将(3)如果如果0z为为的的极点极点,)(zf则有如下计算方法：则有如下计算方法：1)1)应用应用Laurent展式展式2)2)求求n n级极点的一般方法级极点的一般方法(求导运算求导运算)1)1)应用应用Laurent展式展式例
6、例5.151Re,0.zesz 求求解解5511zezz=2345(12!3!4!5!zzzzz)1 43211 11 11 11,2!3!4!5!zzzz=;0z 511Re,0.4!zesz=所所以以如果如果 为为 的的 级极点级极点,0z)(zfm).()(ddlim)!1(1),(Res01100zfzzzmzzfmmmzz =规则规则2 2那末那末).()(lim),(Res000zfzzzzfzz=如果如果 为为 的一级极点的一级极点,那末那末0z)(zf规则规则1 12)2)求求n n级极点的一般方法级极点的一般方法（当（当 m=1=1时就是时就是规则规则1)1)规则规则3 3
7、如果如果,0)(,0)(,0)(000 =zQzQzP设设,)()()(zQzPzf=)(zP及及)(zQ在在0z都解析，都解析，那末那末0z为为的一级极点的一级极点,)(zf.)()(),(Res000zQzPzzf=且有且有解解2coszzz=因因为为的的一一级级极极点点,Re,cos2zsz 所所以以2|(cos)zzz=2sin()2=.2=例例2Re,.cos2zsz 求求=22)1(25:zdzzzz计计算算例例3 3解解102)1(25)(2=zzzzzzzf和和一一个个二二级级极极点点极极点点的的内内部部有有一一个个一一级级在在2)1(25lim)(lim0),(Re200=z
8、zzzfzfszz1由由规规则则)1(25)1()!12(1lim 1),(Re221 =zzzzdzdzfsz2由由规规则则22lim)25(lim211=zzzzz0 1),(Re20),(Re2)(2=zfsizfsidzzfz 2:14=zcdzzzc正正向向计计算算例例2解解内内，都都在在圆圆周周个个一一级级极极点点有有cizf ,1:4)(32()13()44P zzQ zzz=由由规规则则0414141412),(Re),(Re 1),(Re 1),(Re214=iizfsizfszfszfsidzzzc 故故.2:,d)1(sin22正向正向计算计算=zCzzzzC思考题思考题
9、思考题答案思考题答案22sin 1.i =13coszdzzz计计算算例例3解解的的三三级级极极点点有有一一个个0cos)(3=zzzzfiizfsidzzzz =)21(20),(Re2cos132320021Re(),0lim()(31)!11lim(cos)22zzds f zz f zdzz=由由规规则则)(tanNnzdznz =计计算算例例4解解),2,1,0(21,20coscossintan =kkzkzzzzz即即解得解得令令 0csc)(cot21212 =kzkzzz 1,32zk=为为一一级级极极点点 由由规规则则 得得),1,0(1)(cossin21,tanRe21
10、=kzzkzskz ninikzsizdznknz422,tanRe2tan2121=故由留数定理得：故由留数定理得：A(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留数，不要死套规则。数，不要死套规则。6sin)()()(zzzzQzPzf=,)(001cos)0(0sin)0(0)cos1()0(0)0(000的的三三级级零零点点是是由由于于zpzzpzpzppzzz=如如是是f(z)的三级极点的三级极点。630sin1sin2Re,0lim(31)!zzzzzszz=由由规规则则:)(级级数数展展开开作作若若将将Laurentzf!510,sinRe6=zzzs
11、 =zzzzzzzzzz1!511!31)!51!31(1sin35366-该方法较规则该方法较规则2更简单！更简单！=665506sinlim)!16(10,sinRezzzzdzdzzzszA(2)由规则由规则2 的推导过程知，在使用规则的推导过程知，在使用规则2时，可将时，可将 m 取得比实际级数高，这可使计算更取得比实际级数高，这可使计算更简单。简单。如如!51)cos(lim!51)sin(lim!510550=zzzdzdzz注意积分路线取顺时针方向注意积分路线取顺时针方向三、在无穷远点的留数三、在无穷远点的留数1 =c1),(Res =czf说明说明记作记作 =Czzfizfd)
12、(21),(Res1.1.定义定义 设函数设函数)(zf在圆环域在圆环域 zR内解析，内解析，C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，1()d2Cf zzi 称称积积分分的的值值为为()f z 在在点点的的留留数数，=Czzfid)(21.1z.2z.kz.证证=nkkzzfzf1),(Res),(Res =CCzzfizzfid)(21d)(211.0=由留数定义有由留数定义有:(绕原点的并将绕原点的并将kz内部的正向简单闭曲线内部的正向简单闭曲线)C包含在包含在 2.定理定理如果函数如果函数)(zf在扩充复平面内只有有限个在扩充复平面内只有有限
13、个孤立奇点孤立奇点,那末那末在所有各奇点在所有各奇点(包括包括 点点)的留数的总和必等于零的留数的总和必等于零.)(zf证毕证毕说明说明:由定理得由定理得,),(Res),(Res1 =zfzzfnkk =nkkCzzfizzf1),(Res2d)(留数定理留数定理).),(Res2 =zfi计算积分计算积分计算无穷远点的留数计算无穷远点的留数.zzfCd)(优点优点:使计算积分进一步得到简化使计算积分进一步得到简化.(避免了计算诸有限点处的留数避免了计算诸有限点处的留数)3.在无穷远点处留数的计算在无穷远点处留数的计算规则规则4 4 =0,11Res),(Res2zzfzf说明说明:定理定理
14、5.2和规则和规则4提供了提供了计算函数沿闭曲线计算函数沿闭曲线 =0,11Res2d)(2zzfizzfC积分的又一种方法积分的又一种方法:此法在很多情况下此法更为简单此法在很多情况下此法更为简单.现取正向简单闭曲线现取正向简单闭曲线C为半径足够大的为半径足够大的正向圆周正向圆周:.=z,1=z令令,iireez=并设并设,1 =r那末那末于是有于是有 =Czzfizfd)(21),(Res =20d)(21 iiieefi证证.d12120 =iireirefi220111d2()iiifreirere=12d1121fi.)1(为正向为正向 =内除内除在在 1=0=外无其他奇点外无其他奇
15、点.0,11Res2 =zzf证毕证毕例例5 计算积分计算积分 Czzz,d14C为正向圆周为正向圆周:.2=z函数函数14 zz在在2=z的外部的外部,除除 点外没有点外没有其他奇点其他奇点.Czzzd14 =0,11Res22zzfi =),(Res2zfi =0,1Res24zzi.0=解解 根据定理根据定理 5.2与规则与规则4:与以下解法作比较与以下解法作比较:被积函数被积函数14 zz有四个一级极点有四个一级极点i ,1都都在圆周在圆周2=z的内部的内部,所以所以 Czzzd14 1),(Res1),(Res2 =zfzfi),(Res),(Resizfizf 由规则由规则3,41
16、4)()(23zzzzQzP=Czzzd14.0414141412=i可见可见,利用无穷远点的留数更简单利用无穷远点的留数更简单.例例6 计算积分计算积分 Czzizz,)3)(1()(d10C为正向圆周为正向圆周:.2=z解解 除除)3)(1()(1)(10 =zzizzf被积函数被积函数点外点外,其他奇点为其他奇点为.3,1,i 由于由于i 与与 1在在C的内部的内部,Czzizz)3)(1()(d101),(Res),(Res2zfizfi =),(Res3),(Res2 =zfzfi =0)3(21210ii则则),(Resizf),(Res zf所以所以1),(Reszf 3),(R
17、eszf.0=.)3(10ii =小结与思考一概念一概念-留数留数一定理一定理-留数定理（留数定理（计算闭路复积分）（计算闭路复积分）（重点重点）两方法两方法-展开式和规则求留数展开式和规则求留数三规则三规则-求极点处留数求极点处留数 （难点难点）五、小结与思考 本节我们学习了留数的概念、计算以及留数本节我们学习了留数的概念、计算以及留数定理定理.应重点掌握计算留数的一般方法应重点掌握计算留数的一般方法,尤其是极尤其是极点处留数的求法点处留数的求法,并会应用留数定理计算闭路复并会应用留数定理计算闭路复积分积分.5.2 留数在定积分中的应用留数在定积分中的应用11.()2Re (),nkkR x
18、 dxis R z z=()()()P xR xQ x=12.()2Re (),(0)ni xi zkkR x edxis R z ez=其中其中 注意注意:对对 的要求的要求,分母分母Q(x)次数比分子次数比分子P(x)至少至少高两次，高两次，是函数是函数 在在上半平面上半平面内的有限个孤立内的有限个孤立奇点；奇点；()R xkz()R z 注意注意:对对 的要求的要求,分母比分子至少高一次，分母比分子至少高一次，是函数是函数 在在上半平面上半平面内的有限个孤立奇点；内的有限个孤立奇点；()R x()R zkz思想方法思想方法:封闭路线的积分封闭路线的积分.两个重要工作两个重要工作:1)积分
19、区域的转化积分区域的转化2)被积函数的转化被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条把定积分化为一个复变函数沿某条2013.(cos,sin)2Re (),nkkRdis f z z =注意：其中注意：其中 是函数是函数 在在单位圆单位圆内的有限个孤立内的有限个孤立奇点。奇点。kz)(zf形如 iez=令令 ddiiez=,ddizz=)(21sin iieei =,212izz =)(21cos iiee =,212zz =当当 历经变程历经变程2,0时时,20d)sin,(cos R1=z的的正方向绕行一周正方向绕行一周.z 沿单位圆周沿单位圆周 d)sin,(cos20 Rizzizz
20、zzRzd21,21122=zzfzd)(1=z的有理函数的有理函数,且在且在单位圆周上分母不单位圆周上分母不为零为零,满足留数定满足留数定理的条件理的条件.包围在单位圆周包围在单位圆周内的诸孤立奇点内的诸孤立奇点.),(Res21=nkkzzfi.dsin21dsin0 xxxxxx =例例5.1 计算积分计算积分.dsin0 xxx 分析分析 所所以以是是偶偶函函数数,sinxxzzsin 某封闭曲线某封闭曲线 ,因因zzsin在实轴上有一级极点在实轴上有一级极点,0=z应使封闭路应使封闭路线不经过奇点线不经过奇点,所以可取图示路线所以可取图示路线:xyoRCrCrRr R 解解,0ddd
21、d=xxezzexxezzeRrixCizrRixCizrR封闭曲线封闭曲线C:RrCrRCrR,由柯西由柯西-古萨定理得古萨定理得:ttexxerRitrRixdd =,dxxeRrix =，令令tx=,2sinieexixix =由由,0dddsin2 =rRCizCizRrzzezzexxxi知知szezzeRRCizCizdd seRRCyd1 =0sin deR d220sin =Re d220)2(Re),1(ReR =R于是于是0d zzeRCiz充分小时，充分小时，当当r =!3!2)(12nziizzizgnn当当 充分小时充分小时,总有总有 z,2)(zg dd0 =iiCreirezzr,=i,d)(d1d =rrrCCCizzzgzzzze =!211nzizizzenniz因为因为),(1zgz=szgzzgrrCCd)(d)(因为因为,2d2=rCrs 0r即即0d =izzerCiz,0dddsin2 =rRCizCizRrzzezzexxxi.2dsin0 =xxx所以所以,dsin20ixxxi=,0d)(rCzzg,i=记住以下常用结果：记住以下常用结果：0sind.2xxx=.221=02dcosxx =02dsinxx20d2xex =作作 业业P120 2；5（1）(2),3
