1、第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件,最新考纲 1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.,知 识 梳 理,1.命题,可以_、用文字或符号表述的语句叫作命题，其中_的语句叫作真命题，_的语句叫作假命题.,判断真假,判断为真,判断为假,(1)四种命题间的相互关系,(2)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们具有_的真假性. 两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性_.,若q，则p,若綈p,则綈q,若綈q,则綈p,相同,没有关系,3.充分条件、必要条件与充要条件的概念,充分,必
2、要,充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要,微点提醒,1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论. 2.区别A是B的充分不必要条件(AB且B A)，与A的充分不必要条件是B(BA且A B)两者的不同. 3.A是B的充分不必要条件綈B是綈A的充分不必要条件.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)“x22x30”是命题.( ) (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.( ) (3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( ) (4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.( ),解析
3、(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的. (2)错误.否命题既否定条件，又否定结论. 答案 (1) (2) (3) (4),答案 C,3.(选修21P22B2改编)“若a，b都是偶数，则ab必是偶数”的逆否命题为_. 解析 “a，b都是偶数”的否定为“a，b不都是偶数”，“ab是偶数”的否定为“ab不是偶数”，故其逆否命题为“若ab不是偶数，则a，b不都是偶数”. 答案 若ab不是偶数，则a，b不都是偶数,A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,答案 A,5.(2017北京卷)能够说明“设a，b，c是任意实数.若abc，则abc”是假命题的
4、一组整数a，b，c的值依次为_. 解析 abc，取a2，b4，c5， 则ab6c. 答案 2，4，5(答案不唯一),因此2a0，故a0. 所以“a0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件. 答案 充要,考点一 命题及其关系,【例1】 (1)(2019郑州模拟)下列说法正确的是( ),(2)根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为0，2的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f(x)minf(0).,规律方法 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意： (1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； (2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提. 2.(1)判断一个命题为真命题
5、，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例. (2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.,【训练1】 (1)(2018肇庆一诊)命题“若a，b，c成等比数列，则b2ac”的逆否命题是( ) A.“若a，b，c成等比数列，则b2ac” B.“若a，b，c不成等比数列，则b2ac” C.“若b2ac，则a，b，c成等比数列” D.“若b2ac，则a，b，c不成等比数列” (2)命题p：若x0，则xa；命题q：若ma2，则msin x(xR)恒成立.若p的逆命题，q的逆否命题都是真命题，则实数a的取值范围是_.,解析 (1
6、)命题“若a，b，c成等比数列，则b2ac”的逆否命题是“若b2ac，则a，b，c不成等比数列”. (2)命题p的逆命题是若xa，则x0，故a0.因为命题q的逆否命题为真命题，所以命题q为真命题，则a21，解得a1.则实数a的取值范围是0，1). 答案 (1)D (2)0，1),考点二 充分条件与必要条件的判定 【例2】 (1)(2018北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a3b|3ab|”是“ab”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件,解析 (1)|a3b|
7、3ab|(a3b)2(3ab)2a26ab9b29a26abb2， 又|a|b|1，ab0ab，因此|a3b|3ab|是“ab”的充要条件.,故“m1”是“f f(1)4”的充分不必要条件. 答案 (1)C (2)A,规律方法 充要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据pq，qp进行判断. (2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.,【训练2】 (1)(2018浙江卷)已知平面，直线m，n满足m，n，则“mn”是“m”的( ) A.充分不必
8、要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(2019汉中质检)已知函数f(x)3x3x，任意a，bR，则“ab”是“f(a)f(b)”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,解析 (1)若m，n ，mn，由线面平行的判定定理知m.若m，m，n，不一定推出mn，直线m与n可能异面，故“mn”是“m”的充分不必要条件. (2)因为f(x)3x3x， 所以f(x)3xln 33xln 3(1)3xln 33xln 3， 易知f(x)0， 所以函数f(x)3x3x为(，)上的单调递增函数，从而由“ab”可得“f(a)f(
9、b)”，由“f(a)f(b)”可得“ab”，即“ab”是“f(a)f(b)”的充要条件. 答案 (1)A (2)C,考点三 充分条件、必要条件的应用 典例迁移,【例3】 (经典母题)已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m.若xP是xS的必要条件，求实数m的取值范围. 解 由x28x200，得2x10， Px|2x10. xP是xS的必要条件，则SP.,又S为非空集合，1m1m，解得m0. 综上，m的取值范围是0，3.,【迁移探究1】 本例条件不变，问是否存在实数m，使xP是xS的充要条件？并说明理由.,解 由例题知Px|2x10. 若xP是xS的充要条件，则PS，,【迁移探究2】
10、设p：Px|x28x200，q：非空集合Sx|1mx1m，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.,解 由例题知Px|2x10. 綈p是綈q的必要不充分条件，p是q的充分不必要条件.,pq且q p，即PS.,m9，又因为S为非空集合， 所以1m1m，解得m0， 综上，实数m的取值范围是9，).,规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能
11、够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.,【训练3】 (2018浏阳三校联考)设p：实数x满足x24ax3a20.若a0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.,解 由p得(x3a)(xa)0，则2x3或x2，则x4或x2. 设p：A(3a，a)，q：B(，4)2，)， 又p是q的充分不必要条件.,思维升华 1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，并注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”. 2.充分、必要条件与集合的关系，p，q成立的对象构成的集合分别为A和B. (1)若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件. (2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件. (3)若AB，则p是q的充要条件.,易错防范 1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提. 2.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.,
