1、第2课时 不等式的证明,最新考纲 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法,知 识 梳 理,1.基本不等式,2ab,ab,ab,abc,2.不等式的证明方法,(1)比较法 作差法(a，bR)：ab0_；ab0ab；ab0ab.,(2)综合法与分析法 综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的_、_而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导果法. 分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的_，所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法.,ab,推
2、理,论证,充分条件,微点提醒,1.作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系. 2.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的数学问题成立. 3.利用基本不等式证明不等式或求最值时，要注意变形配凑常数.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.( ) (2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论.( ) (3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结
3、论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.( ) (4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用.( ),解析 (1)作商比较法是商与1的大小比较 (3)分析法是从结论出发，寻找结论成立的充分条件 (4)应用反证法时，“反设”可以作为推理的条件应用 答案 (1) (2) (3) (4),2.(选修45P23习题2.1T1改编)已知ab0，M2a3b3，N2ab2a2b，则M，N的大小关系为_. 解析 2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab) (ab)(ab)(2ab) 因为ab0，所以ab0，ab0，2ab0，
4、 从而(ab)(ab)(2ab)0，故2a3b32ab2a2b. 答案 MN,答案 9,答案 C,5.(2017全国卷)已知a0，b0，且a3b32.证明：,(1)(ab)(a5b5)4； (2)ab2.,证明 (1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4) 4ab(a4b42a2b2)4ab(a2b2)24.,所以(ab)38，因此ab2.,考点一 比较法证明不等式,规律方法 比较法证明不等式的方法与步骤 1作差比较法：作差、变形、判号、下结论 2作商比较法：作商、变形、判断、下结论 提醒 (1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差
5、比较法 (2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法,【训练1】 (1)(2019锦州模拟)设不等式|2x1|1的解集为M. 求集合M； 若a，bM，试比较ab1与ab的大小.,(1)解 由|2x1|1得12x11， 解得0x1.所以Mx|0x1. 由和a，bM可知0a1，0b1， 所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0. 故ab1ab.,考点二 综合法证明不等式 【例2】 (1)已知a，b，cR，且它们互不相等，求证a4b4c4a2b2b2c2c2a2；,证明 (1)a4b42a2b2，b4c42b2c2，a4c42a2c2， 2(a4b4c4)2(a2b2b2c
6、2c2a2)， 即a4b4c4a2b2b2c2c2a2. 又a，b，c互不相等， a4b4c4a2b2b2c2c2a2.,当且仅当xyz时，以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，,规律方法 1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键 2在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件,【训练2】 已知实数a，b，c满足a0，b0，c0，且abc1.,考点三 分析法证明不等式 【例3】 已知函数f(x)|x1|.,(1)解 由题意，知原
7、不等式等价为|x2|x2|6，,当x2时，由2x6，得x3；,当2x2时，46不成立，此时无解； 当x2时，由2x6，得x3. 综上，不等式的解集是(，33，).,只需证|ab1|ba|， 只需证(ab1)2(ba)2. 而(ab1)2(ba)2a2b2a2b21(a21)(b21)0，从而原不等式成立.,证明 由abc且abc0，知a0，c0.,abc0，只需证b2a(ab)0， 只需证(ab)(2ab)0， 只需证(ab)(ac)0. abc，ab0，ac0， (ab)(ac)0显然成立， 故原不等式成立.,思维升华 证明不等式的方法和技巧： (1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等 (2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的根本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据,易错防范,在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立.,
