1、小升初之数论篇数论知识包括数的奇偶性、质数、合数、数的整除、余数的性质、数位的含义、平均数、分解因数、平方数、倍数与因数（1）数的奇偶性奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 偶数+偶数=偶数奇数个奇数相加=奇数 偶数个奇数相加=偶数奇数奇数=奇数
2、;偶数偶数=偶数 奇数偶数=偶数只要式子中含有偶数，那么相乘结果就是偶数（2）数的整除，常见的数的整除特征2：个位是偶数3：各个数位之和是3的倍数5：个位是 0和54、25：后两位可以被4（25）整除8、125：后三位可以被8（125）整除9：各个数位之和是9的倍数7：一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13327，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：61392595 ， 595249，所
3、以6139是7的倍数。11：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(以大减小)是11的倍数。13：一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，可以被13整除即可被13整除。17：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。（3）余数的性质1.余数的可加性：和的余数等于余数的和。2.余数的可减性：差的余数等于余数的差。3.余数的可乘性：积得余数等于余数的积。4.同余的性质：对于同一个余数，如果有两个整数余数相同，那么它们的差就一定能被这个除数整除。对于同一个除数，如果有两个整数余数相同，那么它们的乘方就一定能被这个除数整数。小
4、试牛刀1 （05年人大附中考题）有_个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。 2 （05年101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是。
5、 3 （05年首师附中考题）+=。 4 （04年人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲甲=乙+乙=丙135那么甲最小是_。5 (02年人大附中考题)下列数不是八进制数的是( &n
6、bsp;)A、125 B、126 C、127 D、128 【附答案】1 【解】：62 【解】：设原来数为ab，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=
7、4,b=5,所以原来的两位数为45。3 【解】：周期性数字，每个数约分后为+=14 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5333，所以丙最小应该是2253，所以甲最小是：2335=90。5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D。四、典型例题解析1 数的整除【例1】（）将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4321=24）。将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个
8、是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。请求出这24个四位数中最大的一个。【解】：不妨设这4个数字分别是a>b>c>d那么从小到大的第5个就是dacb,它是5的倍数，因此b=0或5，注意到b>c>d,所以b=5;从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数；所以c是偶数，cb=5，c=4或2从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间，所以a=d+4；因为a>b,所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4。而如果d=2，那么abdc的末2位是24，它是4的倍数，和
9、条件矛盾。因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3所以这24个四位数中最大的一个是7543。【例2】（）一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？思路：现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手【解】：5位数数字和最大的为95=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8。这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989符合条
10、件。【例3】（）由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【解】：各位数字和为1+3+4+5+7+8=28所以偶数位和奇数位上数字和均为14为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6那么第3位一定是5，第5位为1该数最大为875413。拓展：一个三位数，它由0，1，2，7，8组成，且它能被9整除，问满足条件的总共有几个？ 【例4】（）一个学校参加兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的4/7 ，女同学的人数超过总数的2/5 。问男女生各多少人？
11、 【来源】：06年理工附入学测试题【解】：男生超过总数的4/7就是说女生少个总数的3/7，这样女生的范围在2/53/7之间，同理可得男生在4/73/5之间，这样把分数扩大，我们可得女生人数在28/7030/70之间，所以只能是29人，这样男生为41人。2 质数与合数（分解质因数） 【例5】（）20056843
12、75最后4位都是0,请问里最小是几?【解】：先分析123410的积的末尾共有多少个0。由于分解出2的个数比5多，这样我们可以得出就看所有数字中能分解出多少个5这个质因数。而能分解出5的一定是5的倍数。注意：5的倍数能分解一个5，25的倍数分解出2个5，125的倍数能分解出3个5最终转化成计数问题，如5的倍数有10/5=2个。2005=5401 684=22171 375=3555前三个数里有2个质因子2，4个质因子5，要使得乘积的最后4位都是0应该有4个质因子2和4个质因子5，还差2个质因子。因此里最小是4。拓展：200568
13、4375最后4位都是0，且是7的倍数，问里最小是_【例6】（）03 年101中学招生人数是一个平方数，04年由于信息发布及时，04年的招生人数比03年多了101人，也是一个平方数，问04年的招生人数？【解】：看见两个平方数，发现跟平方差相关，这样我们大胆的设03年的为A，04年的为B，从中我们发现04年的比03年多101人，这样我们可以列式子B- A=101此后思路要很顺，因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开，所以B- A=（A+B）（A-B）=101，可见右边的数也要分成2个数的积，还得考虑同奇偶性，但101是个质数，所以101只能分成1011，这样A+B=101，A-B=1，所以A=
14、50，B=51，所以04年的招生人数为5151=2601。拓展：一个数加上10，减去10都是平方数，问这个数为多少？（清华附中测试题）3 约数和倍数【例7】（）从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？【解】：边长是2002和847的最大公约数，可用辗转相除法求得 （2002,847）=77所以最后剪得的正方形的边长是77毫米。辗转相除示例：2002847=2308 &
15、nbsp; 求2个数的最大公约数，就用大数除以小数847308=2231 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止308231=177 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止23177=3 最后一个除尽的式
16、子的除数就是两个数的最大公约数【例8】（）一根木棍长100米，现从左往右每6米画一根标记线，从右往左每5米作一根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差4米？【解】：100能被5整除，所以每5米作标记线从左往右还是从右往左都是一样的。这样我们都以从左往右作，可见转化成讨论5，6的最小公倍数中的情况，画图可得有2根距离为4米，所以30，60，90里各有2条，但发现最后96和100也是距离4米，所以总共23+1=7。拓展：在一根长木棍上，有三种刻度线.第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份.如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？【例9】（
17、）1、2、3、42008这2008个数的最小公倍数等与多少个2与一个奇数的积？ 【解】：最小公倍数就是分解质因数中共有的最多因数，这样我们发现除2以外都是奇数质因数，可见我们只要找需要多少个2，所以只要看12008中2n谁最大，可见210=1024，所以为10 个2。【例10】（）有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果
18、告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。（写出解题过程）【解】：1）首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对。不然，其中说的不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。因此，这个数能被2，3，4，5，6，7都整除。其次利用整除性质可知，这个数也能被25，34，27都整除，即编号为10，12，14的同学说的也对。从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。2）这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数由于上述十二个数的最小公倍数是60060因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数
19、，所以1号同学写的数就是60060。4 数论的综合题型【例11】（）某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？【解】：设第一户电话号是x+1,第二户x+2,.第12户电话号x+12根据条件得x+i是i的倍数(i=1,2,12)因此x是1，2，.12的公倍数1,2,.12=27720所以x=27720m27720m+9是13的倍数，27720除以13余数为4所以4m+9是1
20、3的倍数m=1,14,27.第一家电话号码是27720m+1 m取14合适；因此第一家电话号码是27720*14+1=388081拓展：写出连续的11个自然数，要求第1个是2的倍数，第二个是3的倍数第11个是12的倍数？【例12】（）有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这
21、个数。（写出解题过程）【解】：1）首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对。不然，其中说的不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。因此，这个数能被2，3，4，5，6，7都整除。其次利用整除性质可知，这个数也能被25，34，27都整除，即编号为10，12，14的同学说的也对。从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。2）这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数由于上述十二个数的最小公倍数是60060因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060。
22、小结本讲主要接触到以下几种典型题型：1）数的整除。 参见例1，2，3，42）质数与合数（分解质因数）。参见例5，63）约数和倍数。 参见例7，8，9，104）数论的综合题型。 参见例11，12作业题 （注：作业
23、题-例题类型对照表，供参考）题1，4类型1；题2，6类型3；题3，5，8类型2；题7类型21（）在1100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？解：1+2+100=5050 9+18+27+99=9(1+2+11)=495随意1-100中所有不能被9整除的数的和是5050-495=45552（）某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低于90分的人数占，得8089分的人数占，得7079分得人数占，那么得70分以下的有_人。解：有、，说明总人数一定为7的倍数、2的倍数、3的倍数，故为7、2、342的倍数；又由于人数不超过60人，故这班的人数只能为42
24、人。从而70分以下的有：421人。3（）自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有_个。解：枚举法：23，37，53，73，有4个4. （）三个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？解：这三个自然数最小是6，10，15（分别是23,25,35）和的最小值为31。5、（）五个连续偶数之和是完全平方数，中间三个偶数之和是立方数（即一个整数的三次方），这样一组数中的最大数的最小值是多少？解：设中间一个数为2x那么5个数的和为10x=m2中间3个数的和为6x=n3设x=2
25、p 3q 5r再根据一个数是完全平方数等价于它的各个质因子的幂都是偶数，一个数是立方数等价于他的各个质因子的幂都是3的倍数可以求得p=5,q=2,r=3X=36000因此所求为2x+4=720046、（）一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少？解：A-B=（A+B）（A-B）=37=371，考虑同奇偶性，可知A=19，B=18，这样这个数为461。7、（）从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右
26、1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是_【来源】北京市第七届“迎春杯”决赛第二题第4题【解】第一次报数后留下的同学，他们最初编号都是11的倍数；第二次报数后留下的同学，他们最初编号都是=121的倍数；第三次报数后留下的同学，他们最初编号都是=1331的倍数因此，第三次报数后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是13318、（）有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积其中只有三个数不是l，而是三个不同的质数那么，这样的三个质数可以是 、 、 【解】设a、b、c为三个不同的质数，根据题意 1994+a+b+C=abc 取a=3，b=5，得1994+3+5+c=15c，解出c=143不是质数； 取a=3，b=7，得1994+3+7+c=21c，解出c=不是整数； 取a=5，b=7，得1994+5+7+c=35C，解出c=59 故5、7、59是满足题意的三个质数17
