1、教材链接高考等比(差)数列的判定与证明,教材探究1.(引自人教A版必修5P50例2)根据图2.42中的框图(图略，教材中的图)，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗？ 2.(引自人教A版必修5P69B6)已知数列an中，a15，a22，且an2an13an2(n3).对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？,(2)题目以递推形式给出数列，构造数列模型bnanan1(n2)，cnan3an1 (n2)，利用等比数列定义不难得到bn，cn是等比数列，进而求出数列an的通项公式. 两题均从递推关系入手，考查等比数列的判定和通项公式的求解，突显数学运算与逻辑
2、推理等数学核心素养.,【教材拓展】 (2019郑州模拟)已知数列an满足a15，a25，an1an6an1(n2).,(1)求证：an12an是等比数列； (2)求数列an的通项公式.,(1)证明 因为an1an6an1(n2)， 所以an12an3an6an13(an2an1)(n2). 因为a15，a25， 所以a22a115， 所以an2an10(n2)， 所以数列an12an是以15为首项，3为公比的等比数列.,(2)解 由(1)得an12an153n153n， 则an12an53n， 所以an13n12(an3n). 又因为a132，所以an3n0， 所以an3n是以2为首项，2为公
3、比的等比数列. 所以an3n2(2)n1， 故an2(2)n13n.,(1)求b1，b2，b3； (2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由； (3)求an的通项公式.,探究提高 数列递推式是数列命题常见类型，解题的关键是通过适当的变形，转化成特殊数列问题.,将n1代入得，a24a1，而a11，所以a24. 将n2代入得，a33a2，所以a312. 从而b11，b22，b34. (2)bn是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下：,教你如何审题等差与等比数列的综合问题 【例题】 (2018天津卷)设an是等差数列，其前n项和为Sn(nN+)；bn是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(nN
4、+).已知b11，b3b22，b4a3a5，b5a42a6.,(1)求Sn和Tn； (2)若Sn(T1T2Tn)an4bn，求正整数n的值.,审题路线,自主解答 解 (1)设等比数列bn的公比为q(q0). 由b11，b3b22，可得q2q20. 因为q0，可得q2，故bn2n1.,设等差数列an的公差为d. 由b4a3a5，可得a13d4. 由b5a42a6，可得3a113d16，从而a11，d1，,(2)由(1)，有,由Sn(T1T2Tn)an4bn,整理得n23n40，解得n1(舍)，或n4. 所以n的值为4.,探究提高 1.本题主要考查等差、等比数列通项公式与前n项和公式计算，突出方程
5、思想和数学运算等核心素养，准确计算是求解的关键. 2.利用等差(比)数列的通项公式及前n项和公式列方程(组)求出等差(比)数列的首项和公差(比)，进而写出所求数列的通项公式及前n项和公式，这是求解等差数列或等比数列问题的常用方法. 3.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化.,【尝试训练】 (2017全国卷)已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，a11，b11，a2b22.,(1)若a3b35，求bn的通项公式； (2)若T321，求S3.,解 设an的公差为d，bn的公比为q，则an1(n1)d，bnq
6、n1. 由a2b22得dq3. (1)由a3b35得2dq26.,(2)由b11，T321得q2q200.解得q5或q4. 当q5时，由得d8，则S321.当q4时，由得d1，则S36.,满分答题示范数列的通项与求和 【例题】 (12分)(2017全国卷)设数列an满足a13a2(2n1)an2n.,(1)求an的通项公式；,规范解答,高考状元满分心得 得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，由an满足的关系式，通过消项求得an，验证n1时成立，写出结果.在第(2)问中观察数列的结构特征进行裂项利用裂项相消法求得数列的前n项和Sn. 得关键分：(1)an1满足的关系式，(
7、2)验证n1，(3)对通项裂项都是不可少的过程，有则给分，无则没分. 得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点2)，(得分点5)，(得分点7).,构建模板,【规范训练】 (2019芜湖调研)已知数列an是等比数列，a24，a32是a2和a4的等差中项.,(1)求数列an的通项公式； (2)设bn2log2an1，求数列anbn的前n项和Tn.,解 (1)设数列an的公比为q， 因为a24，所以a34q，a44q2. 因为a32是a2和a4的等差中项， 所以2(a32)a2a4. 即2(4q2)44q2，化简得q22q0. 因为公比q0，所以q2. 所以ana2qn242n22n(nN+).,(2)因为an2n，所以bn2log2an12n1， 所以anbn(2n1)2n， 则Tn12322523(2n3)2n1(2n1)2n， 2Tn122323524(2n3)2n(2n1)2n1. 由得， Tn222222322n(2n1)2n1,所以Tn6(2n3)2n1.,
