1、第1节 归纳与类比,最新考纲 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.,知 识 梳 理,1.合情推理,部分,整体,特殊,特殊,部分事物,每一个,某些类似的特征,一类对象,另一类对象,2.演绎推理,(1)定义：演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.简言之，演绎推理是由一般到_的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： 大前提已知的一般原理； 小前提所研究的特殊情况； 结论根
2、据一般原理，对特殊情况作出的判断.,特殊,微点提醒,1.合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明. 2.在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误. 3.应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的.若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.(
3、 ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( ) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.( ),解析 (1)类比推理的结论不一定正确. (3)平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适. (4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确. 答案 (1) (2) (3) (4),2.(选修2-2P7习题1-1T2改编)数列2，5，11，20，x，中的x等于_. 解析 由523，1156，20119，推出x2012，故x32. 答案 32,3.(选修2-2P7练习1改编)将正整数1，2，3，4，按如图所示的方式
4、排成三角形数组，则第10行左数第10个数为_.,解析 由三角形数组可推断出，第n行共有2n1个数，且最后一个数为n2，所以第10行共19个数，最后一个数为100，左数第10个数是91. 答案 91,4.(2019淄博一模)有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f(x0)0，则xx0是函数f(x)的极值点，因为f(x)x3在x0处的导数值为0，所以x0是f(x)x3的极值点，以上推理( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确 解析 大前提是“对于可导函数f(x)，若f(x0)0，则xx0是函数f(x)的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f(x)，如
5、果f(x0)0，且满足在x0附近左右两侧导函数值异号，那么xx0才是函数f(x)的极值点，所以大前提错误.故选A. 答案 A,5.(2019西安二模)对于任意正整数n，2n与n2的大小关系为( ) A.当n2时，2nn2 B.当n3时，2nn2 C.当n4时，2nn2 D.当n5时，2nn2 解析 当n2时，2nn2；当n3时，2nn2；归纳判断，当n4时，2nn2.故选C. 答案 C,6.(2018大连模拟)在等差数列an中，若a100，则有a1a2ana1a2a19n(n19，且nN*)成立.类比上述性质，在等比数列bn中，若b91，则存在的等式为_.,解析 根据类比推理的特点可知：等比数
6、列和等差数列类比，在等差数列中是和，在等比数列中是积，故有b1b2bnb1b2b17n(n17，且nN+). 答案 b1b2bnb1b2b17n(n17，且nN+),考点一 归纳推理 多维探究 角度1 与图形变化有关的推理,【例11】 (2018石家庄模拟)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为_.,解析 由211，312，523知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55. 答案 55,角度2 与数字或式子有关的推理 【例12】 (2019安阳一模)如图，将平面
7、直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1，0)处标1，点(1，1)处标2，点(0，1)处标3，点(1，1)处标4，点(1，0)处标5，点(1，1)处标6，点(0，1)处标7，以此类推，则标2 0192的格点的坐标为( ),A.(1 010，1 009) B.(1 009，1 008) C.(2 019，2 018) D.(2 018，2 017),解析 点(1，0)处标1，即12；点(2，1)处标9，即32；点(3，2)处标25，即52；，由此推断点(n1，n)处标(2n1)2，当2n12 019时，n1 009，故标2 0192的格点的坐标为(1
8、010，1 009).故选A. 答案 A,规律方法 归纳推理问题的常见类型及解题策略,【训练1】 (1)如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18根火柴，则第2 018个图形用的火柴根数为( ),A.2 0142 017 B.2 0152 016 C.3 0242 018 D.3 0272 019,(2)对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式： 2213；32135；421357；2335；337911；4313151719. 根据上述分解规律，则5213579，若m3(mN*)的分解中最小的数是73，则m的值
9、为_.,解析 (1)由题意，第1个图形需要火柴的根数为31； 第2个图形需要火柴的根数为3(12)； 第3个图形需要火柴的根数为3(123)； 由此，可以推出第n个图形需要火柴的根数为3(123n). 所以第2 018个图形所需火柴的根数为,(2)根据2335，337911，4313151719，从23起，m3的分解规律恰为数列3，5，7，9中若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故m3的首个数为m2m1.因为m3(mN*)的分解中最小的数是73，所以m2m173，解得m9. 答案 (1)D (2)9,考点二 类比推理,规律方法 1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析
10、、联想进行类比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键. 2.类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.,考点三 演绎推理 多维探究 角度1 与逻辑推理有关的问题 【例31】 (1)(2018南昌一模)甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委大，甲与体委的年龄不同，体委比乙的年龄小.据此推断班长是_. (2)2019年夏季大美青海又迎来了旅游热，甲、乙、丙三位游客被询问是否去过陆心之海青海湖，海北百里油菜花海，茶卡天空之境三个地方时， 甲说：我去过的地方比乙多
11、，但没去过海北百里油菜花海； 乙说：我没去过茶卡天空之境； 丙说：我们三人去过同一个地方. 由此可判断乙去过的地方为_.,解析 (1)根据“甲与体委的年龄不同，体委比乙的年龄小”可得丙是体委； 根据“丙的年龄比学委大，体委比乙的年龄小”可得乙的年龄丙的年龄学习委员的年龄，由此可得，乙不是学习委员，那么乙是班长. (2)由乙说：我没去过茶卡天空之境，可知乙可能去过陆心之海青海湖和海北百里油菜花海两个地方， 但甲说：我去过的地方比乙多，但没去过海北百里油菜花海，则甲去过陆心之海青海湖和茶卡天空之境两个地方，乙只去过陆心之海青海湖和海北百里油菜花海中的一个地方， 再由丙说：我们三人去过同一地方， 可
12、推知乙去过的地方为陆心之海青海湖. 答案 (1)乙 (2)陆心之海青海湖,角度2 与证明有关的问题,(大前提是等比数列的定义，这里省略了),又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提) 对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论) (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件),规律方法 解决逻辑推理问题的两种方法： (1)假设反证法：先假设题中给出的某种情况是正确的，并以此为起点进行推理.如果推理导致矛盾，则证明此假设是错误的，再重新提出一个假设继续推理，直到得到符合要求的结论为止. (2)枚举筛选法：即不重复、不遗漏地将问题中的有限情况一一枚举，然后对各种情况逐个检验，
13、排除一些不可能的情况，逐步归纳梳理，找到正确答案.,【训练3】 (1)(2017全国卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则( ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩,(2)学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品的获奖情况预测如下： 甲说：“C或D作品获得一等奖”； 乙说：“
14、B作品获得一等奖”； 丙说：“A，D两项作品均未获得一等奖”； 丁说：“C作品获得一等奖”. 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_.,解析 (1)由甲说不知道自己成绩且看过乙和丙的成绩，可推出乙和丙一优一良，又因为乙看过丙的成绩，所以乙可以推测出自己的成绩.因为已经推出乙和丙一优一良，所以甲和丁也是一优一良，并且条件已给出丁看过甲的成绩，所以丁也可以推出自己的成绩，故选D. (2)若A获得一等奖，则甲，乙，丙，丁的说法均错误，故不满足题意； 若B获得一等奖，则乙，丙的说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意； 若C获得一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意； 若D获得一等奖，则只有甲的说法正确，故不满足题意. 故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B. 答案 (1)D (2)B,思维升华 1.合情推理的过程概括为,2.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.,易错防范 1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明. 2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性. 3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.,
