1、数数 学学 中中 考考 复复 习习 教教 学学 中中 的的陈陈 明明 华华.数学中考是初中学段学生将面临的最重数学中考是初中学段学生将面临的最重 要的一次数学考试。要的一次数学考试。数学中考历来受到数学中考历来受到 学校、教师、学生、学校、教师、学生、家长和社会各界的广泛关注，乃至成为家长和社会各界的广泛关注，乃至成为 社会评判学校及教师优劣的标准。社会评判学校及教师优劣的标准。如何搞好中考复习教学是广大初中数学如何搞好中考复习教学是广大初中数学 教师极为关注和重视的一项重要的教学教师极为关注和重视的一项重要的教学 工作。工作。.在中考复习中，为了提高课堂复习在中考复习中，为了提高课堂复习教学
2、的有效性，教师应注意从教学效率教学的有效性，教师应注意从教学效率入手，讲求教学方法的有效性与策略性，入手，讲求教学方法的有效性与策略性，形成形成有效率的复习教学有效率的复习教学，从而促进学生从而促进学生初中数学知识的科学建构和数学能力的初中数学知识的科学建构和数学能力的形成，形成良好的数学素养，进而在数形成，形成良好的数学素养，进而在数学中考中取得优秀的成绩。学中考中取得优秀的成绩。.内容要点内容要点一、中考数学复习教学中的关注一、中考数学复习教学中的关注 点；点；二、中考数学复习教学中的方法二、中考数学复习教学中的方法 与策略探讨。与策略探讨。.现行初中数学教材的编排体系是按不同领现行初中数
3、学教材的编排体系是按不同领域知识交汇编排，这种编排体系有利于新知域知识交汇编排，这种编排体系有利于新知识教学，但不利识教学，但不利于于复习教学复习教学，不利于形成学不利于形成学生科学的、系统的、富有逻辑顺序的知识结生科学的、系统的、富有逻辑顺序的知识结构，不利于学生参加中考，因此，教师应从构，不利于学生参加中考，因此，教师应从形成学生科学知识结构的角度按知识的系统形成学生科学知识结构的角度按知识的系统性和逻辑性从新整合教材内容，即按数与代性和逻辑性从新整合教材内容，即按数与代数、空间与图形、统计与概率的知识板块结数、空间与图形、统计与概率的知识板块结构整合教材内容进行复习构整合教材内容进行复习
4、。.国家统编的初中数学教材内容是全国国家统编的初中数学教材内容是全国初中学生的最基本要求编写的，它是一个初中学生的最基本要求编写的，它是一个初中数学的基本知识底线，仅按这个基本初中数学的基本知识底线，仅按这个基本知识底线是不能在中考中取得好成绩的。知识底线是不能在中考中取得好成绩的。因此，在复习教学中教师必须按各地关于因此，在复习教学中教师必须按各地关于现行实验教材的现行实验教材的“教材补充意见教材补充意见”进行适进行适当的知识引深和方法拓展，从而适应中考当的知识引深和方法拓展，从而适应中考要求。要求。.中考是选拔性考试，中考命题的一个基本指导思想中考是选拔性考试，中考命题的一个基本指导思想就
5、是要突出能力立意，考查学生的数学能力就是要突出能力立意，考查学生的数学能力。中考要求学生应具有系统的、完整的知识体系和良中考要求学生应具有系统的、完整的知识体系和良好的数学能力，因而复习教学必须关注如何邦助学生好的数学能力，因而复习教学必须关注如何邦助学生构建初中数学知识体系和培养数学能力。构建初中数学知识体系和培养数学能力。中考前需要对学生三年所学的数学知识内容进行条理化、中考前需要对学生三年所学的数学知识内容进行条理化、综合化、系统化地整理，从而建构学生自己系统的、完整的、综合化、系统化地整理，从而建构学生自己系统的、完整的、科学的初中数学知识体系；科学的初中数学知识体系；中考前需要对学生
6、已学过的数学技能、数学思想和数学方法中考前需要对学生已学过的数学技能、数学思想和数学方法进行深化和进一步提高，形成通性进行深化和进一步提高，形成通性、通法通法，形成良好的数学能形成良好的数学能力力,从而才能适应中考的需要从而才能适应中考的需要.国家和省市关于中考的国家和省市关于中考的“指导意见指导意见”是各地中是各地中考命题的依据，因此，它是学校中考复习规划复习内考命题的依据，因此，它是学校中考复习规划复习内容，制定教学方法与策略的依据，因此，教师需要关容，制定教学方法与策略的依据，因此，教师需要关注如何如何准确把握注如何如何准确把握“指导意见指导意见”的要求，按中考要的要求，按中考要求内容进
7、行复习，按中考要求内容进行教学方法和策求内容进行复习，按中考要求内容进行教学方法和策略的制定。略的制定。各地中考的试卷有各自不同命题特点、命题习惯、各地中考的试卷有各自不同命题特点、命题习惯、试题结构，知识分布，因此，教师要注意研究本地区试题结构，知识分布，因此，教师要注意研究本地区历年来的中考试题，从而，使自己的复习教学更能准历年来的中考试题，从而，使自己的复习教学更能准确把握中考要求。确把握中考要求。.教育部关于积极推进中小学评价与考试制度教育部关于积极推进中小学评价与考试制度改革的通知改革的通知（教基（教基200226200226号）号）教育部关于基础教育课程改革实验区初中毕教育部关于基
8、础教育课程改革实验区初中毕业考试与普通高中招生制度改革的指导意见业考试与普通高中招生制度改革的指导意见（教基（教基2005220052号）号）教育部教育部全日制义务教育数学课程标准（实验全日制义务教育数学课程标准（实验稿）稿）国家课程改革实验区初中数学学业考试命题国家课程改革实验区初中数学学业考试命题指导指导高中阶段教育学校统一招生考试说明（试高中阶段教育学校统一招生考试说明（试用）用）数学数学 中考指导文件中考指导文件案例案例.实施策略：实施策略：在强化基本概念的认识理解的同时，注重初中在强化基本概念的认识理解的同时，注重初中 数学相关联概念间的关系梳理和网络建构，沟数学相关联概念间的关系梳
9、理和网络建构，沟 通相邻概念间的联系通相邻概念间的联系，实现学生初中数学基本实现学生初中数学基本 概念的系统化、逻辑化和关联化的理解与认识概念的系统化、逻辑化和关联化的理解与认识，从而把概念系统内化为学生自己的认知系统，从而把概念系统内化为学生自己的认知系统，并具有一定宽度的知识结构。并具有一定宽度的知识结构。方法要点方法要点：注重基本概念的关联、延伸、交注重基本概念的关联、延伸、交 汇、辩误与拓宽。汇、辩误与拓宽。.案例一案例一 实数的有关概念及实数系的复习实数的有关概念及实数系的复习 有关概念有关概念：自然数自然数、整数、分数、有理数、无理数、整数、分数、有理数、无理数、实数、数轴、相反数
10、、绝对值、倒数、平方根、实数、数轴、相反数、绝对值、倒数、平方根、立方根、立方根、（这些概念知识在实数域这个范畴内是彼此相关联（这些概念知识在实数域这个范畴内是彼此相关联的，但在初中数学教学中它们却是离散的。因此，的，但在初中数学教学中它们却是离散的。因此，在复习教学中应按知识结构体系梳理它们彼此之间在复习教学中应按知识结构体系梳理它们彼此之间的关系，构建完整的实数系的关系，构建完整的实数系,并采取有效的结构图方并采取有效的结构图方法和关联形式形成学生对实数系的科学认识。）法和关联形式形成学生对实数系的科学认识。）（数与代数基本概念的关联与交汇）（数与代数基本概念的关联与交汇）.实数系结构关系
11、框图实数系结构关系框图实数实数有理有理数数无理无理数数正有理数正有理数 零零 负有理数负有理数正无理数正无理数负无理数负无理数正整数正整数正分数正分数负整数负整数负分数负分数有限有限小数小数或无或无限循限循环小环小数数无限不循无限不循环小数环小数.案例二案例二 四边形的有关概念及相互关系的复习四边形的有关概念及相互关系的复习 有关概念有关概念：四边形、平行四边形、矩形、四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯 形、形、（对这些概念知识在总复习教学中应梳理它们彼此（对这些概念知识在总复习教学中应梳理它们彼此之间的关系，构建完整的四边形结构
12、关系图之间的关系，构建完整的四边形结构关系图,从而形从而形成学生对所有四边形及其相互关系的完整认识。）成学生对所有四边形及其相互关系的完整认识。）（空间与图形基本概念的关联与交汇）（空间与图形基本概念的关联与交汇）.四边形与特殊四边形的结构关系框图四边形与特殊四边形的结构关系框图四边形四边形一组对边平行一组对边平行梯形梯形平行四边形平行四边形一个角一个角为直角为直角直角梯形直角梯形一个角为直角一个角为直角菱形菱形矩形矩形正方形正方形两组对边平行两组对边平行一个角为直角一个角为直角一组邻边相等，一个角为直角一组邻边相等，一个角为直角一组邻边相等一组邻边相等一组邻边相等一组邻边相等 两腰相等两腰相
13、等等腰梯形等腰梯形注注：此框图使四边形与特殊此框图使四边形与特殊 四边形的性质和判定知四边形的性质和判定知 识得到很好地建构识得到很好地建构。.在进行概念知识的梳理和建构在进行概念知识的梳理和建构复习教学中，既要注意对概念结构复习教学中，既要注意对概念结构关系的梳理，还要注意对概念知识关系的梳理，还要注意对概念知识理解的有效建构形式，突出引导学理解的有效建构形式，突出引导学生对概念的生对概念的“关键词语关键词语”的把握。的把握。.有效的建构形式有效的建构形式可采用填空形式，突出关键词进行概念回顾可采用填空形式，突出关键词进行概念回顾和知识建构，促进概念和知识建构，促进概念知识知识的准确内化。的
14、准确内化。例例1绝对值绝对值：在数轴上表示数：在数轴上表示数a的点与的点与_的距离的距离叫做数叫做数a的绝对值；一个正数（的绝对值；一个正数（a0）和）和0的绝的绝对值对值|a|=_；一个负数（；一个负数（a0；（；（2）k0k0，在一、三象限；，在一、三象限；k0k0，在二、四象限。），在二、四象限。）k0Oxyy=kxOxyy=kxk0k0（1 1）a0a0，b0b0；（2 2）a0,b0,b0；a0（3 3）a0a0b0；（4 4）a0a0，b0b0必过一、三象限，必过一、三象限，a0,b0,b0)AB(a0,b0)BA(a0)与坐标轴的交点与坐标轴的交点：（：（，0），（），（0，b）
15、ba 与坐标轴围成的三角形的面积：与坐标轴围成的三角形的面积：S SAOBAOB=的绝对值的绝对值22ba.例例3 三参数函数（三参数函数（y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的知识结构复习）的知识结构复习）函数确定函数确定：三个点确定：三个点确定 函数分类函数分类：a0四类四类：(1)a0,b0,c0;(2)a0,b0,c0,b0;(4)a0,b0,c0.a0四类四类：(1)a0,c0;(2)a0,c0;(3)a0,b0;(4)a0,b0,c0，开口向上，必过一、二象限，开口向上，必过一、二象限，a0为例）为例）b2-4ac为非正数时，为非正数时，只在一、二象限；只在一、二象限；b2-
16、4ac为非负数时，为非负数时，只在一、二象限；只在一、二象限；b2-4ac为正数时，为正数时，b为为 负数时必过第四象限；负数时必过第四象限；b2-4ac为正数时，为正数时，b为为 负数时必过第三象限；负数时必过第三象限；.按照参数分类特点我们可以看出：按照参数分类特点我们可以看出：1 1、核心参数、核心参数 a a0(0(或或k k0)0)的函数的图象的函数的图象必过第一象限，核心参数必过第一象限，核心参数a a0(0(或或k k0)0)的函数的图象必过第四象限；的函数的图象必过第四象限；2 2、双参数函数和三参数函数的常数参数双参数函数和三参数函数的常数参数决定函数的图象与决定函数的图象与
17、y y轴的交点轴的交点。若常数参若常数参数大于数大于0 0，则函数图象过第一，则函数图象过第一、二象限，二象限，若常数参数小于若常数参数小于0 0，则函数图象过第三，则函数图象过第三、四象限。四象限。这些结论对于学生在考试中快速解决某些这些结论对于学生在考试中快速解决某些问题是非常有用的。问题是非常有用的。.二次函数与三角形的关联二次函数与三角形的关联 与二次函数有关的三角形的性态与面积研究与二次函数有关的三角形的性态与面积研究y=ax2+bx+c(a0)研究前提研究前提：b b2 2-4ac0-4ac0 重要四点重要四点：A(xA(x1 1,0),0)，B(xB(x2 2,0),0)C(0,
18、c)，M（）24,24bacbaa三个重要的三个重要的：ABCABC，ABMABM，BCMBCM研究内容：研究内容：三角形的性态与面积计算三角形的性态与面积计算研究要素研究要素：a a、b b、c c.例如：交点三角形例如：交点三角形ABCABC的性态的性态 相关的结论相关的结论ac=1ABCABC是是RtRt例：例：y=3xy=3x2 2+2x-+2x-13y=(m-3)xy=(m-3)x2 2+mx-+mx-13m.四个重要四个重要的面积的面积(b(b2 2-4ac0-4ac0)24(1)|2ABCbaccSa222(4)4(2)8ABMbacbacSa(3)S AMC=S ACO+SCO
19、BMS ABM(4)S BMC=S AOC+SCOBM-S ABCS SABMABM是解决与面积有关的二次函数上点存在性问题是解决与面积有关的二次函数上点存在性问题的重要判断量。的重要判断量。与二次函数有关的三角形面积计算与二次函数有关的三角形面积计算.例例：二次函数：二次函数y=xy=x2 2+x+3+x+3与与x x轴交于轴交于A A、B B两点，与两点，与y y轴交于点轴交于点C C，那么在此抛物线上是否存在这样的点那么在此抛物线上是否存在这样的点P P，使使S SAPBAPB=2S=2SABC ABC 存存在，求出点在，求出点P P的坐标，若不存在，请说明理由。的坐标，若不存在，请说明
20、理由。1383.近年来全省和全国地区中考解答题中的近年来全省和全国地区中考解答题中的压轴题，有不少都是采用以二次函数为基架压轴题，有不少都是采用以二次函数为基架的综合性试题，因此，对与二次函数及其有的综合性试题，因此，对与二次函数及其有关的直线形的性态与面积研究，以及由此形关的直线形的性态与面积研究，以及由此形成的开放性问题应引起老师们的足够重视成的开放性问题应引起老师们的足够重视 .初中数学中的条块知识间并不是初中数学中的条块知识间并不是孤立的，特别是数与代数、空间与图孤立的，特别是数与代数、空间与图形两大板块中的条块知识一般都是相形两大板块中的条块知识一般都是相互关联的互关联的(例如：函数
21、与方程例如：函数与方程)。因此。因此，要从知识关联的角度进行，要从知识关联的角度进行条块知识条块知识间的交汇间的交汇复习。复习。.实施实施策略策略 注重基础知识与基本技能的迁移与内化，注重基础知识与基本技能的迁移与内化，通过解题方法与解题技巧的归纳总结，促通过解题方法与解题技巧的归纳总结，促 进学生数学思维品质的提高，从而形成数进学生数学思维品质的提高，从而形成数 学能力，提高学生在考试中的解题效率。学能力，提高学生在考试中的解题效率。方法要点方法要点：注重双基的变式迁移，在变式：注重双基的变式迁移，在变式 迁移中内化形成能力迁移中内化形成能力.从数学教育学角度来看，基础知识和基本从数学教育学
22、角度来看，基础知识和基本技能的应用实质上就是学生学习的迁移问题，而技能的应用实质上就是学生学习的迁移问题，而迁移的实质就是概括，就是在概括中提取通性、迁移的实质就是概括，就是在概括中提取通性、通法进行知识内化后的应用。通法进行知识内化后的应用。变式训练是复习中一种行之有效的学习迁变式训练是复习中一种行之有效的学习迁移方法，它可以使学生举一反三，在变式中更好移方法，它可以使学生举一反三，在变式中更好地对通性、通法进行迁移概括，具有很好的思维地对通性、通法进行迁移概括，具有很好的思维培养价值。培养价值。.案例一案例一 如图，如图，O O是正方形是正方形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC、BD
23、BD的交点，的交点，EFEF是过是过O O的任一直线，分别交的任一直线，分别交ABAB、CDCD于于E E、F F。求证：。求证：四边形四边形AEFDAEFD的面积的面积=四边形四边形BCFEBCFE的面积的面积 （或四边形（或四边形AEFDAEFD四边形四边形BCFEBCFE）ABDCOEF.变式迁移变式迁移1 1 把正方形改为矩形（或菱形），则命题同把正方形改为矩形（或菱形），则命题同样成立。样成立。ABDCOEFOABDCEF.变式迁移变式迁移2 2 对于任意中心对称图形，此命题同样成立。对于任意中心对称图形，此命题同样成立。OEFOEF.变式迁移变式迁移3 3 两个中心对称图形的组合图
24、形的中心连线两个中心对称图形的组合图形的中心连线把这两个组合图形分成两个面积相等的图形。把这两个组合图形分成两个面积相等的图形。EFANCMO1BO2（等积分割组合图形问题（等积分割组合图形问题）ABCDMNO1O2(等积分割组合图形问题）等积分割组合图形问题）EFD.O1O4O3O2图图(2)变式迁移变式迁移4（1）四个等圆的位置关系如图（四个等圆的位置关系如图（1 1）所示）所示 ，请你画，请你画出一条直线把这四个圆的面积二等分；出一条直线把这四个圆的面积二等分；（2）在图（在图（2 2）中所示的四个等圆图形中，）中所示的四个等圆图形中，是否存是否存在一点在一点P P，使过点，使过点P P
25、的任一条直线都可以把这四个圆的任一条直线都可以把这四个圆的面积二等分？的面积二等分？PO2O1O4O3图图(1).学生的数学能力就是学生内化了的经验，学生的数学能力就是学生内化了的经验，学生数学能力的形成和发展过程就是知识与技学生数学能力的形成和发展过程就是知识与技能这些个体经验的获得与内化的过程。能这些个体经验的获得与内化的过程。在复习中，要注意选择一些具有一定综合在复习中，要注意选择一些具有一定综合性的问题性的问题(多个知识点交错组合的问题多个知识点交错组合的问题)进行范进行范例教学，从而帮助学生学会知识与技能的内化例教学，从而帮助学生学会知识与技能的内化，形成能力。，形成能力。.实施策略
26、实施策略 关注学生关注学生“运用知识解决问题能力运用知识解决问题能力”的形的形 成，努力体现数学在实际生活中的应用，成，努力体现数学在实际生活中的应用，促进学生把身边的实际问题通过数学建模促进学生把身边的实际问题通过数学建模 转化为已学过数学问题，并运用数学知识转化为已学过数学问题，并运用数学知识 解决问题。这不仅符合当前中考的命题趋解决问题。这不仅符合当前中考的命题趋 势，并且可以使学生感受到数学的价值。势，并且可以使学生感受到数学的价值。方法要点方法要点：关注解决实际问题中的知识应用，关注解决实际问题中的知识应用，善于运用数学建模进行问题转化。善于运用数学建模进行问题转化。.教育部教育部关
27、于初中毕业、升学考试改革关于初中毕业、升学考试改革的指导意见的指导意见在试题命制中特别强调在试题命制中特别强调“普遍关普遍关注对学生在具体情境中运用所学知识和技能分注对学生在具体情境中运用所学知识和技能分析和解决问题能力的考察，注意加强试题与社析和解决问题能力的考察，注意加强试题与社会实际和学生生活的联系会实际和学生生活的联系”在复习教学中要注意把学生生活中常见在复习教学中要注意把学生生活中常见的事例和现象与相应知识的复习整合进行。的事例和现象与相应知识的复习整合进行。.案例案例1 折纸中渗透了图形的全等、轴对称等知识，折纸中渗透了图形的全等、轴对称等知识，因此复习中利用折纸的探究活动，可以有
28、效地实因此复习中利用折纸的探究活动，可以有效地实现对全等形、轴对称的复习。现对全等形、轴对称的复习。例：例：把一张长为把一张长为a a，宽为，宽为b b的长方形的长方形ABCDABCD沿沿对角线对角线ACAC对折（如图），剪去不重合部分，把对折（如图），剪去不重合部分，把剩余部分打开，请说明打开图形的形状，并求其剩余部分打开，请说明打开图形的形状，并求其面积。面积。.解析解析由由ADE ADE CBECBEAE=CEAE=CE四边形四边形AECFAECF是菱形是菱形22,ACab22bEFaba12SAC EF222212bababa22()2baba.将一正方形纸片按图将一正方形纸片按图5
29、5中（中（1 1）（）（2 2）的方式依次对）的方式依次对折后，再沿（折后，再沿（3 3）中的虚线裁剪，最后将（）中的虚线裁剪，最后将（4 4）中的）中的纸片打开铺平，所得图案应该是图案中的（纸片打开铺平，所得图案应该是图案中的（）剪折纸操作问题剪折纸操作问题.案例案例2 镶嵌是学生生活中常见的事例，镶嵌中包含着镶镶嵌是学生生活中常见的事例，镶嵌中包含着镶嵌规律的探索（用字母表示数），也包含着方程、图形嵌规律的探索（用字母表示数），也包含着方程、图形组合等数学知识，复习中可通过镶嵌这个事例进行相关组合等数学知识，复习中可通过镶嵌这个事例进行相关知识的复习。知识的复习。例例1：如图是由大小相同的
30、长方形木块所拼成的矩形：如图是由大小相同的长方形木块所拼成的矩形地板，已知这个矩形地板周长为地板，已知这个矩形地板周长为340cm340cm，求每块小长方，求每块小长方形木块的尺寸（即长和宽）形木块的尺寸（即长和宽）数学模型数学模型 二元一次方程组二元一次方程组设长为设长为xcmxcm，宽为，宽为ycmycm，则，则(5)(2)1705xyxyxy.掷骰子、掷币、抽扑克是学生熟悉的概掷骰子、掷币、抽扑克是学生熟悉的概率游戏活动，在中考命题中，这些游戏活率游戏活动，在中考命题中，这些游戏活动常常作为概率试题的素材，在复习教学动常常作为概率试题的素材，在复习教学中，要注意结合这些素材进行相关研究。
31、中，要注意结合这些素材进行相关研究。案例案例2 2.有效投掷有效投掷无效投掷无效投掷 如图是由如图是由9 9个边长为个边长为 5cm 5cm 的小正方形组成的方格的小正方形组成的方格正方形板，现进行一种掷币游戏活动，将一枚半径为正方形板，现进行一种掷币游戏活动，将一枚半径为1cm1cm的硬币投掷在的硬币投掷在 这个方格正方形板上（这个方格正方形板上（假设硬币假设硬币投掷后不会落在方格正方形板外）现规定硬币掷在一投掷后不会落在方格正方形板外）现规定硬币掷在一个小正方形中且不和小正方形的边相交（可以相切个小正方形中且不和小正方形的边相交（可以相切 ）时称为有效投掷，求这种活动的有效投掷概率是多少？
32、时称为有效投掷，求这种活动的有效投掷概率是多少？.解题过程分析解题过程分析有效投掷区域：有效投掷区域：图中红色部分。图中红色部分。有效区域面积：有效区域面积：S=933=81(cm2)方格正方形面积：方格正方形面积：S=1515=225(cm2)有效投掷概率：有效投掷概率：81936%22525SPS.在复习教学中在复习教学中,教师要注意引导教师要注意引导和教会学生掌握一些有规律的生活和教会学生掌握一些有规律的生活实际问题的规律性探究方法实际问题的规律性探究方法,提高学提高学生对规律性问题的解题方法的掌握生对规律性问题的解题方法的掌握，从而提高学生的解题能力。，从而提高学生的解题能力。.方法要
33、点方法要点：通过开放性问题的专题研究通过开放性问题的专题研究，掌，掌 握开放性问题的基本类型和基本握开放性问题的基本类型和基本 解决方法。解决方法。实施策略实施策略教育部在布置教育部在布置“中考指导意见中考指导意见”中特别指出中特别指出：“试题设计要增加现实情境问题和开放性问试题设计要增加现实情境问题和开放性问题题”。因此，在中考复习中要把开放性试题作。因此，在中考复习中要把开放性试题作为复习教学的一个重要内容，要从开放性问题为复习教学的一个重要内容，要从开放性问题的设计背景的设计背景、结构特点、常见类型、解题思路结构特点、常见类型、解题思路上引导学生掌握开放性问题的解题方法和解题上引导学生掌
34、握开放性问题的解题方法和解题技巧。技巧。.在设计一个数学问题时，让问题的已知在设计一个数学问题时，让问题的已知条件条件，或导出的结论，或解题过程等具有一定或导出的结论，或解题过程等具有一定的不完备性或不确定性（即开放性），需要学的不完备性或不确定性（即开放性），需要学生运用所学知识通过观察、分析、对比、猜想、生运用所学知识通过观察、分析、对比、猜想、归纳、判断、推理等一系列探究活动，使之完归纳、判断、推理等一系列探究活动，使之完备或确定，这样的问题称为开放性问题。备或确定，这样的问题称为开放性问题。结论开放性问题和条件开放性问题要注结论开放性问题和条件开放性问题要注重引导学生简捷、多角度思考解
35、决问题；过程重引导学生简捷、多角度思考解决问题；过程开放性问题要引导学生理解从过程发现归律的开放性问题要引导学生理解从过程发现归律的解题方法。解题方法。.例题例题 1(结论开放性问题结论开放性问题)如图，如图，以等腰三角形以等腰三角形ABCABC的一腰的一腰ABAB为直径的为直径的O O交交BCBC于于D D，交交ACAC于点于点G G，连结，连结ADAD，并过点，并过点D D作作DEACDEAC，垂足为，垂足为E E。根据以上条件写出三个正确结根据以上条件写出三个正确结论论（除（除AB=ACAB=AC、AO=BOAO=BO、ABC=ACBABC=ACB外）是：外）是：（1 1）_；（2）_；
36、（3）_。ABCDEGO.(本题可从满足一定条件本题可从满足一定条件O O1 1A=OA=O1 1B B，O O2 2A=OA=O2 2B B的四边的四边形要成为菱形或正方形来反推形要成为菱形或正方形来反推O O1 1与与O O2 2应该满应该满足的条件。足的条件。)例例 题题2（条件开放性问题）（条件开放性问题）如图，如图，OO1 1与与OO2 2相交于相交于A A、B B两点，连结两点，连结OO1 1A A、OO1 1B B、OO2 2A A、OO2 2B B，若要使四边形，若要使四边形AOAO1 1BOBO2 2是菱形，则应补充的已知条件是是菱形，则应补充的已知条件是 _；若；若要使四边
37、形要使四边形 AOAO1 1BOBO2 2 是正方形，则应补充的已知是正方形，则应补充的已知条件是条件是_。ABO1O2.例例3(几何存在开放的试题几何存在开放的试题相等关系存在性问题相等关系存在性问题)如图如图，四边形四边形ABCDABCD是正方形，点是是正方形，点是ABAB边上边上 任意一点，求证任意一点，求证：S SADEADES SBCEBCES SCDECDE。ECBDA.(2)(2)、当四边形当四边形ABCDABCD是矩形时，是矩形时，(1)(1)中的结论中的结论是否仍然成立？为什么？若四边形是否仍然成立？为什么？若四边形ABCDABCD是平是平行四边形呢？行四边形呢？(3)(3)
38、、当四边形当四边形ABCDABCD是梯形时，是梯形时，(1)(1)中的结论中的结论还成立吗？请说明理由。还成立吗？请说明理由。ADEBCADEBCADBCE.已知矩形已知矩形ABCDABCD，点点P P是是矩形矩形ABCDABCD 内任内任一点，证明一点，证明 S SPBCPBCS SPACPACS SPCDPCD。ABFCEDP图图1例例4 (几何存在开放的试题几何存在开放的试题相等关系存在问题相等关系存在问题).BAPCD图图2ABDCP图图3 (2)(2)、当点当点P P分别在图分别在图2 2、图、图3 3中的位置时，中的位置时，S SPBCPBC，S SPCDPCD,S,SPACPAC
39、是否还有这样的数量关是否还有这样的数量关系？请写出你对上述两种情况的猜想，并系？请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明。选择其中一种情况的猜想给予证明。.例例 题题 5(代数存在开放性问题代数存在开放性问题)如图，直线如图，直线y=-x+3y=-x+3与与x x轴、轴、y y轴分别相交于点轴分别相交于点B B、点点C C，经过，经过B B、C C两点的抛物线两点的抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴另轴另一交点为一交点为A A，顶点为，顶点为P P，且对称轴，且对称轴是直线是直线x=2x=2。（1 1）求点）求点A A的坐标；的坐标；（2 2）求
40、该抛物线的函数表）求该抛物线的函数表 达式；达式；（3 3）连结）连结ACAC。请问在。请问在x x轴上轴上是否存在点是否存在点Q Q，使得以点，使得以点P P、B B、Q Q为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABCABC相似，相似，若存在，请求出点若存在，请求出点Q Q的坐标；若的坐标；若不存在，请说明理由。不存在，请说明理由。OAPBxCyx=2.方法要点方法要点：强化数学阅读，提高理解能力强化数学阅读，提高理解能力实施策略实施策略数学阅读能力是学生的一种重要数学能力数学阅读能力是学生的一种重要数学能力，培养学生这种能力对于学生正确理解题，培养学生这种能力对于学生正确理解题意意，由文字语言由
41、文字语言、图象语言图象语言、表格语言等表格语言等分析出数量关系分析出数量关系，并由此进行建立数学模并由此进行建立数学模型型，解决问题至关重要解决问题至关重要，特别是在解决应特别是在解决应用型问题用型问题、开放型问题和建构型问题中更开放型问题和建构型问题中更是如此是如此。在中考复习教学中要注意强化数在中考复习教学中要注意强化数学阅读，并由此提高学生的数学理解能力。学阅读，并由此提高学生的数学理解能力。.例例1(建构性阅读理解问题建构性阅读理解问题)菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为形与正方形的接近程度称为“接近度接
42、近度”。在研究。在研究“接近度接近度”时，应保证相似图形的时，应保证相似图形的“接近度接近度”相等。相等。(1)设菱形的相邻两个内角度数分别为设菱形的相邻两个内角度数分别为m和和n，将菱，将菱形的形的“接近度接近度”定义为定义为mn，于是，于是mn越小，菱越小，菱形越接近于正方形形越接近于正方形。若菱形的一个内角度数为若菱形的一个内角度数为70，则菱形的，则菱形的“接近度接近度”等等于于_；当菱形的当菱形的“接近度接近度”等于等于_时，菱形是正方形时，菱形是正方形。(2)设矩形的相邻两条边分别为设矩形的相邻两条边分别为a和和b(ab)，是否可以用，是否可以用ab作为矩形的作为矩形的“接近度接近
43、度”一个定义。若不行一个定义。若不行，请给出请给出矩形的矩形的“接近度接近度”一个合理定义。一个合理定义。.例例 2 2 如图，省级公路如图，省级公路MNMN和某中学学校道路和某中学学校道路PQPQ在点在点P P处交汇，处交汇，QPN=30QPN=300 0，学校道路上的点，学校道路上的点A A处是教处是教学大楼，学大楼，AP=160AP=160公尺，当汽车在公路公尺，当汽车在公路MNMN上以上以8080公公里里/小时的速度行驶时，小时的速度行驶时，周围周围100100公尺以内会受到噪公尺以内会受到噪声的影响声的影响 ，那么一辆汽车在公路，那么一辆汽车在公路MNMN上沿上沿PNPN方向以方向以
44、8080公里公里 /小时行驶时小时行驶时 ，教学楼是否会受到噪声的影，教学楼是否会受到噪声的影响？如果受到影响响？如果受到影响 ，那么教学楼受到影响的时间为，那么教学楼受到影响的时间为多少秒？如果汽车的速度每降低多少秒？如果汽车的速度每降低1010公里，噪声影响公里，噪声影响的范围就会减少的范围就会减少1010公尺，那么公尺，那么 ，为了保证学校教学，为了保证学校教学不受噪声影响，在不受噪声影响，在PNPN这段公路上汽车行驶的限速应这段公路上汽车行驶的限速应是多少？是多少？MNPQA(应用性问题应用性问题).思路分析思路分析 本题是一道以点和圆的位置关系为数学模型的本题是一道以点和圆的位置关系
45、为数学模型的联系生活实际的问题，教学楼是否受到噪声影响的联系生活实际的问题，教学楼是否受到噪声影响的结论实际上就是判断点结论实际上就是判断点A A是否在以汽车为圆心，噪是否在以汽车为圆心，噪声影响距离为半径的动圆内声影响距离为半径的动圆内 、动圆上、动圆外。、动圆上、动圆外。（受到影响，影响时间为（受到影响，影响时间为5.45.4秒，限速秒，限速6060公里公里/小时）小时）.方法要点方法要点：科学的编排复习进程，分阶段、有科学的编排复习进程，分阶段、有 重点地进行复习重点地进行复习实施策略实施策略科学地编排知识复习进程科学地编排知识复习进程，根据阶段性任务和目标根据阶段性任务和目标编排复习教
46、学。编排复习教学。第一轮：按知识板块进行基础知识复习第一轮：按知识板块进行基础知识复习 按初中数学知识的纵向关系分为十个知识板块按初中数学知识的纵向关系分为十个知识板块：数与代数式；方程与不等式；函数；数与代数式；方程与不等式；函数；平行线与三角形；四边形；圆；图形变换与相平行线与三角形；四边形；圆；图形变换与相 似；解直角三角形；似；解直角三角形；统计；概率统计；概率。.第二轮：分专题进行能力提升复习第二轮：分专题进行能力提升复习。针对中考的重点题型分成若干专题进行研究针对中考的重点题型分成若干专题进行研究：应用型问题研究；应用型问题研究；方案设计型问题研究；方案设计型问题研究；开放探究型问
47、题研究；开放探究型问题研究；分类讨论型问题研究；分类讨论型问题研究；动态几何函数型问题研究；动态几何函数型问题研究；以函数为基架的综合型问题研究；以函数为基架的综合型问题研究；以圆为基架的综合型问题研究；以圆为基架的综合型问题研究；.数学中考中的这些重点题型是体现数学中考中的这些重点题型是体现中考命题能力立意的重要标志中考命题能力立意的重要标志。因此，因此，在中考总复习教学中，要在基础知识复在中考总复习教学中，要在基础知识复习后专门安排针对这些重点题型的专题习后专门安排针对这些重点题型的专题研究，以此提高学生的数学能力，适应研究，以此提高学生的数学能力，适应中考的需要。中考的需要。.第三轮：模
48、拟考试第三轮：模拟考试，热身训练热身训练。初中毕业与升学考试将是初中学生经历的初中毕业与升学考试将是初中学生经历的第一次选拔性考试，学生经历的不仅是知识的第一次选拔性考试，学生经历的不仅是知识的考试，同时也是心理素质的考试。因此必须通考试，同时也是心理素质的考试。因此必须通过模拟考试，热身训练来检查知识的掌握状况过模拟考试，热身训练来检查知识的掌握状况和进行心理素质训练。和进行心理素质训练。.模拟试题的来源：模拟试题的来源：选用各地与本地区相同类型的中考模选用各地与本地区相同类型的中考模 拟试题；拟试题；由区县中心组针对本地区命题的特点由区县中心组针对本地区命题的特点 和风格组织编写中考模拟试
49、题；和风格组织编写中考模拟试题；由学校教研组组织编写模拟试题；由学校教研组组织编写模拟试题；注意注意：试题的编写前必须制订相应的知识：试题的编写前必须制订相应的知识双向系列表和解题时间系列表，以及难度双向系列表和解题时间系列表，以及难度标准。标准。.初中数学学业毕业与升学考试是义初中数学学业毕业与升学考试是义务教育阶段数学学科的终结性考试，受务教育阶段数学学科的终结性考试，受到社会各界人士的高度关注。教师作为到社会各界人士的高度关注。教师作为这次考试中学生总复习迎考的组织者、这次考试中学生总复习迎考的组织者、引导者和合作者，肩引导者和合作者，肩上的上的责任重大，因责任重大，因此教师一定要把握好复习教学的方法和此教师一定要把握好复习教学的方法和策略，努力引导学生在知识和能力上得策略，努力引导学生在知识和能力上得到全面提升，在学业毕业与升学考试中到全面提升，在学业毕业与升学考试中取得优秀取得优秀结结 束束 语语.
