1、第9节 离散型随机变量的均值与方差,最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题,知 识 梳 理,1.离散型随机变量的均值与方差,若离散型随机变量X的分布列为P(Xai)pi(i1，2，r). (1)均值 EX_，EX刻画的是_. (2)方差 DX_为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的_.,a1p1a2p2arpr,X取值的“中心位置”,E(XEX)2,平均偏离程度,2.均值与方差的性质 (1)E(aXb)_. (2)D(aXb)_ (a，b为常数). 3.两点分布与二项分布的均值、方差 (1
2、)若X服从两点分布，则E(X) _ ，D(X) _. (2)若XB(n，p)，则E(X)_，D(X)_.,aE(X)b,a2D(X),p,p(1p),np,np(1p),微点提醒,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)期望值就是算术平均数，与概率无关.( ) (2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.( ) (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.( ) (4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.( ),解析 均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平
3、，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不正确. 答案 (1) (2) (3) (4),2.(选修23P58例1改编)已知X的分布列为,设Y2X3，则E(Y)的值为( ),答案 A,3.(选修23P62A2改编)若随机变量X满足P(Xc)1，其中c为常数，则D(X)的值为_.,解析 P(Xc)1，E(X)c1c， D(X)(cc)210. 答案 0,4.(2018浙江卷)设0p1，随机变量的分布列是,则当p在(0，1)内增大时( ) A.D()减小 B.D()增大 C.D()先减小后增大 D.D()先增大后减小,答案 D,5.(2019合肥检
4、测)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：,若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是_.,解析 E(X)00.410.320.230.11.E(Y)00.310.520.20.9，所以E(Y)E(X)，故乙技术好. 答案 乙,6.(2017全国卷)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)_. 解析 有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中p0.02，n100， 则D(X)np(1p)1000.020.981.96. 答案 1.96,考点一 离散型随机变量的均值与方差,(1
5、)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量(单位：元)，求的分布列与数学期望E()，方差D().,解 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，,(2)由题设甲、乙所付费用之和为，可能取值为0，40，80，120，160，则：,的分布列为,规律方法 (1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算. (2)注意E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)的应用.,解 (1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，,所以，随机变量X的分布列为,(2)设Y表示第
6、一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为,考点二 二项分布的均值与方差 【例2】 (2019吉安一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列.,(1)求a，b，c的值及居民月用水量在22.5内的频数； (2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？(精确到小数点后2位) (3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不
7、超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值.,解 (1)前四组频数成等差数列，,设a0.2d，b0.22d，c0.23d， 0.50.2(0.2d)20.22d0.23d0.131， 解得d0.1，a0.3，b0.4，c0.5.,居民月用水量在22.5内的频率为0.50.50.25. 居民月用水量在22.5内的频数为0.2510025. (2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.70.8， 为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，,(3)将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表居民月用水量， 可知P(A2.5)0.7， 由题意，XB(3，0.7)，,X的分布列为,XB
8、(3，0.7)，E(X)np2.1.,规律方法 二项分布的均值与方差. (1)如果B(n，p)，则用公式E()np；D()np(1p)求解，可大大减少计算量. (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(ab)aE()b以及E()np求出E(ab)，同样还可求出D(ab).,【训练2】 (2019湘潭三模)某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：,(1)若购进这批生蚝500 kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)； (2)以频率视为概率，若在本次购买的
9、生蚝中随机挑选4个，记质量在5，25)间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望.,解 (1)由表中的数据可以估算一只生蚝的质量为,所以购进500 kg生蚝，其数量为500 00028.517 544(只).,由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，,X的分布列为,考点三 均值与方差在决策问题中的应用 【例3】 某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：,解 若按“项目一”投资，设获利为X1万元.则X1的分布列为,若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的分布列为：,所以E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)， 这说明虽然项目一、项目二获利
10、相等，但项目一更稳妥. 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.,规律方法 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.,【训练3】 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入
11、流量相互独立.,(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；,(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：,若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？,由二项分布，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为,(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元). 安装1台发电机的情形. 由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1， 对应的年利润Y5 000，E(Y)5 00015 000.,安装2台发电
12、机的情形. 依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40X80)p10.2；当X80时，两台发电机运行，此时Y5 000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如下：,所以，E(Y)4 2000.210 0000.88 840. 安装3台发电机的情形. 依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40X80)p10.2；,当80X120时，两台发电机运行，此时Y5 00028009 200， 因此P(Y9 200)P(80X120)
13、p20.7； 当X120时，三台发电机运行，此时Y5 000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.因此得Y的分布列如下：,所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.,思维升华 1.掌握下述均值与方差有关性质，会给解题带来方便： (1)E(aXb)aE(X)b，E(XY)E(X)E(Y)，D(aXb)a2D(X)； (2)若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p). 2.基本方法 (1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解； (2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数YaXb的均值、方差和标准差，可直接用均值、方差的性质求解； (3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解.,易错防范 1.在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式. 2.对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差.,
