1、4.2 比较线段的长短北师大版北师大版 数学数学 七年级七年级（上）（上）第四章 基本平面图形1 1.了解两点间距离的意义，理解了解两点间距离的意义，理解“两点之间，线段两点之间，线段最短最短”的线段性质，并学会运用的线段性质，并学会运用。2 2.会用会用尺规尺规画一条线段等于已知线段，会比较两条画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的线段的长短长短。3.3.理解线段理解线段中点、等分中点、等分点的意义，点的意义，能够运用线段的能够运用线段的和、差、倍、分和、差、倍、分关系求线段的长度关系求线段的长度。学习目标学习目标如何比较两个人的身高？如何比较两个人的身高？我身高我身高1.53米，米，比你
2、高比你高3厘米厘米.我身高我身高1.5米米.导入新知导入新知 看看下面这三幅图片谁高谁矮？你是依据什么判断的下面这三幅图片谁高谁矮？你是依据什么判断的？AFEDBC 如如图：从图：从A地到地到 C 地有四条道路，地有四条道路，哪条路最哪条路最 近？在图上标出近？在图上标出.想一想想一想合作探究合作探究AFEDBC 经过比较，我们可以得到一个关于线段的基本事实：经过比较，我们可以得到一个关于线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短两点之间的所有连线中，线段最短.连接两点间的连接两点间的线段线段的的长度，长度，叫做叫做这两点的距离这两点的距离.你能举出这条性质在生活中的应用吗？你能举出这条性
3、质在生活中的应用吗？这这一事实可以简述：一事实可以简述：两点之间，线段最短两点之间，线段最短.两点之间线段最两点之间线段最短短.如如图，这是图，这是 A，B 两地之间的公路，在公路两地之间的公路，在公路工程工程 改造计划时，为使改造计划时，为使 A，B 两地行程最短，应如何两地行程最短，应如何 设计设计线路？请在图中画出，并说明理由线路？请在图中画出，并说明理由.BA.议一议议一议15如图，平面上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它与四个村庄的距离最小两点之间的距离是指两点之间的直线解：因为D 是线段AB的中
4、点，你能举出这条性质在生活中的应用吗？A D B E C解析：根据已知条件，不妨设BDxcm，则AB3xcm,CD4xcm,易得AC6xcm.11如图，ABAC_AD_；BC2CE6，ABACBC24车站到 A，B 两村庄的距离之和最小，请在图中在直线上画出线段 AB=a，再在 AB 的延长线上画线段BC=b，线段AC 就是 与 的和，记作 AC=.在直线上画出线段 AB=a，再在 AB 的延长线上画线段BC=b，线段AC 就是 与 的和，记作 AC=.已知线段 AB6 cm，延长 AB 到C，使BC2AB，若在由线段中点的定义及线段的和差关系，用含x的代数式表示EF的长，从而得到一个一元一次
5、方程，求解即可.如何比较两个人的身高？2如图，ABCD，则AC与BD的大小关系是()A21cm或4cm B20.即OD为所求作的线段如何比较两个人的身高？求线段的长度时，当题目中涉及到线段长度的比例或倍分关系时，通常可以设未知数，运用方程思想求解.(2)反向延长线段AB到D，使ADAB；你能举出这条性质在生活中的应用吗？所以EFACAECF 把原来弯曲的河道改直，把原来弯曲的河道改直，A，B 两地间的河道长两地间的河道长 度度有什么变化？有什么变化？ABA，B 两地间的河道两地间的河道长度变短长度变短.想一想想一想 如图，如图，AB+BC AC，AC+BC AB，AB+AC BC(填填“”“”
6、“”或或“”).”).其中蕴其中蕴含的数学道理是含的数学道理是_._.两点之间线段最两点之间线段最短短.ABC巩固新知巩固新知 在一条笔直的公路两侧，分别有在一条笔直的公路两侧，分别有 A，B 两个村庄，两个村庄，如如图，现在要在公路图，现在要在公路 l 上建一个汽车站上建一个汽车站 C，使汽，使汽 车站车站到到 A，B 两村庄的距离之和最小，请在图中两村庄的距离之和最小，请在图中 画画出汽车站的位置出汽车站的位置.CABl 比较比较下图哪棵下图哪棵树高树高？哪哪支铅支铅笔长笔长？窗框窗框相邻的两条边相邻的两条边哪条边长？你是怎么比较的？哪条边长？你是怎么比较的？如何比较两条线段的长短呢？如何
7、比较两条线段的长短呢？思考思考合作探究合作探究猜想交流猜想交流观察这三组图形，你能比较出每组图形中观察这三组图形，你能比较出每组图形中线段线段 a 和和 b 的长短吗？的长短吗？三组图形中，线段三组图形中，线段a与与b的长度均的长度均相等相等很多时候，眼见未必为实很多时候，眼见未必为实.准确准确比较线段的长短还需要更加严谨比较线段的长短还需要更加严谨的办法的办法.(1)(2)(3)abaabb合作探究合作探究 做做手工时，在没有刻度尺的条件下，若想从较手工时，在没有刻度尺的条件下，若想从较长的木棍上截下一段，长的木棍上截下一段，使截下的木棒等于另一根短使截下的木棒等于另一根短木棒的长，我们常采
8、用以上办法木棒的长，我们常采用以上办法.画画在黑板上的线段是无法移动的，在只有圆规和无刻在黑板上的线段是无法移动的，在只有圆规和无刻度的直尺的情况下，请大家想想办法，如何度的直尺的情况下，请大家想想办法，如何再画一条与它再画一条与它相等的线段？相等的线段？思考思考小提示：小提示：在可打开角度在可打开角度的最大范围内，圆规可的最大范围内，圆规可截取任意长度，相当于截取任意长度，相当于可以移动的可以移动的“小木棍小木棍”.”.你们你们平时是如何比较两个同学的身高的？你能从平时是如何比较两个同学的身高的？你能从比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗？比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗
9、？讨论讨论160cm170cm比较两个同学高矮的方法：比较两个同学高矮的方法：叠合法叠合法.让两个同学站在同一平地上，脚底平齐，观看让两个同学站在同一平地上，脚底平齐，观看 两人的头顶，直接比出高矮两人的头顶，直接比出高矮.用卷尺分别度量出两个同学的身高，将所得的用卷尺分别度量出两个同学的身高，将所得的 数值进行比较数值进行比较.度量法度量法.DCB试比较线段试比较线段AB，CD 的的长短长短.(1)度量法；度量法；(2)叠合法叠合法 将将其中一条线段其中一条线段“移移”到另一条线段上，使其一到另一条线段上，使其一端点与另一线段的一端点端点与另一线段的一端点重合重合，然后观察两条线段另，然后观
10、察两条线段另外两个端点的位置作比较外两个端点的位置作比较.(A)C DA BCD1.若点若点 A 与点与点 C 重合，点重合，点 B 落落在在C，D之间，那么之间，那么 AB CD.(A)B 叠合法叠合法结论：结论：CDABB(A)2.若点若点 A 与点与点 C 重合，点重合，点 B 与与 点点 D ，那么，那么 AB=CD.3.若点若点 A 与点与点 C 重合，点重合，点 B 落在落在 CD 的延长线上，那么的延长线上，那么 AB CD.重合重合BABACD(A)(B)1.为了为了比较线段比较线段AB与与CD的大小，小明将点的大小，小明将点A与点与点C重合使重合使两条线段在一条直线上，结果点
11、两条线段在一条直线上，结果点B在在CD的延长线上，则的延长线上，则()AABCDBABCDCABCD D以上都以上都不对不对0 2.如如图所示，图所示，ABCD，则，则AC与与BD的大小关系是的大小关系是()AACBD BACBD CACBD D无法无法确定确定BCABCD巩固新知巩固新知已知线段已知线段AB,用尺规用尺规作一条线段等于已知线段作一条线段等于已知线段 AB.AB先作一条射线先作一条射线A C；A C 用圆规量取已知用圆规量取已知线线段段AB的的长度长度；在射线上截取在射线上截取A B =AB,线段线段A B 就是就是 所求的所求的线段线段.例合作探究合作探究 在在直线上画出线段
12、直线上画出线段 AB=a，再在，再在 AB 的延长线上画线段的延长线上画线段BC=b，线段，线段AC 就是就是 与与 的的和和，记作，记作 AC=.如果在如果在AB上画线段上画线段 BD=b，那么线段，那么线段 AD 就是就是 与与 的的差差，记作，记作AD=.ABCDa+ba-babb画一画画一画aba+baba-b1.如如图，点图，点B，C在线段在线段 AD 上则上则ABBC _；ADCD _；BC _ _ _ _.ABCDACACACABBDCD2.如如图，已知线段图，已知线段a，b，画一条线段，画一条线段AB，使使AB2ab.abAB2ab2ab巩固新知巩固新知 在在一张纸上画一条线段
13、，折叠纸片，使线段的端一张纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？ABM合作探究合作探究ABM 如如图，点图，点M 把线段把线段 AB 分成相等的两条线段分成相等的两条线段AM 与与BM，点点 M 叫做线段叫做线段AB 的的中点中点.类似类似地，还有线段的三等分点、地，还有线段的三等分点、四等分点等四等分点等.线段的线段的三等分点三等分点线段的线段的四等分点四等分点AaaMBM 是线段是线段AB的中点的中点点点M ,N 是线段是线段AB的三等分点：的三等分点：AM MN NB _ AB(或或 AB _AM _
14、MN _NB)333NMBA例例1 若若 AB 6cm，点，点 C 是线段是线段 AB 的中点，点的中点，点 D是线段是线段 CB 的中点，求：线段的中点，求：线段 AD 的长是多少的长是多少?解解：因为因为C 是线段是线段AB的中点，的中点，因为因为D是是线段线段CB的的中点中点，所以所以 AD AC CD 3 1.5 4.5(cm).A C BD典例精析典例精析1 1 利利用中点求线段的长度用中点求线段的长度CBA 1.如如图，点图，点C 是线段是线段AB 的中点，若的中点，若AB 8 cm，则，则AC cm.4CABCACB巩固新知巩固新知3.如如图，线段图，线段AB 4 cm，BC 6
15、 cm，若点，若点D为线段为线段AB的的中点，点中点，点E为线段为线段 BC 的中点，求线段的中点，求线段 DE 的长的长.A D B E CA D B E C答：答：DE 的长为的长为 5 cm.解解：因为因为D 是线段是线段AB的中点，的中点，因为因为E是线段是线段BC的的中点中点，所以所以 DE DB BE 2 3 5(cm).例例2 如如图，图，B，C是线段是线段AD上两点，且上两点，且AB：BC：CD3：2：5，E，F分别是分别是AB，CD的中点，且的中点，且EF24，求线段，求线段AB，BC，CD的长的长FECBDA解析解析：根据已知条件根据已知条件AB：BC：CD3：2：5，不妨
16、设，不妨设AB3x,BC2x,CD5x,然后运用线段的和差倍分，用含然后运用线段的和差倍分，用含x的的代数式表示代数式表示EF的长，从而得到一个关于的长，从而得到一个关于x的一元一次方程，的一元一次方程，解方程，得到解方程，得到x的值，即可得到所求各线段的长的值，即可得到所求各线段的长.典例精析典例精析2 2 利利用比例或倍分关系求线段的长度用比例或倍分关系求线段的长度合作探究合作探究FECBDA解：解：设设AB3x，BC2x，CD5x，因为因为E，F分别是分别是AB，CD的中点，的中点，因为因为EF24，所以所以6x24,解得解得x4.所以所以AB3x12，BC2x8，CD5x20.所以所以
17、EFBEBCCF6x 求求线段的长度时，当题目中涉及到线段的长度时，当题目中涉及到线段长度的线段长度的比例或倍分关系比例或倍分关系时，通常可以设未知数，运用时，通常可以设未知数，运用方程方程思想思想求解求解.方法点拨方法点拨FEBDCA解析：解析：根据已知条件，不妨设根据已知条件，不妨设BDxcm，则，则AB3xcm,CD4xcm,易得易得AC6xcm.在由线段中点的定义及线段在由线段中点的定义及线段的和差关系，用含的和差关系，用含x的代数式表示的代数式表示EF的长，从而得到一个的长，从而得到一个一元一次方程，求解即可一元一次方程，求解即可.巩固新知巩固新知解：解：设设BDxcm,则则AB3x
18、cm，CD4xcm，AC6xcm，因为因为E，F分别是分别是AB，CD的中点的中点，所以所以AB3x cm12 cm，CD4x cm16 cm.FEBDCA所以所以EFACAECF例例3 A，B，C三点在同一直线上，线段三点在同一直线上，线段AB5cm，BC4cm，那么那么A，C两点的距离是两点的距离是（）（）A1cm B9cm C1cm或或9cm D以上答案都不对以上答案都不对解析：解析：分以下两种情况进行讨论分以下两种情况进行讨论：当当点点C在在AB之间上，故之间上，故ACABBC1cm；当当点点C在在AB的延长线上时，的延长线上时，ACABBC9cmC方法总结：方法总结：无图时求线段的长
19、，应注意无图时求线段的长，应注意分类讨论，分类讨论，一般分以下一般分以下两种情况两种情况：点点在某一线段上在某一线段上；点点在该线段的延长线在该线段的延长线.典例精析典例精析3 3 需需要分类讨论的问题要分类讨论的问题合作探究合作探究已知已知A，B，C三点共线，线段三点共线，线段AB25cm，BC16cm，点，点E，F分别是线段分别是线段AB，BC的中点，则线段的中点，则线段EF的长为（）的长为（）A21cm或或4cm B20.5cmC4.5cm D20.5cm或或4.5cmD巩固新知巩固新知1.下列说法正确的是下列说法正确的是 ()()A.两点间距离的定义是指两点之间的线段两点间距离的定义是
20、指两点之间的线段 B.两点之间的距离是指两点之间的直线两点之间的距离是指两点之间的直线 C.两点之间的距离是指连接两点之间线段的长度两点之间的距离是指连接两点之间线段的长度 D.两点之间的距离是两点之间的直线的长度两点之间的距离是两点之间的直线的长度2.如图，如图，ACDB，则图中另外两条相等的线段为，则图中另外两条相等的线段为_.CA C D B ADBC课堂练习课堂练习3.已知线段已知线段 AB6 cm，延长，延长 AB 到到C，使，使BC2AB，若，若 D为为AB 的中点，则线段的中点，则线段DC 的长为的长为_._.CAD B15 cm4.点点A，B，C在同一条数轴上，其中点在同一条数
21、轴上，其中点A，B表示的数分别表示的数分别是是 -3，1，若，若BC5，则，则AC_9或或1比较比较线段线段的长短的长短线段线段长短的比较长短的比较线段的线段的性质性质线段线段中点的概念中点的概念 度量法度量法叠合法叠合法两两点之间点之间线段最短线段最短尺规作图法尺规作图法把一条线段把一条线段分成相等的两条分成相等的两条线段的点线段的点，叫做线段的中点，叫做线段的中点归纳新知归纳新知1(2020宜昌)如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 两点之间，线段最短课后练习课后练习2如图，ABCD，则AC与BD的大小关
22、系是()AACBD BACBDCACBD D无法确定C3若点B在直线AC上，AB10，BC5，则A，C两点间的距离是()A5 B15C5或15 D不能确定C4如图，延长线段AB到点C，使BC4，若AB8，则线段AC的长是BC的_3倍5如图，点C，D是线段AB上两点，若CB4 cm，DB7 cm，且点D是AC的中点，则AC的长等于()A3 cm B6 cm C11 cm D14 cmBA C 8如图，点C是线段AB上的一点，点M是线段AC的中点，若AB8 cm，BC2 cm，则MC的长是()A2 cm B3 cm C4 cm D6 cmB9已知线段AB2 cm，延长线段AB到点C，使BC3AB，
23、若点M，N分别为AB，AC的中点，则线段MN的长为_3cm1(2020宜昌)如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 两点之间的距离是两点之间的直线的长度AABCDBABCDBC2CE6，ABACBC24试比较线段AB，CD 的长短.例3 A，B，C三点在同一直线上，线段AB5cm，BC4cm，那么A，C两点的距离是（）11如图，ABAC_AD_；两点之间的所有连线中，线段最短.在C，D之间，那么 AB CD.因为D是线段CB的中点，AM MN NB _ ABAM MN NB _ AB先作一条射线A C；CABC
24、D D以上都不对0如图，点B，C在线段 AD 上则ABBC _；12如图，已知C为线段AB的中点，D在线段CB上，若DA6，DB4，则CD_15如图，平面上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它与四个村庄的距离最小12如图，已知C为线段AB的中点，D在线段CB上，若DA6，DB4，则CD_A C D B求线段的长度时，当题目中涉及到线段长度的比例或倍分关系时，通常可以设未知数，运用方程思想求解.经过比较，我们可以得到一个关于线段的基本事实：所以EFBEBCCF10已知线段a，b，c用尺规作线段，使它等于a2bc
25、.解：即OD为所求作的线段 11如图，ABAC_AD_；CD_ACCB_12如图，已知C为线段AB的中点，D在线段CB上，若DA6，DB4，则CD_CBBDADBD1C 14点O，P，Q是平面上的三点，PQ20 cm，OPOQ30 cm，那么下列说法正确的是()AO点在直线PQ外BO点在直线PQ上CO点能在线段PQ上DO点不能在线段PQ上D15如图，平面上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位置，使它与四个村庄的距离最小解：连接AC，BD交于点H，H点即为所求的点，16如图，已知线段AB.(1)延长线段AB到C，使BC
26、AB；(2)反向延长线段AB到D，使ADAB；(3)线段CD与线段AB有何数量关系？解：(1)(2)图略(3)CD3AB18如图，点C是线段AB上任一点，点D是AC的中点，点E是BC的中点，CE的长是3，AD的长是BE的3倍，求AB的长解：AD3BE9，AC2AD18，BC2CE6，ABACBC2419(1)如图，点C在线段AB上，且AC10 cm，BC18 cm，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；(2)若ACa cm，BCb cm，其他条件不变，请用代数式表示MN的长度；(3)若第(1)题“点C在线段AB上”改为“点C在直线AB上”，其他不变，结果会有变化吗？如果有，求出结果再见
