1、 第三章 一元一次方程3.4 实际问题与一元一次方程 相遇问题：相遇问题：甲走的路程甲走的路程+乙走的路程乙走的路程=甲乙两出发地的路程甲乙两出发地的路程练练1 1：甲乙两地相距：甲乙两地相距230230千米千米,一辆卡车和一辆客一辆卡车和一辆客车分别以车分别以5050千米千米/小时小时和和4040千米千米/小时小时的速度从两的速度从两地出发地出发,相向而行相向而行,若卡车早出发若卡车早出发1 1小时小时,则问客车则问客车出发后几小时两车相遇出发后几小时两车相遇?卡车后行卡车后行230230千米千米客车行的路程客车行的路程甲甲乙乙卡车先行卡车先行相遇相遇卡车先行的卡车先行的S+S+后行的后行的
2、S+S+客车行驶的客车行驶的S=230S=230千米千米解：设客车解：设客车出发后出发后 小时两车相遇。小时两车相遇。x230405050 xx2x答：客车出发后答：客车出发后2 2小时两车相遇。小时两车相遇。练练1 1：甲乙两地相距：甲乙两地相距230230千米千米,一辆卡车和一辆客一辆卡车和一辆客车分别以车分别以5050千米千米/小时小时和和4040千米千米/小时小时的速度从两的速度从两地出发地出发,相向而行相向而行,若卡车早出发若卡车早出发1 1小时小时,则问卡车则问卡车出发后几小时两车相遇出发后几小时两车相遇?卡车后行卡车后行230230千米千米客车行的路程客车行的路程甲甲乙乙卡车先行
3、卡车先行相遇相遇卡车行的卡车行的S+S+客车行驶的客车行驶的S=230S=230千米千米解：设卡车解：设卡车出发后出发后 小时两车相遇。小时两车相遇。x答：卡车出发后答：卡车出发后3 3小时两车相遇。小时两车相遇。50 x+40(x-1)=230X=3 追及问题：追及问题：快跑路程快跑路程AC=慢跑路程慢跑路程BC+相距路程相距路程AB 练练2 2甲乙两人同时从同一地点去商店，甲每分甲乙两人同时从同一地点去商店，甲每分行走行走200200米，米，并且先出发并且先出发2020分分。乙每分行走。乙每分行走300300米，两人同时到达。乙用多少时间？距离商店米，两人同时到达。乙用多少时间？距离商店有
4、多远？有多远？解：设乙用解：设乙用 分，则分，则xxx300200400040 x答：乙用答：乙用4040分钟，距离商店分钟，距离商店1200012000米？米？)(1200030040米出发出发点点商店商店300 x 300 x 米米40004000米米200 x 200 x 米米练练2 2：甲乙两人同时从同一地点去商店，甲每分甲乙两人同时从同一地点去商店，甲每分行走行走200200米，并且先出发米，并且先出发2020分。乙每分行走分。乙每分行走300300米，两人同时到达。米，两人同时到达。甲用多少时间？距离商店甲用多少时间？距离商店有多远？有多远？出发出发点点商店商店乙走（乙走（x-20
5、)x-20)分分甲先走甲先走2020分钟分钟甲后走（甲后走（x-20)x-20)分分解设甲用了X分200 x=300（x-20)X=60答：甲用答：甲用6060分钟，距离商店分钟，距离商店1200012000米？米？某人计划骑车以每小时某人计划骑车以每小时12千米的速度由千米的速度由A地到地到B地，这样便可在规定的时间到达地，这样便可在规定的时间到达B地，但他地，但他因事将原计划的时间推迟了因事将原计划的时间推迟了20分，便只好以分，便只好以每小时每小时15千米的速度前进，结果比规定时间千米的速度前进，结果比规定时间早早4分钟到达分钟到达B地，求地，求A、B两地间的距离。两地间的距离。设由A地
6、到B地规定的时间是 x 小时604602015x12x方法二：设由A、B两地的距离是 x 千米60460201512xx甲、乙两人同时从甲、乙两人同时从A地前往相距地前往相距25.5千米的千米的B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的乙的速度的2倍还快倍还快2千米千米/时，甲先到达时，甲先到达B地后，立即由地后，立即由B地返回，在途中遇到乙，地返回，在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了这时距他们出发时已过了3小时。求两人的小时。求两人的速度。速度。解：设乙的速度是 x 千米/时，则 3x3(2x2)25.52 航行问题：航行问题：飞机的飞行飞机的飞行 顺
7、风飞行顺风飞行 逆风飞行逆风飞行 轮船的航行：轮船的航行：顺水航行顺水航行 逆水航行逆水航行速度关系：速度关系：逆水速度船在静水中的速度水速逆水速度船在静水中的速度水速顺水速度船在静水中的速度水速顺水速度船在静水中的速度水速逆风速度在无风中的速度风速逆风速度在无风中的速度风速顺风速度在无风中的速度风速顺风速度在无风中的速度风速例例1:一条船在两个码头之间航行。一条船在两个码头之间航行。顺水顺水时时需要需要4.5小时，小时，逆水逆水返回需要返回需要5小时小时20分钟，分钟，水流水流速度是速度是1千米千米/时，这两个码头相距多少时，这两个码头相距多少千米？千米？一轮船往返于甲乙两码头，顺水航行一轮
8、船往返于甲乙两码头，顺水航行需要需要3小时，逆水航行比顺水航行多小时，逆水航行比顺水航行多45分钟。若轮船在静水中的速度为每分钟。若轮船在静水中的速度为每小时小时24千米，求水流速度。千米，求水流速度。例例2.一小船由一小船由A顺流到顺流到B需行驶需行驶6小时，由小时，由B逆流逆流到到A需行驶需行驶8小时，一天，小船由小时，一天，小船由A顺流顺流到达到达B发现一发现一救生圈中途落水，立即返回，救生圈中途落水，立即返回，1小时后找到救生圈，小时后找到救生圈，若水流速度是若水流速度是2千米千米/时。时。（1）小船在静水中的速度是多少？）小船在静水中的速度是多少？（2）救生圈是何时掉入水中的？）救生
9、圈是何时掉入水中的？某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返行到C码头，共行20小时，已知船在静水中的速度为7.5千米/时，水流的速度为2.5千米/时，若A与C的距离比A与B的距离短40千米，求A与B的距离。解：设A与B的距离是x千米 当C在BA的延长线上时 解得x120解得x56答：A与B的距离是120千米或56千米。当C在A、B之间时乙乙甲甲乙乙甲甲环形背向相遇问题环形背向相遇问题环形同向相遇问题环形同向相遇问题例例3 甲、乙两人在甲、乙两人在400米的环形跑道上散步，米的环形跑道上散步，甲每分钟走甲每分钟走110米，乙每分钟走米，乙每分钟走90米，两人同时米，两人同时从一个地点出发，几分
10、钟后两人第一次相遇？从一个地点出发，几分钟后两人第一次相遇？分析：在环形跑道上运动，分两种情况：分析：在环形跑道上运动，分两种情况：乙乙甲甲环形背向相遇问题环形背向相遇问题环形同向相遇问题环形同向相遇问题乙乙甲甲已知：已知：V甲甲V乙乙图一所示实为图一所示实为 问题问题相遇相遇图二所示实为图二所示实为 问题问题追击追击甲乙程和甲乙程和=周长周长快的路程快的路程-慢的路程慢的路程=周长周长第10次相遇呢？总结：在环形跑道上运动，分两种情况：总结：在环形跑道上运动，分两种情况：甲的行程乙的行程甲的行程乙的行程=跑道的周长跑道的周长（2）同向而行：）同向而行：甲的行程乙的行程甲的行程乙的行程=跑道的
11、周长跑道的周长 想一想想一想 若把上题中的若把上题中的“第一次第一次”相遇改为相遇改为“第二第二次次”相遇需要时间又是多少呢？若改为相遇需要时间又是多少呢？若改为“第第n次次”相遇呢？相遇呢？（1）背向而行：）背向而行：甲、乙两人在甲、乙两人在6千米的环形跑道上千米的环形跑道上竞走，甲的速度是乙的速度竞走，甲的速度是乙的速度7/5倍，从同一倍，从同一地出发同向而行，经地出发同向而行，经35分钟后，他们第一分钟后，他们第一次相遇。问甲、乙两人的速度是多少？次相遇。问甲、乙两人的速度是多少？分析：在环形跑道上运动，相向而行，分析：在环形跑道上运动，相向而行，第一次相遇时，速度快者比速度慢者第一次相
12、遇时，速度快者比速度慢者恰好多走了一圈。恰好多走了一圈。例例4:在钟表面上两点到三点之间，什么在钟表面上两点到三点之间，什么 时候分针和时针重合？时候分针和时针重合？分析：用追及问题来解决来问题。分析：用追及问题来解决来问题。31212654分针走的度数时针时针走的=差距6x-0.5x=60解：设分针与时针重合需要x分5.5x=6011120 x分时分针与时针重合。点在答111202;练习：练习：在在3点钟和点钟和4点钟之间，钟表上的点钟之间，钟表上的 时针和分针什么时间重合？时针和分针什么时间重合？31212654分针走的度数时针时针走的=差距6x-0.5x=90解：设分针与时针重合需要x分
13、5.5x=9011180 x分时分针与时针重合。点在答11603;措车问题：措车问题：游行队伍在大街上以每小时游行队伍在大街上以每小时3千米的速度前进，一个骑千米的速度前进，一个骑自行车的人以每小时自行车的人以每小时15千米的速度向游行队伍迎面驶来，千米的速度向游行队伍迎面驶来，他从队头骑到队尾用去他从队头骑到队尾用去2分钟，求游行队伍的长度。分钟，求游行队伍的长度。米千米6006.030118602156023算术法：算术法：人走路程人走路程+队伍走的路程队伍走的路程=队伍的长队伍的长措车问题：游行队伍在大街上以每小时游行队伍在大街上以每小时3千米的速度前进，一个骑自千米的速度前进，一个骑自
14、行车的人以每小时行车的人以每小时15千米的速度向游行队伍迎面驶来，游行千米的速度向游行队伍迎面驶来，游行队伍的长度为队伍的长度为600米，求他从队头骑到队尾用的时间？米，求他从队头骑到队尾用的时间？同向措车问题：长为长为600米的米的游行队伍在大街上以每小时游行队伍在大街上以每小时3千米千米的速度前进，第二队伍以每小时的速度前进，第二队伍以每小时15千米的速度同向千米的速度同向来行驶，来行驶，该游行队伍的长度为该游行队伍的长度为300米米，求第二队从队，求第二队从队头接触到队尾离开所用的时间？头接触到队尾离开所用的时间？两个车身的长度慢车的路程程同向而行时：快车的路相向措车问题：长为长为600
15、米的米的游行队伍在大街上以每小时游行队伍在大街上以每小时3千米千米的速度前进，第二队伍以每小时的速度前进，第二队伍以每小时15千米的速度迎面千米的速度迎面行驶，行驶，该游行队伍的长度为该游行队伍的长度为300米米，求两队从队头接，求两队从队头接触到队尾离开所用的时间？触到队尾离开所用的时间？两个车身的长度程和相向而行时：两车的路 与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时的人同时向南行进。行人的速度是每小时3.6km3.6km，骑自，骑自行车的人的速度是每小时行车的人的速度是每小时10.8km10.8km。如果一列火车从
16、他们。如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是背后开来，它通过行人的时间是2222秒，通过骑自行车的秒，通过骑自行车的人的时间是人的时间是2626秒。秒。行人的速度为每秒多少米？行人的速度为每秒多少米？这列火车的车长是多少米这列火车的车长是多少米？等量关系：两种情形下火车的速度相等 两种情形下火车的车长相等在时间已知的情况下，设速度列路程等式的方程，设路程列速度等式的方程。解：行人的速度是：3.6km/时3600米3600秒1米/秒 骑自行车的人的速度是：10.8km/时10800米3600秒3米/秒 方法一：设火车的速度是x米/秒，则 26(x3)22(x1)解得x4 方法二：设火车的
17、车长是x米，则 工程问题工程问题工程问题中的数量关系：工程问题中的数量关系：1）工作效率工作效率=工作总量工作总量 完成工作总量的时间完成工作总量的时间2）工作总量）工作总量=工作效率工作效率工作时间工作时间3）工作时间）工作时间=工作总量工作总量 工作效率工作效率 4）各队合作工作效率）各队合作工作效率=各队工作效率之和各队工作效率之和5）全部工作量之和）全部工作量之和=各队工作量之和各队工作量之和例例 修筑一条公路，甲工程队单独承包要修筑一条公路，甲工程队单独承包要80天完成，乙工程队单天完成，乙工程队单独承包要独承包要120天完成天完成1）现在由两个工程队合作承包，几天可以完成？）现在由
18、两个工程队合作承包，几天可以完成？2）如果甲、乙两工程队合作了）如果甲、乙两工程队合作了30天后，因甲工作队另有任务，天后，因甲工作队另有任务，剩下工作由乙工作队完成，则修好这条公路共需要几天？剩下工作由乙工作队完成，则修好这条公路共需要几天？解：解：1）设两工程队合作需要）设两工程队合作需要x天完成。天完成。2）设修好这条公路共需要）设修好这条公路共需要 y 天完成。天完成。等量关系：等量关系：甲甲30天工作量天工作量+乙队乙队y天的工作量天的工作量=1答：两工程队合作需要答：两工程队合作需要48天完成，修好这条公路还需天完成，修好这条公路还需75天。天。等量关系：甲工作量等量关系：甲工作量
19、+乙工作量乙工作量=1依题意得依题意得11180120 xx 依题意得依题意得1130180120yy=75x=48 一件工作，甲独做一件工作，甲独做1515天完成，乙独做天完成，乙独做3030天完天完成，甲先做成，甲先做5 5天之后乙又做了天之后乙又做了1010天，剩余工作由甲、天，剩余工作由甲、乙二人合作完成，需几天？乙二人合作完成，需几天？某工厂计划某工厂计划26小时生产一批零件，后因每小小时生产一批零件，后因每小时多生产时多生产5件，用件，用24小时，不但完成了任务，而小时，不但完成了任务，而且还比原计划多生产了且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多件，问原计划生产多少零件？少零件
20、？利息问题利息问题例例：小明的爸爸前年存了年利率为：小明的爸爸前年存了年利率为2.43%的两年期定期储蓄。今的两年期定期储蓄。今 年到期后，扣除利息税年到期后，扣除利息税20%，所得利息正好为小明买了一个价值，所得利息正好为小明买了一个价值48.6元的计算器，问小明爸爸前年存了多少钱？元的计算器，问小明爸爸前年存了多少钱？解：设小明爸爸前年存了解：设小明爸爸前年存了x元。元。依题意得：依题意得：2 2.43%x（1 20%）=48.6 x=1250答：小明爸爸前年存了答：小明爸爸前年存了1250元钱元钱等量关系：利息利息税等量关系：利息利息税=应得利息应得利息利息利息=本金本金 年利率年利率
21、期数期数利息税利息税=本金本金 年利率年利率 期数期数税率（税率（20%）利息问题利息问题 练习练习：某公司存入银行甲、乙两种不同性质的存款共：某公司存入银行甲、乙两种不同性质的存款共20万元。万元。甲种存款的年利率为甲种存款的年利率为1.4%，乙种存款的年利率为，乙种存款的年利率为3.7%，该公司，该公司一年共得利息一年共得利息6250元，求甲、乙两种存款各多少元？元，求甲、乙两种存款各多少元？解：设甲种存款为解：设甲种存款为x万元。则乙种存款为（元。则乙种存款为（20-x)万元万元根据题意得：根据题意得：6250732041%.xx%.解方程得：解方程得：x=5 所以所以 20 x=15
22、答：甲种存款为答：甲种存款为5万元，乙种存款为万元，乙种存款为15万元万元调配问题调配问题例例:某部队开展支农活动，甲队某部队开展支农活动，甲队27人，乙队人，乙队19人，现另调人，现另调26人人去支援，使甲队是乙队的去支援，使甲队是乙队的2倍，问应调往甲队、乙队各多少人？倍，问应调往甲队、乙队各多少人？解：解：设调往甲队设调往甲队x人，则调往乙队（人，则调往乙队（26-x)人人根据题意，得方程：根据题意，得方程：xx 2619227解方程得：解方程得：x=21答：调往甲队答：调往甲队21人。调往乙队人。调往乙队5人。人。甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人
23、数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。配套问题配套问题 等量关系式：生产出来的两种产品总量成比例 例：包装厂有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片，或长方形铁片80片，将两张圆形铁片与和一张长方形铁片可配套成一个密封圆桶，问如何安排工人生产圆形或长方形铁片能合理地将铁片配套？某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）？机械厂加工车间有机械厂加工车间有8585名工人，平均每人每天名工人，平均每人每天加工
24、大齿轮加工大齿轮1616个或小齿轮个或小齿轮1010个，已知个，已知2 2个大个大齿轮与齿轮与3 3个小齿轮配成一套，问需分别安排个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？工的大小齿轮刚好配套？日历数字问题日历数字问题 例例1：日历中：日历中22方块的四个数的和是方块的四个数的和是72，求这四个数。，求这四个数。解：设四个数中最小的数为解：设四个数中最小的数为x,解方程，得：解方程，得：x=14 答：这四个数分别为答：这四个数分别为14，15，21，22。例例2：一个两位数，个位数字与十位数字的和是：一个两位
25、数，个位数字与十位数字的和是11，若，若交换十位数字与个位数字的位置，则新数比原数小交换十位数字与个位数字的位置，则新数比原数小9，求原两位数。求原两位数。72871 xxxx练习练习1、一个两位数，十位数与个位上的数字之和为、一个两位数，十位数与个位上的数字之和为11，如果把，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的数比原十位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的数比原来的数大来的数大63，求原来的两位数？，求原来的两位数？2、一个两位数，十位上的数比个位上的数小、一个两位数，十位上的数比个位上的数小1，十位上与，十位上与个位上的数字之和为这个数的，求这个两位数？个位上的数字之和为这
26、个数的，求这个两位数？市场经济问题市场经济问题一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为60元，八折出售后，商家所获利润率为40%。问这种鞋的标价是多少元？优惠价是多少？工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？某高校共有某高校共有5 5个大餐厅和个大餐厅和2 2个小餐厅经过测试：同时个小餐厅经过测试：同时开放开放1 1个大餐厅、个
27、大餐厅、2 2个小餐厅，可供个小餐厅，可供16801680名学生就餐；同名学生就餐；同时开放时开放2 2个大餐厅、个大餐厅、1 1个小餐厅，可供个小餐厅，可供22802280名学生就餐名学生就餐（1 1）求）求1 1个大餐厅、个大餐厅、1 1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；个小餐厅分别可供多少名学生就餐；（2 2）若）若7 7个餐厅同时开放，能否供全校的个餐厅同时开放，能否供全校的53005300名学生就名学生就餐？请说明理由餐？请说明理由典型例题典型例题 例1：小明家的灯泡坏了，去商店买，现有两种灯泡可供选择，其中一种是10瓦（即0.01千瓦）的节能灯，售价是60元；另一种是60瓦（即0.0
28、6千瓦）的白炽灯，两种灯的照明效果一样，使用寿命都可以达到3000小时，节能灯售价高，但是较省电；白炽灯售价低，但是用电多，如果电费的单价是0.5元/千瓦时，选哪种灯可以节省费用（灯的售价加电费）？解析：1、问题中的基本等量关系有哪些？（1）总费用=灯的售价+；（2）电费=灯的千瓦数 。2、列式表示费用：设照明时间是t小时，则节能灯的费用=；白炽灯的费用=。3、哪一种灯的费用低呢？用特殊值验证一下。、哪一种灯的费用低呢？用特殊值验证一下。当当t2000时，节能灯的费用时，节能灯的费用=；白炽灯的费用；白炽灯的费用=。当。当t2500时，节能灯的费用时，节能灯的费用=；白炽；白炽灯的费用灯的费用
29、=。4、照明多少小时用这两种灯的费用相等？、照明多少小时用这两种灯的费用相等？5、如果计划照明时间、如果计划照明时间3500小时，则需要购买两个灯，试小时，则需要购买两个灯，试设计你认为能省钱的选灯方案。设计你认为能省钱的选灯方案。练习：练习：1、某牛奶厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元；该工厂的生产能力是：如果制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片，每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不能同时进行；受气温限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕。为此，该厂设计了两种方案，方案一：尽
30、可能多地制成奶片，其余的直接销售鲜奶；方案二：将一部分制成奶片，其余的制成酸奶销售，并恰好4天完成，你认为选择哪种方案获利多呢？解：方案一：尽可能多地做奶片，可做 吨，获利 元。方案二：设x天生产奶片，则 天生产酸奶，列方程得 。解得x=。生产奶片 吨，生产酸奶 吨，共获利 元。（或设x吨鲜奶制成奶片，则其余 吨鲜奶制成酸奶，列方程得 。解得x=。共获利 元。），。2、某市百货商店元月一日搞促销活动，购物不超过200元不给优惠；超过200元，而不足500元按9折优惠；超过500元，其中500元按9折优惠，超过部分按8折优惠，某人两次购物分别用了134元和466元，问：（1）此人两次购物，其所购物品打折前是多少钱？（2）在此活动中，他节省了多少钱？（3）若此人将两次购物的钱合起来购相同的商品，能省 钱吗？说明你的理由。
