1、第第51节节 解答题解答题难题突破二难题突破二（圆的综合题）（圆的综合题）第十一章第十一章 解答题解答题1（2016广东，24，9分）如图，O是ABC的外接圆，BC是 O的直径，ABC=30，过点B作 O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作 O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F（1）求证：ACFDAE；（2）若SAOC=，求DE的长；（3）连接EF，求证：EF是 O的切线广东考点【分析】（1）根据圆周角定理得到）根据圆周角定理得到BAC=90，根据三角形的内角和得到根据三角形的内角和得到ACB=60根据切线的根据切线的性质得到性质得到OAF=90，DBC
2、=90，于是得到，于是得到D=AFC=30由相似三角形的判定定理即可得由相似三角形的判定定理即可得到结论；到结论；（2）根据）根据SAOC=，得到，得到SACF=，通过，通过ACFDAE，求得，求得SDAE=，过，过A作作AHDE于于H，解直角三角形得到，解直角三角形得到AH=DH=DE，由三角形的面积公式列方程即可得到结论；，由三角形的面积公式列方程即可得到结论；（3）根据全等三角形的性质得到）根据全等三角形的性质得到OE=OF，根据等，根据等腰三角形的性质得到腰三角形的性质得到OFG=（180EOF）=30，于是得到，于是得到AFO=GFO，过，过O作作OGEF于于G，根据全等三角形的性质
3、得到，根据全等三角形的性质得到OG=OA，即可得到结论，即可得到结论【解答】（1）证明：）证明：BC是是 O的直径，的直径，BAC=90，ABC=30，ACB=60.OA=OC，AOC=60.AF是是 O的切线，的切线，OAF=90，AFC=30.DE是是 O的切线，的切线，DBC=90，D=AFC=30.DAE=ACF=120，ACFDAE.（2）ACO=AFC+CAF=30+CAF=60，CAF=30，CAF=AFC，AC=CF，OC=CF.SAOC=，SACF=.ABC=AFC=30，AB=AF.AB=BD，AF=BD，BAE=BEA=30，AB=BE=AF，ACFDAE，过过A作作AH
4、DE于于H，AH=DH=DE，（3）EOF=AOB=120，在在AOF与与BOE中，中，AOF BEO，OE=OF，OFG=（180EOF）=30，AFO=GFO.过过O作作OGEF于于G，OAF=OGF=90，在在AOF与与OGF中，中，AOF GOF，OG=OA，EF是是 O的切线的切线.2.（2015广东，24，9分）O是ABC的外接圆，AB是直径，过 的中点P作 O的直径PG交弦BC于点D，连接AG、CP、PB（1）如图1，若D是线段OP的中点，求BAC的度数；（2）如图2，在DG上取一点K，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；（3）如图3，取CP的中点E，连接E
5、D并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PHAB【考点考点】圆的综合题圆的综合题【专题专题】压轴题压轴题【分析分析】（1）由垂径定理得出）由垂径定理得出PGBC，CD=BD，再由三角函数求出再由三角函数求出BOD=60，证出，证出ACPG，得，得出同位角相等即可；出同位角相等即可；（2）先由）先由SAS证明证明PDB CDK，得出，得出CK=BP，OPB=CKD，证出，证出AG=CK，再证明，再证明AGCK，即，即可得出结论；可得出结论；（3）先证出）先证出DHAG，得出，得出OAG=OHD，再证，再证OD=OH，由，由SAS证明证明OBD HOP，得出，得出OHP=ODB=90，即可得出结
6、论，即可得出结论【解答解答】（1）解：）解：点点P为为 的中点，的中点，AB为为 O直径，直径，BP=PC，PGBC，CD=BD，ODB=90，D为为OP的中点，的中点，OD=OP=OB，cosBOD=BOD=60，AB为为 O直径，直径，ACB=90，ACB=ODB，ACPG，BAC=BOD=60（2）证明：由（）证明：由（1）知，）知，CD=BD，在在PDB和和CDK中，中，PDB CDK（SAS），），CK=BP，OPB=CKD，AOG=BOP，AG=BP，AG=CK，OP=OB，OPB=OBP，又又G=OBP，AGCK，四边形四边形AGCK是平行四边形；是平行四边形；（3）证明：）证明
7、：CE=PE，CD=BD，DEPB，即，即DHPBG=OPB，PBAG，DHAG，OAG=OHD，OA=OG，OAG=G，ODH=OHD，OD=OH，在在OBD和和HOP中，中，OBD HOP（SAS），），OHP=ODB=90，PHAB【点评点评】本题是圆的综合题目，考查了垂径定理、圆周角定理、平本题是圆的综合题目，考查了垂径定理、圆周角定理、平行线的判定、三角函数、全等三角形的判定与性质、平行四边形的行线的判定、三角函数、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（判定等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通）中，需要通过证明平行线得出角相
8、等，再进一步证明三角形全等才能得出结论过证明平行线得出角相等，再进一步证明三角形全等才能得出结论.3.（2014广东，24，9分）如图，O是ABC的外接圆，AC是直径，过点O作ODAB于点D，延长DO交 O于点P，过点P作PEAC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF（1）若POC=60，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF是 O的切线【考点考点】切线的判定切线的判定；弧长的计算弧长的计算【专题专题】几何综合题；压轴题几何综合题；压轴题【分析分析】（1）根据弧长计算公式）根据弧长计算公式l=进行计算即可；进行计算即可；（2）证明）证明POE
9、 ADO可得可得DO=EO；（3）连接）连接AP，PC，证出，证出PC为为EF的中垂线，再利用的中垂线，再利用CEPCAP找找出角的关系求解出角的关系求解【解答解答】（1）解：）解：AC=12，CO=6，答：劣弧答：劣弧PC的长为：的长为：2（2）证明：）证明：PEAC，ODAB，PEA=90，ADO=90在在ADO和和PEO中，中，POE AOD（AAS），），OD=EO；（3）证明：如图，连接）证明：如图，连接AP，PC，OA=OP，OAP=OPA，由（由（2）得）得OD=EO，ODE=OED，又又AOP=EOD，OPA=ODE，APDF，AC是直径，是直径，APC=90，PQE=90，P
10、CEF，又又DPBF，ODE=EFC，OED=CEF，CEF=EFC，CE=CF，PC为为EF的中垂线，的中垂线，EPQ=QPF，CEPCAP，EPQ=EAP，QPF=EAP，QPF=OPA，OPA+OPC=90，QPF+OPC=90，OPPF，PF是是 O的切线的切线【点评点评】本题主要考查了切线的判定，解题的关本题主要考查了切线的判定，解题的关键是适当的作出辅助线，准确的找出角的关系键是适当的作出辅助线，准确的找出角的关系4.（2013广东，24，9分）如图，O是RtABC的外接圆，ABC=90，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BEDC交DC的延长线于点E（1）求证：BCA=BAD；（
11、2）求DE的长；（3）求证：BE是 O的切线【考点考点】切线的判定切线的判定；圆周角定理圆周角定理；相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质【专题专题】压轴题压轴题【分析分析】（1）根据）根据BD=BA得出得出BDA=BAD，再由，再由BCA=BDA即可得出结论；即可得出结论；（2）判断）判断BEDCBA，利用对应边成比例的性质可求，利用对应边成比例的性质可求DE的长的长（3）连接）连接OB，OD，证明，证明ABO DBO，推出，推出OBDE，继而判断，继而判断BEOB，可得出结论，可得出结论【解答解答】（1）证明：）证明：BD=BA，BDA=BAD，BCA=BDA（圆周角定理），（圆周角
12、定理），BCA=BAD（2）解：）解：BDE=CAB（圆周角定理）且（圆周角定理）且BED=CBA=90，BEDCBA，（3）证明：连结）证明：连结OB，OD，在在ABO和和DBO中，中，ABO DBO（SSS），），DBO=ABO，ABO=OAB=BDC，DBO=BDC，OBED，BEED，EBBO，BE是是 O的切线的切线【点评点评】本题考查了切线的判定及圆周角定理的本题考查了切线的判定及圆周角定理的知识，综合考查的知识点较多，解答本题要求同知识，综合考查的知识点较多，解答本题要求同学们熟练掌握一些定理的内容学们熟练掌握一些定理的内容1（2016来宾）如图，在ABC中，C=90，BAC的平
13、分线交BC于点D，DEAD，交AB于点E，AE为 O的直径（1）判断BC与 O的位置关系，并证明你的结论；（2）求证：ABDDBE；（3）若cosB=，AE=4，求CD【分析】（1）结论：）结论：BC与与O相相切，连接切，连接OD只要证明只要证明ODAC即可即可（2）欲证明）欲证明ABDDBE，只要证明，只要证明BDE=DAB即可即可强化训练（3）在）在RtODB中，中，OB=3k，利用勾股定理列出方程求出，利用勾股定理列出方程求出k，再利用，再利用DOAC，得，得 列出方程即可解决问题列出方程即可解决问题【解答】（1）结论：）结论：BC与与O相切相切证明：如图证明：如图，连接连接ODOA=O
14、D，OAD=ODA，AD平分平分CAB，CAD=DAB，CAD=ADO，ACOD，ACBC，ODBC，BC是是O的切线的切线.（2）BC是是 O切线，切线，ODB=90，BDE+ODE=90，AE是直径，是直径，ADE=90，DAE+AED=90，OD=OE，ODE=OED，BDE=DAB，B=B，ABDDBE（3）在）在RtODB中，中，设设BD=2 k，OB=3k，OD2+BD2=OB2，4+8k2=9k2，k=2，BO=6，BD=4 ，DOAC，2（2016深圳）如图，已知 O的半径为2，AB为直径，CD为弦AB与CD交于点M，将 沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=O
15、A，连接PC.（1）求CD的长；（2）求证：PC是 O的切线；（3）点G为 的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交 于点F（F与B，C不重合）问GEGF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由【分析】（1）连接）连接OC，根据翻折的性质求出，根据翻折的性质求出OM，CDOA，再利用勾股定理列式求解即可；，再利用勾股定理列式求解即可；（2）利用勾股定理列式求出）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定，然后利用勾股定理逆定理求出理逆定理求出PCO=90，再根据圆的切线的定，再根据圆的切线的定义证明即可；义证明即可；（3）连接）连接GA、AF、GB，根据等弧所对的圆
16、周角，根据等弧所对的圆周角相等可得相等可得BAG=AFG，然后根据两组角对应相，然后根据两组角对应相等两三角相似求出等两三角相似求出AGE和和FGA相似，根据相相似，根据相似三角形对应边成比例可得似三角形对应边成比例可得 ，从而得到，从而得到GEGF=AG2，再根据等腰直角三角形的性质求解，再根据等腰直角三角形的性质求解即可即可（3）GEGF是定值，证明如下：是定值，证明如下：如图，连接如图，连接GA，AF，GB，点点G为为 的中点，的中点，BAG=AFG，又又AGE=FGA，AGEFGA，GEGF=AG2，AB为直径，为直径，AB=4，BAG=ABG=45，AG=2 ，GEGF=83（201
17、6广州）如图，点C为ABD的外接圆上的一动点（点C不在 上，且不与点B，D重合），ACB=ABD=45（1）求证：BD是该外接圆的直径；（2）连接CD，求证：AC=BC+CD；（3）若ABC关于直线AB的对称图形为ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论【分析】（1）要证明）要证明BD是该外接圆的直径，只需是该外接圆的直径，只需要证明要证明BAD是直角即可，又因为是直角即可，又因为ABD=45，所以需要证明所以需要证明ADB=45；（2）在）在CD延长线上截取延长线上截取DE=BC，连接，连接EA，只需，只需要证明要证明EAF是等腰直角三角形即可得出
18、结论；是等腰直角三角形即可得出结论；（3）过点）过点M作作MFMB于点于点M，过点，过点A作作AFMA于点于点A，MF与与AF交于点交于点F，证明，证明AMF是等腰三角形后，可得出是等腰三角形后，可得出AM=AF，MF=AM，然后再证明然后再证明ABFADM可得出可得出BF=DM，最后，最后根据勾股定理即可得出根据勾股定理即可得出DM2，AM2，BM2三者之三者之间的数量关系间的数量关系【解答】解：（解：（1），ACB=ADB=45，ABD=45，BAD=90，BD是是ABD外接圆的直径外接圆的直径.（2）如图，如图，在在CD的延长线上截取的延长线上截取DE=BC，连接，连接EA，ABD=AD
19、B，AB=AD，ADE+ADC=180，ABC+ADC=180，ABC=ADE.在在ABC与与ADE中，中，ABC ADE（SAS），），BAC=DAE，BAC+CAD=DAE+CAD，BAD=CAE=90，ACD=ABD=45，CAE是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，AC=CE，AC=CD+DE=CD+BC.（3）如图，过点）如图，过点M作作MFMB于点于点M，过点，过点A作作AFMA于点于点A，MF与与AF交于点交于点F，连接，连接BF，由对称性可知由对称性可知AMB=ACB=45，AMF是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，AM=AF，MF=AM.MAF+MAB=BAD+MAB，FAB=
20、MAD.在在ABF与与ADM中，中，ABF ADM（SAS），），BF=DM.在在RtBMF中，中，BM2+MF2=BF2，BM2+2AM2=DM24（2016哈尔滨模拟）已知AB为 O的直径，点C为 的中点，BD为弦，CEBD于点E.（1）如图1，求证：CE=DE；（2）如图2，连接OE，求OEB的度数；（3）如图3，在（2）条件下，延长CE，交直径AB于点F，延长EO，交 O于点G，连接BG，CE=2，EF=3，求EBG的面积【分析】（1）如图）如图1中，连接中，连接CD、OC只要证明只要证明CDE=COB=45即可即可（2）如图）如图2中，连接中，连接OD，OC，只要证明，只要证明OED
21、OEC，推出，推出OED=CEO=135，即可解决问题即可解决问题（3）如图）如图3中，过中，过O作作OMBD于于M，BNEG于于N，则，则EMO=90，连接，连接OC，设，设EM=x，则，则BM=DM=2+x，由，由EFOM，得，得 列出方程即列出方程即可解决可解决【解答】（1）证明：如图）证明：如图1中，连接中，连接CD、OCAOC=BOC.AOC+BOC=180，AOC=BOC=90，D=45.CEBD，CED=90，D=DCE=45，CE=DE（2）证明：如图）证明：如图2中，连接中，连接OD，OC.在在OED和和OEC中，中，OED OEC，CED=90，OED=CEO=135，OEB=45（3）解：如图）解：如图3中，过中，过O作作OMBD于于M，BNEG于于N，则，则EMO=90，连接连接OCCE=2，DE=2，设设EM=x，则，则BM=DM=2+x，BE=2x+2，OEB=45，则，则BM=DM=2+x，OM=x，OEB=45，CEB=EMO，EFOM谢谢观看！
