1、2017年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文科数学1.(2017北京,文1)已知全集U=R,集合A=x|x2,则UA=()A.(-2,2)B.(-,-2)(2,+)C.-2,2D.(-,-22,+)解析因为A=x|x2,所以UA=x|-2x2.故选C.答案C2.(2017北京,文2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(-,1)B.(-,-1)C.(1,+)D.(-1,+)解析设z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为复数z在复平面内对应的点(a+1,1-a)在第二象限,所以a+10,解得a-1.故选B.答案B3.(2017
2、北京,文3)执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A.2B.32C.53D.85解析当k=0时,03成立,第一次进入循环,k=1,s=1+11=2;13成立,第二次进入循环,k=2,s=2+12=32;23成立,第三次进入循环,k=3,s=32+132=53;33不成立,输出s=53.故选C.答案C4.(2017北京,文4)若x,y满足x3,x+y2,yx,则x+2y的最大值为()A.1B.3C.5D.9解析由题意画出可行域(如图).设z=x+2y,则z=x+2y表示斜率为-12的一组平行线,当过点C(3,3)时,目标函数取得最大值zmax=3+23=9.故选D.答案D5.(2017北京,文
3、5)已知函数f(x)=3x-13x,则f(x)()A.是偶函数,且在R上是增函数B.是奇函数,且在R上是增函数C.是偶函数,且在R上是减函数D.是奇函数,且在R上是减函数解析因为f(x)的定义域为R,f(-x)=3-x-13-x=13x-3x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.又y=3x和y=-13x在R上都为增函数,所以函数f(x)在R上是增函数.故选B.答案B6.(2017北京,文6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A.60B.30C.20D.10解析由该几何体的三视图可得它的直观图为长、宽、高分别为5,3,4的长方体中的三棱锥A-BCD,如图所示.故该几何体的体积是V
4、=1312534=10.故选D.答案D7.(2017北京,文7)设m,n为非零向量,则“存在负数,使得m=n”是“mn0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析m,n为非零向量,若存在0,使m=n,即两向量反向,夹角是180,则mn=|m|n|cos 180=-|m|n|0.反过来,若mn0,则两向量的夹角为(90,180,并不一定反向,即不一定存在负数,使得m=n,所以“存在负数,使得m=n”是“mn0,c=a2+b2=1+m,则离心率e=ca=1+m=3,解得m=2.答案211.(2017北京,文11)已知x0,y0,且x+y=1,则x2
5、+y2的取值范围是.解析x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1,x0,1,所以当x=0或1时,x2+y2取最大值1;当x=12时,x2+y2取最小值12.因此x2+y2的取值范围为12,1.答案12,112.(2017北京,文12)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则AOAP的最大值为.解析方法1:设P(cos ,sin ),R,则AO=(2,0),AP=(cos +2,sin ),AOAP=2cos +4.当=2k,kZ时,2cos +4取得最大值,最大值为6.故AOAP的最大值为6.方法2:设P(x,y),x2+y2=1,-1x1,AO=(2,0)
6、,AP=(x+2,y),AOAP=2x+4,故AOAP的最大值为6.答案613.(2017北京,文13)能够说明“设a,b,c是任意实数,若abc,则a+bc”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为.解析答案不唯一,如令a=-1,b=-2,c=-3,则abc,而a+b=-3=c,能够说明“设a,b,c是任意实数,若abc,则a+bc”是假命题.答案-1,-2,-3(答案不唯一)14.(2017北京,文14)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:()男学生人数多于女学生人数;()女学生人数多于教师人数;()教师人数的两倍多于男学生人数.若教师人数为4,则女学生人数的最大值为;
7、该小组人数的最小值为.解析设男学生人数为x,女学生人数为y,教师人数为z,则x,y,z都是正整数,且xy,yz,2zx,x,y,zN*,即2zxyz,x,y,zN*.教师人数为4,即z=4,8xy4,所以y的最大值为6,故女学生人数的最大值为6.由题意知2zxyz,x,y,zN*.当z=1时,2xy1,x,y不存在;当z=2时,4xy2,x,y不存在;当z=3时,6xy3,x=5,y=4,此时该小组人数最小,最小值为5+4+3=12.答案61215.(2017北京,文15)已知等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求an的通项公式;(2)求和:b
8、1+b3+b5+b2n-1.解(1)设等差数列an的公差为d.因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n-1.(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.从而b1+b3+b5+b2n-1=1+3+32+3n-1=3n-12.16.(2017北京,文16)已知函数f(x)=3cos2x-3-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x-4,4时,f(x)-12.(1)解f(x)=32cos 2x+32sin 2x-sin 2x=12sin 2x+32co
9、s 2x=sin2x+3.所以f(x)的最小正周期T=22=.(2)证明因为-4x4,所以-62x+356.所以sin2x+3sin-6=-12.所以当x-4,4时,f(x)-12.17.(2017北京,文17)某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:20,30),30,40),80,90,并整理得到如下频率分布直方图:(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间40,50)内的人数;(3)已知样本中有一半男
10、生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.解(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4.(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)10=0.9,分数在区间40,50)内的人数为100-1000.9-5=5.所以总体中分数在区间40,50)内的人数估计为4005100=20.(3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.
11、02+0.04)10100=60,所以样本中分数不小于70的男生人数为6012=30.所以样本中的男生人数为302=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为6040=32.所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为32.18.(2017北京,文18)如图,在三棱锥P-ABC中,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(1)求证:PABD;(2)求证:平面BDE平面PAC;(3)当PA平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.(1)证明因为PAAB,PABC,所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC,所以PABD.(
12、2)证明因为AB=BC,D为AC中点,所以BDAC.由(1)知,PABD,所以BD平面PAC.所以平面BDE平面PAC.(3)解因为PA平面BDE,平面PAC平面BDE=DE,所以PADE.因为D为AC的中点,所以DE=12PA=1,BD=DC=2.由(1)知,PA平面ABC,所以DE平面ABC.所以三棱锥E-BCD的体积V=16BDDCDE=13.19.(2017北京,文19)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为32.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:BDE与
13、BDN的面积之比为45.(1)解设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0).由题意得a=2,ca=32,解得c=3.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)证明设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m2,且n0.直线AM的斜率kAM=nm+2,故直线DE的斜率kDE=-m+2n.所以直线DE的方程为y=-m+2n(x-m),直线BN的方程为y=n2-m(x-2).联立y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),解得点E的纵坐标yE=-n(4-m2)4-m2+n2.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以yE=-45n.又SBDE=12
14、|BD|yE|=25|BD|n|,SBDN=12|BD|n|,所以BDE与BDN的面积之比为45.20.(2017北京,文20)已知函数f(x)=excos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间0,2上的最大值和最小值.解(1)因为f(x)=excos x-x,所以f(x)=ex(cos x-sin x)-1,f(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1,则h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.当x0,2时,h(x)0,所以h(x)在区间0,2上单调递减.所以对任意x0,2有h(x)h(0)=0,即f(x)0.所以函数f(x)在区间0,2上单调递减.因此f(x)在区间0,2上的最大值为f(0)=1,最小值为f2=-2.
