1、两类重要极限两类重要极限单调有界必有极限单调有界必有极限夹逼定理夹逼定理无穷小无穷小无穷大无穷大与与性质性质有限个无穷小的和有限个无穷小的和,积仍是无穷小积仍是无穷小无穷小与有界量的积仍是无穷小无穷小与有界量的积仍是无穷小(高阶高阶,低阶低阶,同阶同阶,等价等价,阶阶)k1sinlim0 xxxe)11(lim xxx极限存在准则极限存在准则比较比较 第一章第一章 极限与连续极限与连续常用等价无穷小常用等价无穷小1e xx,0 x当当1 xaaxlnxsinxxtanxxarcsinxxarctanx)1ln(x xxxsintan 23xxcos1 22x1)1(xx(2)同除同除最最高次幂
2、高次幂;(1)消去零因子法消去零因子法;(6)复合函数求极限法则复合函数求极限法则(7)利用左、右极限求分段函数极限利用左、右极限求分段函数极限;(5)利用无穷小运算性质利用无穷小运算性质(3)通分通分;(4)同乘共轭因式同乘共轭因式;(8)利用夹逼定理利用夹逼定理;(11)利用连续函数的性质利用连续函数的性质(代入法代入法);(10)利用等价无穷小代换利用等价无穷小代换;(9)利用两类重要极限利用两类重要极限;(12)利用洛必达法则利用洛必达法则.函数极限的求法函数极限的求法洛必达法则洛必达法则+等价无穷小代换等价无穷小代换洛必达法则洛必达法则+变上限积分求导变上限积分求导例例xxxxxsi
3、ntan0eesin1tan1lim 故故)e)(esin1tan1(sintanlimsintan0 xxxxxxx xxxxxsintan0eesintanlim21 )1e(esintanlim21sintansin0 xxxxxx1esintan xx,sintanxx ,0 x当当)1e(esintanlim21sintansin0 xxxxxx原原式式)sin(tanesintanlim21sin0 xxxxxx 21 两对重要的单侧极限两对重要的单侧极限,0lim)1(10 xxaa.21arctanlim0 xx,lim10 xxa,21arctanlim0 xx.11lim2
4、 xxx一类需要注意的极限一类需要注意的极限,11lim2 xxx )()(lim 00 xfxfxx 左连续、右连续左连续、右连续 的定义连续连续间断点的分类间断点的分类闭区间连续函数的性质闭区间连续函数的性质有界性有界性最大最大,最小值定理最小值定理介值定理介值定理,第一类间断第一类间断第二类间断第二类间断(可去型可去型,跳跃型跳跃型)(无穷型无穷型,振荡型振荡型)零点定理零点定理,e11)(1的间断点的间断点求求xxxf 解解函数无定义函数无定义,1,0时时当当 xx是函数的间断点是函数的间断点.,0 x)(lim0 xfx由于由于xxx 1e11lim0,所以所以0 x是函数的是函数的
5、第二类间断点第二类间断点,且是且是无穷型无穷型.,1 x由于由于)(limxfxxx 1e11lim10)(limxfxxx 1e11lim11 所以所以1 x是函数的是函数的第一类间断点第一类间断点,且是且是跳跃型跳跃型.并指出其类型并指出其类型.1x 1x例例求求的间断点的间断点,)1)(1(sin)1()(xxxxxxf)1)(1(sin)1(lim1 xxxxxx,1sin21 x=1为第一类为第一类可去间断点可去间断点,)(lim1 xfxx=1为第二类为第二类无穷间断点无穷间断点,1)(lim0 xfxx=0为第一类为第一类跳跃间断点跳跃间断点例例解解并判别其类型并判别其类型.0,
6、1,1 xxx是间断点是间断点,1 x,0 x,1 x.1)(lim0 xfx.,11sin)1sin(121211并判断其类型并判断其类型的间断点的间断点求求 xxyxx.10:是是可可能能的的间间断断点点，可可知知解解 xx处处，在在0 )1(x但但不不相相等等，处处的的左左右右极极限限都都存存在在因因在在,0 x.,0且是跳跃间断点且是跳跃间断点为函数的第一类间断点为函数的第一类间断点所以所以 x)1(sin1lim)1(sin1lim 2020 yyxx，例例在且相等，在且相等，处函数的左右极限都存处函数的左右极限都存即在即在1 x11sin)1sin(1212limlim1111 x
7、xyxxxx31 处，处，在在1 )2(x.,1且是可去间断点且是可去间断点是函数的第一类间断点是函数的第一类间断点所以所以 x例例 设函数设函数)(xf0 x,10 x,)(ln2xb 0 x在在x=0连续连续,则则a=,b=.提示提示:20)cos1(lim)0(xxafx 2a 221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfx bln baln12 2e2)cos1(xxa 例例 0,00,1sin)(2xxxxxf讨论讨论.0处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在 x那那么么处处处处可可导导如如果果,0),1(0,e)(2 xxbxxfax.1,0 )(;0,1 )(;1,2 )
8、(;1 )(baDbaCbaBbaA)(例例 导数导数定义定义几何意义几何意义可导性与连续性的关系可导性与连续性的关系)(0 xfk 切线斜率切线斜率),(0 xf 左导数左导数导数存在的充要条件导数存在的充要条件)(0 xf 右导数右导数连续连续可导可导 求微分求微分可导与微分的关系可导与微分的关系xxfyd)(d0 可微可微可导可导 微分微分 第二章第二章 导数与微分导数与微分按定义求导按定义求导 求导数方法求导数方法复合函数求导复合函数求导参数方程求导参数方程求导隐函数隐函数,对数法求导对数法求导 分段函数在分段点求导分段函数在分段点求导)11,cos(sinxx,ex,x 高阶导数高阶
9、导数txtyxydddddd 求导数：求导数：参数方程参数方程 )()(tytx xxyxyd)ddd(dd22 txtttddd)()(d()()(tt txtxyddd)ddd(中值定理中值定理罗尔定理罗尔定理证明不等式证明不等式洛必达法则洛必达法则中值定理的应用中值定理的应用拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理泰勒定理泰勒定理数数讨论方程根的存在与个讨论方程根的存在与个,(泰勒公式泰勒公式)麦克劳林公式麦克劳林公式)1 ,00(等未定型极限等未定型极限计算计算 第三章第三章 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用函数的单调性函数的单调性函数性态函数性态函数的极值函数
10、的极值 函数的凹凸性函数的凹凸性函数的最大最小值函数的最大最小值函数的渐近线函数的渐近线(水平水平,垂直垂直)(拐点拐点,凹凸性和判别法凹凸性和判别法)驻点驻点极值存在的必要条件极值存在的必要条件极值存在的充分条件极值存在的充分条件 )(利用导数判断利用导数判断带带PeanoPeano型余项的泰勒公式型余项的泰勒公式阶连续阶连续内有内有的区间的区间在含在含设设 ),()(0nbaxxf,导数导数),(bax 则对于则对于有有200000)(2)()()()(xxxfxxxfxfxf .)()(2)(000)(nnnxxoxxxf 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(
11、!5!3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx 2!2)1(1)1(xmmmxxm)(!)1()1(nnxoxnnmmm 洛必达法则洛必达法则 基本类型：基本类型：:变型变型注注 法则：法则：(1)当上式右端极限存在时当上式右端极限存在时,才能用此法则才能用此法则,(2)在求极限过程中在求极限过程中,可能要多次使用此法则可能要多次使用此法则,(3)在使用中在使用中,要进行适当的化简要进行适当的化简,00 型型型型 .)()(lim )
12、()(lim xgxfxgxf ,0 ,00,1 型型0 (4)在使用中在使用中,注意和其它求极限方法相结合注意和其它求极限方法相结合.定理定理(第一充分条件第一充分条件),)(0 xxa 当当;0)(xf有有,0 xx 而当而当,0)(xf.)(0处取极大值处取极大值在在则则xxf,)(0 xxb 当当;0)(xf有有,0 xx 而当而当,0)(xf.)(0处取极小值处取极小值在在则则xxf.)(0处无极值处无极值在在xxf,)()(0内内在邻域在邻域设设xUxf 有有 有有,)()()(0符号相同符号相同内内在邻域在邻域若若xUxfc 则则定理定理(第二充分条件第二充分条件),)(0处具有
13、二阶导数处具有二阶导数在在设设xxf,0)(0 xf则则 ,0)()(0 xfa 当当 ,0)()(0 xfb 当当,)(0处取得极大值处取得极大值在在 xxf.)(0处取得极小值处取得极小值在在 xxf,0)(0 xf且且求极值的步骤求极值的步骤:);(.xfa 求导数求导数)0)(.的根的根方程方程求驻点求驻点 xfb,)(在该点的符号在该点的符号或或xf .求极值求极值d,)(.中所有点左右的正负号中所有点左右的正负号在在检查检查bxfc.的点的点不不存存在在及及)(xf.判判断断极极值值点点渐近线的求法渐近线的求法水水平平渐渐近近线线 )(a满满足足若若函函数数)(xf,)(lim),
14、(axfx .)(ayxf 的的曲曲线线有有水水平平渐渐近近线线则则函函数数垂垂直直渐渐近近线线 )(b满满足足若若函函数数)(xf,)(lim),(000 xfxxxx.)(0 xxxf 的的曲曲线线有有垂垂直直渐渐近近线线则则函函数数.,1 ,1112)(.12baxxbaxxxxfy确定确定处可导处可导已知函数在已知函数在设设 计算题计算题 )11ln(lim.22xxxx30)1(sinelim)1(.3xxxxxx 求极限求极限xxxxln10)1e(lim)2(1.)1()(lim)(lim,11fxfxfxx 有有由连续性由连续性)1(1 ba1)1()(lim1)1()(lim
15、 ,11 xfxfxfxfxx有有由可导性由可导性1112lim11lim211 xxxbaxxx计算题计算题解答解答1)1(4lim1112lim22121 xxxxaxx )11ln(lim .22xxxxxxxx1)11ln(1lim tttxtt)1ln(11lim10 ，则原式，则原式令令21)1(211lim2111lim)1ln(lim0020 ttttttttttt1 a.2 1 b）由（由（20321cosesinelim:)1(.3xxxxxxx 原式原式解解xxxxxxxx62)sin(cose)cos(sinelim0 xxxx31coselim0 3cosesinel
16、im0 xxxxx 31 2301e)(sinelim:2xxxxxxxx原式原式解法解法xxxxxxxx21elim31coslimelim0200 312161 )0()1e(lim)2(0ln10 xxxx xxxxxxxxx11e1elimln)1eln(lim00ee 1eelim11ee1elim1e)1e(lim000eee xxxxxxxxxxxxxxxxx1e0 时，时，2elim1ee0 xx上式上式 基本概念基本概念 基本性质基本性质)d)(xxf不定积分不定积分,(原函数原函数;,(微分运算间关系微分运算间关系与求导与求导)线性可加性线性可加性法法分分积积 换元积分法换
17、元积分法分部积分法分部积分法有理函数的积分有理函数的积分)(凑微分法凑微分法,(三角代换三角代换 第二类换元第二类换元)倒代换倒代换四种基本形式的积分四种基本形式的积分可化为有理函数的积分可化为有理函数的积分 第一类换元第一类换元 第四章第四章 不定积分不定积分xxxd1142 例例解解xxxxd111222 分子分母同除以分子分母同除以2x 原式原式 2)1(2xx)1(dxx Cxx 21arctan21Cxx 21arctan212 xxd14)1(2 x)1(2 x xxd114xxxxd11121222 xxxxd11121222 2)1(212xx)1(dxx 2)1(212xx)
18、1(dxx 21arctan221xx 21 221 ln21 xx21 xx)0(x21C 例例例例解解.d,1max xx求求,1max)(xxf 设设,1,11,11,)(xxxxxxf则则,),()(上连续上连续在在xf),(xF则必存在原函数则必存在原函数.1,2111,1,21)(32212 xCxxCxxCxxF须处处连续，有须处处连续，有又又)(xF),21(lim)(lim12121CxCxxx ,21112CC 即即),(lim)21(lim21321CxCxxx ,12123CC 即即.1,12111,211,21d,1max22 xCxxCxxCxxx故故.1,2132
19、CCCC 可得可得,1CC 联立并令联立并令 基本公式基本公式几何意义几何意义基本性质基本性质 定积分估值定理定积分估值定理 变上限函数及其导数变上限函数及其导数 )(d)(babaxFxxfLN公式公式 baabMxxfabm)(d)()(定积分的定义定积分的定义 ,(线性线性)比较性质比较性质,区间可加性区间可加性第五章第五章 定积分定积分)(和求极限结合和求极限结合 换元法换元法 广义积分广义积分计算计算 分部积分法分部积分法 d babauvuv baxxf d)()(tx tttfd)()(d bavu基本概念基本概念 计算计算 无穷限的广义积分无穷限的广义积分无界函数的广义积分无界函数的广义积分 几何应用几何应用,(直角直角平面曲线的弧长平面曲线的弧长体积体积积积截面面积已知立体的体截面面积已知立体的体旋转体体积旋转体体积 平面图形的面积平面图形的面积 )极坐标极坐标,参数参数,(直角直角)极坐标极坐标,参数参数第六章第六章 定积分的应用定积分的应用
