1、第1节 数列的概念及简单表示法,最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)； 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.,知 识 梳 理,1.数列的概念 (1)数列的定义：按照_排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的_. (2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N+(或它的有限子集)为_的函数anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. (3)数列有三种表示法，它们分别是_、图像法和_.,一定次序,项,定义域,列表法,通项公式法,2.数列的分类,有限,无限,3.数列的通项公式 (1)通项公式：如果数列a
2、n的第n项an与_之间的关系可以用一个式子anf(n)来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式. (2)递推公式：如果已知数列an的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式.,n,微点提醒,2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关. 3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)相同的一组数按不同顺序排列
3、时都表示同一个数列.( ) (2)1，1，1，1，不能构成一个数列.( ) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( ) (4)如果数列an的前n项和为Sn，则对任意nN+，都有an1Sn1Sn.( ) 解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列. (3)数列可以是常数列或摆动数列. 答案 (1) (2) (3) (4),答案 D,3.(必修5P8A1改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an_.,解析 由a11514，a26524，a311534，归纳an5n4. 答案 5n4,4.(2019衡
4、水中学摸底)已知数列an中，a11，an12an1(nN+)，Sn为其前n项和，则S5的值为( ) A.57 B.61 C.62 D.63 解析 由条件可得a22a113，a32a217，a42a3115，a52a4131，所以S5a1a2a3a4a5137153157. 答案 A,5.(2019安康月考)数列0，1，0，1，0，1，0，1，的一个通项公式an等于( ),解析 令n1，2，3，逐一验证四个选项，易得D正确. 答案 D,考点一 由数列的前几项求数列的通项,【例1】 (1)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ),规律方法 由前几项归纳数列通项的常用方
5、法及具体策略 (1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法. (2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用(1)k或(1)k1，kN+处理.,【训练1】 写出下列各数列的一个通项公式：,考点二 由an与Sn的关系求通项 易错警示,【例2】 (1)(2019南昌质检)已知Sn为数列an的前n项和，且log2(Sn1)n1，则数列an的通项公式为_. (2)(2018全
6、国卷)记Sn为数列an的前n项和.若Sn2an1，则S6_.,解析 (1)由log2(Sn1)n1，得Sn12n1， 当n1时，a1S13； 当n2时，anSnSn12n，,(2)由Sn2an1，得a12a11，所以a11. 当n2时，anSnSn12an1(2an11)，得an2an1. 数列an是首项为1，公比为2的等比数列.,【训练2】 (1)已知数列an的前n项和Sn2n23n，则数列an的通项公式an_. (2)已知数列an的前n项和Sn3n1，则数列的通项公式an_.,解析 (1)a1S1231，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合上式
7、，an4n5.,考点三 由数列的递推关系求通项 易错警示,A.2ln n B.2(n1)ln n C.2nln n D.1nln n (2)若a11，nan1(n1)an(n2)，则数列an的通项公式an_. (3)若a11，an12an3，则通项公式an_.,所以a2a1ln 2ln 1， a3a2ln 3ln 2， a4a3ln 4ln 3， anan1ln nln(n1)(n2). 把以上各式分别相加得ana1ln nln 1， 则an2ln n，且a12也适合， 因此an2ln n(nN+).,【训练3】 (1)(2019山东、湖北部分重点中学联考)已知数列an的前n项和为Sn，若a1
8、2，an1an2n11，则an_. (2)若a11，an12nan，则通项公式an_.,解析 (1)a12，an1an2n11an1an2n11an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1，,考点四 数列的性质,规律方法 1.在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性. 2.(1)研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而利用周期性求值.(2)数列的单调性只需判定an与an1的大小，常用比差或比商法进行判断.,【训练4】 (1)已知数列an满足a11，an1a2an1(nN+)，则a2 020_. (2)若ann2kn4且对于nN+，都有an1an成立
9、，则实数k的取值范围是_.,a2(a11)20，a3(a21)21，a4(a31)20，可知数列an是以2为周期的数列，a2 020a20. (2)由an1an知该数列是一个递增数列， 又通项公式ann2kn4，所以(n1)2k(n1)4n2kn4，即k12n. 又nN+，所以k3. 答案 (1)0 (2)(3，),思维升华 1.数列是特殊的函数，要利用函数的观点认识数列. 2.已知递推关系求通项公式的三种常见方法： (1)算出前几项，再归纳、猜想. (2)形如“an1panq”这种形式通常转化为an1p(an)，由待定系数法求出，再化为等比数列.,易错防范 1.解决数列问题应注意三点 (1)在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值是正整数. (2)数列的通项公式不一定唯一. (3)注意anSnSn1中需n2. 2.数列an中，若an最大，则anan1且anan1； 若an最小，则anan1且anan1.,
