1、第6节 对数与对数函数,知 识 梳 理,1.对数的概念 一般地，如果a(a0，a1)的b次幂等于N，即abN，那么数b叫作以a为底N的对数，记作_.其中a叫作对数的底数，N叫作真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：alogaN_；logaabb(a0，且a1). (2)对数的运算法则 如果a0且a1，M0，N0，那么 loga(MN)_；,N,logaMlogaN,logaNb,logaMn_(nR)；,logamMnlogaM(m，nR，且m0). (3)换底公式：_(a，b均大于零且不等于1).,3.对数函数及其性质 (1)概念：函数ylogax(a0，且a1)叫作
2、对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，).,logaMlogaN,nlogaM,(2)对数函数的图像与性质,(0，),R,(1，0),增函数,减函数,4.反函数 指数函数yax(a0，且a1)与对数函数_(a0，且a1)互为反函数，它们的图像关于直线_对称.,ylogax,yx,微点提醒,1.换底公式的两个重要结论,其中a0，且a1，b0，且b1，m，nR. 2.在第一象限内，不同底的对数函数的图像从左到右底数逐渐增大.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)log2x22log2x.( ) (2)函数ylog2(x1)是对数函数.( ),(4)当x1时，
3、若logaxlogbx，则ab.( ),解析 (1)log2x22log2|x|，故(1)错. (2)形如ylogax(a0，且a1)为对数函数，故(2)错. (4)当x1时，logaxlogbx，但a与b的大小不确定，故(4)错. 答案 (1) (2) (3) (4),A.abc B.acb C.cba D.cab,答案 D,4.(2018嘉兴调研)计算log29log342log510log50.25( ) A.0 B.2 C.4 D.6 解析 原式2log23(2log32)log5(1020.25)4log525426. 答案 D,5.(2019抚州月考)已知函数yloga(xc)(a
4、，c为常数，其中a0，且a1)的图像如图，则下列结论成立的是( ) A.a1，c1 B.a1，01 D.0a1，0c1,解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以00，即logac0，所以0c1. 答案 D,6.(2018全国卷)已知函数f(x)log2(x2a).若f(3)1，则a_. 解析 由f(3)1得log2(32a)1，所以9a2，解得a7. 答案 7,考点一 对数的运算,答案 (1)20 (2)1,规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，
5、然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.abNblogaN(a0，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.,【训练1】 (1)若lg 2，lg(2x1)，lg(2x5)成等差数列，则x的值等于( ),解析 (1)由题意知lg 2lg(2x5)2lg(2x1)，2(2x5)(2x1)2，(2x)290，2x3，xlog23.,又abba，所以b2bbb2，即2bb2，又ab1，解得b2，a4. 答案 (1)D (2)4 2,考点二 对数函数的图像及应用 【例2】 (1)(2019安康一模)若函数f(x)axax(a0且a1)在R上为减函数，则函
6、数yloga(|x|1)的图像可以是( ),(2)当x(1，2)时，不等式(x1)2logax恒成立，则a的取值范围是( ),解析 (1)由f(x)在R上是减函数，知01时，yloga(x1)的图像由ylogax的图像向右平移一个单位得到. 因此选项D正确.,(2)由题意，易知a1. 在同一坐标系内作出y(x1)2，x(1，2)及ylogax的图像.,若ylogax过点(2，1)，得loga21，所以a2. 根据题意，函数ylogax，x(1，2)的图像恒在y(x1)2，x(1，2)的上方. 结合图像，a的取值范围是(1，2. 答案 (1)D (2)C,规律方法 1.在识别函数图像时，要善于利
7、用已知函数的性质、函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解.,A.0a1b1 B.0ba11 C.0b1a1 D.0a1b11,【训练2】 (1)已知函数f(x)loga(2xb1)(a0，a1)的图像如图所示，则a，b满足的关系是( ),解析 (1)由函数图像可知，f(x)在R上单调递增，又y2xb1在R上单调递增，故a1.函数图像与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图像可知1logab0， 即logaa1logabloga1，所以，a1b1. 综上有0a1b1.,(2)
8、作出函数yf(x)的图像(如图所示).,方程f(x)a0恰有一个实根，等价于函数yf(x)的图像与直线ya恰有一个公共点， 故a0或a2，即a的取值范围是02，). 答案 (1)A (2)02，),考点三 对数函数的性质及应用 多维探究 角度1 对数函数的性质,A.f(x)在(0，2)上单调递增 B.f(x)在(0，2)上单调递减 C.yf(x)的图像关于直线x1对称 D.yf(x)的图像关于点(1，0)对称,【例31】 (2017全国卷)已知函数f(x)ln xln(2x)，则( ),解析 由题意知，f(x)ln xln(2x)的定义域为(0，2)，f(x)lnx(2x)ln(x1)21，由
9、复合函数的单调性知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A，B；又f(2x)ln(2x)ln xf(x)，所以f(x)的图像关于直线x1对称，C正确，D错误. 答案 C,角度2 比较大小或解简单的不等式,A.abc B.bac C.cba D.cab (2)若loga(a21)loga2a0，则a的取值范围是( ),(2)由题意得a0且a1，故必有a212a， 又loga(a21)loga2a0，所以0a1，,答案 (1)D (2)C,角度3 对数型函数性质的综合应用 【例33】 已知函数f(x)loga(3ax).,(1)当x0，2时，函数f(x)恒有意义，求
10、实数a的取值范围； (2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.,解 (1)a0且a1，设t(x)3ax， 则t(x)3ax为减函数，x0，2时，t(x)的最小值为32a， 当x0，2时，f(x)恒有意义，即x0，2时，3ax0恒成立.,(2)t(x)3ax，a0， 函数t(x)为减函数. f(x)在区间1，2上为减函数，ylogat为增函数， a1，x1，2时，t(x)最小值为32a，f(x)最大值为f(1)loga(3a)，,故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为1.
11、,规律方法 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. 2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误. 3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.,【训练3】 (1)(2016全国卷)若ab0，0c1，则( ),A.logaccb,解析 (1)由yxc与ycx的单调性知，C，D不正确； ylogcx是减函数，得logcalogcb，B正确；,又ab0，lg alg b，但不能确定lg a，lg b的正负， logac与log
12、bc的大小不能确定.,所以函数f(x)的单调递增区间为(0，). 答案 (1)B (2)(0，),思维升华 1.对数值取正、负值的规律 当a1且b1或00； 当a1且01时，logab0. 2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决. 3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性. 4.多个对数函数图像比较底数大小的问题，可通过比较图像与直线y1交点的横坐标进行判定.,易错防范 1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数ylogax的定义域应为(0，).对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分01两种情况讨论. 2.在运算性质logaMlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMloga|M|(N+，且为偶数). 3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.,
