1、商洛市20192020学年度第一学期期末教学质量检测高一数学试卷考生注意：1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容：北师大版必修1，必修2.第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简集合，根据交集的定义，结合数轴，即可求解【详解】因为，所以.故选:B.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2.已知直线经过两点，则直线的倾斜角是( )A. B. C.
2、 D. 【答案】A【解析】【分析】求出直线的斜率，根据斜率得倾斜角【详解】由题意直线的斜率为，倾斜角为故选：A【点睛】本题考查直线的倾斜角，可先求出斜率根据斜率是倾斜角的正切值求出倾斜角3.若函数,则( )A. 9B. 6C. 4D. 3【答案】B【解析】【分析】求得对应的值，由此求得函数值.【详解】由，解得，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查函数值的求法，属于基础题.4.函数的零点所在的区间是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数单调递增和,得到答案.【详解】是单调递增函数,且,所以的零点所在的区间为故选：【点睛】本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在
3、定理的应用.5.已知，则的边上的中线所在的直线方程为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】求出中点坐标，由两点式写出直线方程，再化为一般式【详解】由题意边的中点为，中线方程为，整理得故选：C【点睛】本题考查求直线方程，直线方程有多种形式，可根据条件用相应形式写出直线方程，然后整理一般式6.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则下列命题中为真命题的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择.【详解】选项A,C直线可能在平面内，故不正确；选项B, 若，则，或在平面内，而，故与
4、可能平行，相交或异面，故不正确；对于选项D：由 ， ，结合面面平行的性质和线面垂直的判定定理，可得出直线，故为正确.故选：D【点睛】本题考查了线面平行、面面平行、线面垂直的性质定理和判定定理，注意定理成立的条件，属于基础题.7.若直线被圆截得的弦长为8，则正数（ ）A. B. C. 5D. 10【答案】B【解析】【分析】求出圆心到直线的距离，由勾股定理（垂径定理）表示出弦长后可得【详解】圆的圆心坐标为，半径，由直线被圆截得的弦长为8，可得圆心到直线的距离为，则.故选：B.【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，解题方法是几何法，即求出圆心到直线的距离，由勾股定理列式计算8.已知圆锥的侧面展开图是
5、一个半径为4的半圆,则该圆锥的体积是( )A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先计算圆锥的半径和母线长分别为2和4，再计算圆锥的高为，得到体积.【详解】因为半圆的弧长为,半圆的弧长为圆锥的底面周长,所以该圆锥的底面半径.由题意可知该圆锥的母线长为4,则圆锥的高为,故该圆锥的体积是.故选：【点睛】本题考查了圆锥的体积，抓住扇形和圆锥的线段长度关系是解题的关键.9.某几何体的三视图所示(单位:cm)，则该几何体的体积(单位:)是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由三视图还原出原几何体，确定几何体的结构后求体积【详解】由三视图知，原几何体是一个正方体在旁边挖去一个三
6、棱柱，尺寸见三视图，其体积为故选：D【点睛】本题考查三视图，考查柱体的体积解题关键是由三视图还原出原几何体10.已知圆：，圆：，则圆与圆（ ）A. 相交B. 内切C. 外切D. 内含【答案】C【解析】分析】求出圆心距，与两圆半径的和或差比较可得【详解】因为，所以，从而两圆外切.故选：C.【点睛】本题考查两圆位置关系，求出圆心距是解题关键属于基础题11.已知，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把化为同底数的幂比较大小，再借助于数2与比较【详解】，又，而，故选：B【点睛】本题考查比较大小，比较幂的大小尽量化为同底数的幂或化为同指数的幂，同样比较对数大小也尽量化为同底数的对数
7、，如果不能化为同底数（或同指数）或不同类型的数则要借助于中间值比较，如等等12.如图,在长方体中,点是的中点,点是底面内(不包括边界)一动点,且三棱锥体积为,则的最小值是( ) A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算得到，点到的距离为，点在底面内(不包括边界)与平行,且距离为的线段上，得到最值.【详解】因为三棱锥的体积,所以.设点到的距离为,则,解得,所以点在底面内(不包括边界)与平行,且距离为的线段上,要使最小,则点是过作的垂线与线段的交点.因为点到的距离为,此时.故选：【点睛】本题考查了立体几何中的最值问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.第卷二、填空题：本大题共4小
8、题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若直线:与直线:互相垂直,则_.【答案】【解析】【分析】直接利用直线垂直公式计算得到答案.【详解】因为,所以,所以.故答案为：【点睛】本题考查了根据直线垂直求参数，意在考查学生的计算能力.14.已知函数,则_.【答案】5【解析】【分析】先将代入解析式可得,再求即可【详解】由题,所以故答案为：5【点睛】本题考查分段函数求值,考查指数、对数的运算15.已知长方体的每个顶点都在球的球面上.若,则球的体积是_.【答案】【解析】【分析】计算得到，再计算体积得到答案.【详解】在长方体中,设长方体的外接球的半径为,所以,所以,则球的体积.故答案为：
9、【点睛】本题考查了长方体的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.16.设函数，若对任意的，不等式恒成立，则a的取值范围是_.【答案】【解析】分析】先证明函数为奇函数，根据，结合对数运算法则可得，根据复合函数的单调性，可判断在上为减函数，再结合奇偶性和在处连续，可得在R上为减函数，于是等价转化为，得，即对任意的， 从而有，即可求解.【详解】因为，所以为奇函数，且定义域为R.又因为函数在上为增函数所以在上为减函数，从而在R上为减函数.于是等价于，所以，即.因为，所以，所以，解得.故答案为:.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用函数的奇偶性和单调性，将不等式等价转化，化归为函数的单调性
10、和奇偶性是解题的难点，属于较难题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线的方程为，与垂直且过点.(1)求直线的方程;(2)若直线经过与的交点，且垂直于轴，求直线的方程.【答案】(1);(2)【解析】【分析】（1）由垂直可设，代入点的坐标可得；（2）求出交点坐标，可得垂直于的直线方程【详解】(1)由与垂直，则可设， 过， 解得，. (2)由，得，与的交点坐标为， 又垂直于轴，则直线的方程为【点睛】本题考查求直线方程，考查两直线垂直的关系，考查求直线交点坐标，属于基础题在求垂直直线方程时可用待定系数法18.计算或化简：（1）；（2）.【答案】（
11、1）（2）3【解析】【分析】（1）根据幂的运算法则计算；（2）根据对数运算法则和换底公式计算【详解】解：（1）原式.（2）原式.【点睛】本题考查幂和对数的运算法则，掌握幂和对数运算法则是解题关键19.已知二次函数，且.（1）求的解析式；（2）若的图象的对称轴为，求的值以及在上的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）把二次函数式代入已知，由恒等式的定义可得；（2）由二次函数对称轴求出，再由二次函数的性质求得最值【详解】解：（1）由，得，所以，所以，故.（2）.因为，所以.因为，所以.【点睛】本题考查求二次函数解析式，考查二次函数的最值属于基础题20.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，
12、 ，面，.(1)证明:平面平面；(2)求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）在直角梯形中，由勾股定理逆定理得，再由面，得，于是有平面，从而可得面面垂直；（2）利用等体积法可求得到平面的距离.【详解】（1）证明：在直角梯形中，由，得，又面，平面，平面，平面平面；（2）由（1）得，设点到平面的距离为，则，点到平面的距离为【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查求点到平面的距离，立体几何中求点到平面的距离在高不易作出的情况下常用等体积法，即一个三棱锥的体积用两种方法表示，一种易求得体积，另一种只求得底面积，高（即所求距离）不易得，由两者相等即可得距离21.已知圆C经过A
13、（5，3），B（4，4）两点，且圆心在x轴上.（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l过点（5，2），且被圆C所截得的弦长为6，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据题意可设圆的方程为，根据点在圆上可得关于的方程组，解出方程组即可得到圆的方程.（2）由直线截圆所得的弦长结合垂径定理可得圆心到直线的距离为4，当直线斜率不存在时显然成立，当直线斜率存在时，可设为点斜式，根据点到直线的距离公式求出斜率即可.【详解】（1）因为圆心在x轴上，所以可设圆的方程为. 因为圆C经过A（5，3），B（4，4）两点，所以解得，. 故圆C的标准方程是. （2）因为直线l被圆C所截得的弦长
14、为6，所以圆C的圆心到直线l的距离.当直线l的斜率不存在时，因为直线l过点，所以直线l的方程为，所以圆C的圆心到直线l的距离，符合题意； 当直线l的斜率存在时，可设出直线l的方程为，即，则圆C的圆心到直线l的距离，解得， 故直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或.【点睛】本题考查了用待定系数法求圆的方程，通常用一般式计算要简单；另外圆与直线相交时，半径、弦长的一半和弦心距的关系，注意用到斜率考虑是否存在问题，属于中档题22.已知函数，其中为自然对数的底数.(1)证明:在上单调递增；(2)函数，如果总存在，对任意都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）用增函数定义证明；（2）分别求出和的最大值，由的最大值不小于的最大值可得的范围【详解】（1）设，则，即，在上单调递增；（2）总存在，对任意都成立，即，的最大值为，是偶函数，在是增函数，当时，整理得，即，即的取值范围是【点睛】本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题单调性的证明只能按照定义的要求进行证明而不等式恒成立问题要注意问题的转化，本题中问题转化为，如果把量词改为：对任意，总存在，使得成立，则等价于，如果把量词改为：对任意，任意，使得恒成立，则等价于，如果把量词改为：存在，存在，使得成立，则等价于.（的范围均由题设确定）
