1、下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换.jirr（1 1）互换两行：）互换两行：（2 2）数乘某行：）数乘某行：kri（3 3）倍加某行：）倍加某行：jikrr 定义定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的的初等变换初等变换同理，把同理，把 换成换成 可定义矩阵的可定义矩阵的初等列变换初等列变换.rcjirr kri;jirr 1();irk jikrr .ijrkr 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换利用利用初等行变换可把矩阵初等行变换
2、可把矩阵 化为化为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵.A利用利用初等行变换，也可把矩阵化为初等行变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵行最简形矩阵.定理定理利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩阵化为阵化为标准形矩阵标准形矩阵.0000000100000100000110104011030001300000 00000310000111041211行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵行最简形矩阵行最简形矩阵标准形矩阵标准形矩阵行行阶梯形矩阵阶梯形矩阵称满足下列两个条件的矩阵为称满足下列两个条件的矩阵为行行阶梯形矩阵阶梯形矩阵：1 1）若有零行（元素全为零的行），位于底部；）若
3、有零行（元素全为零的行），位于底部；2 2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右.12310014000200000121000500002121011100120005如如 40000310002320010010000010000000000 a称满足下列三个条件的矩阵为称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵行最简形矩阵：1 1）行阶梯形矩阵）行阶梯形矩阵行最简形矩阵行最简形矩阵2 2）各非零行的首非零元均为）各非零行的首非零元均为1.1.3 3）首非零元所在列其它元素均为）首非零元所在列其它元素均为.012000010000100001000
4、0100001如如000010000000000标准标准形矩阵形矩阵称形如称形如D D 的矩阵为的矩阵为标准标准形矩阵形矩阵：r11IOD=0OO0 403201 20020112r3r 100201)21(r2 10000121r2r 01000132cc行阶梯形行阶梯形行标准形行标准形行最简形行最简形相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵.定义定义110011，P就称为就称为初等矩阵初等矩阵.I(,)i j0110()ir()jr()jc()ic记作记作I经过一次初等变换变为经过一次初等变换变为P()ir()jrI(,)mi j A 111211212
5、12njjjniiinmmmnaaaaaaaaaaaa11111212221jinjinmmjmimnaaaaaaaaaaaa()jc()icI(,)nAi j 1111111111niinmmnaakakaaa()ir()ic()irmI(i(k)A 11111inmmimnakaaakaanAI(i(k)()ic I i k(）(）记作记作k11111111111ijinmmimjmimnaaakaaaaakaa I i,j(k)11k()ir()jr()ic()jc记作记作(,()nAIi j k()ic()jc1111111nijinjnjjnmmnaaakaaaaaaa 相当于相当于
6、(,)I i j A,ijrr(,)AI i j相当于相当于,ijcc()I i kA相当于相当于,irk()AI i k相当于相当于,ick(,()I i j kA相当于相当于,ijrkr(,()AI i j k相当于相当于,jickc(,()mIi j kA ()ir()jr初等矩阵均可逆初等矩阵均可逆1(,)Ii j 1()Ii k 1(,()Ii j k(,);I i j 1();I ik(,().I i jk初等矩阵的重要结论初等矩阵的重要结论定理定理2.2 设设.)a(Anmijnm （1）对对A的的行行进行某种初等变换得到的矩阵，等于用进行某种初等变换得到的矩阵，等于用相应的相应
7、的m阶初等矩阵阶初等矩阵左乘左乘A；（2）对对A的的列列进行某种初等变换得到的矩阵，等于用进行某种初等变换得到的矩阵，等于用相应的相应的n阶初等矩阵阶初等矩阵右乘右乘A.三、相关定理三、相关定理rr(n r)(m r)r(m r)(n r)1IO1D=0OO0定理定理2.3 任意一个矩阵任意一个矩阵A经过若干次初等变换，可以化经过若干次初等变换，可以化 为下面形式的矩阵为下面形式的矩阵D.推论推论 如果如果A为为n阶可逆矩阵，则阶可逆矩阵，则D=I.证证 根据定理根据定理2.3可知可知DQQAQPPPt21s21 其中，其中，)t2,1j(Q),s2,1i(Pji 都是都是n阶初等矩阵，阶初等
8、矩阵，则其都可逆，其对应的行列式都不为则其都可逆，其对应的行列式都不为0，所以上式两边，所以上式两边取行列式取行列式DQQAQPPPt21s21 DQQQAPPPt21s21 因为因为A可逆，所以可逆，所以0A ，综上有，综上有0D 所以，所以，nID 例例17 化下列矩阵化下列矩阵A为矩阵为矩阵D的形式的形式 523012101A 523012101A 2202101011313r3r,r2r 20021010123r2r 1002101012r3 1000100012313c2c,cc或或 1000100013132rr,r2r1.定理定理2.4 n阶矩阵阶矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是
9、为可逆矩阵的充分必要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积它可以表成一些初等矩阵的乘积.四、逆矩阵的求解四、逆矩阵的求解证证 先证必要性先证必要性由定理由定理2.3知，若知，若A可逆，则可逆，则A经过若干次初等变换后，经过若干次初等变换后，可化为可化为I，即存在矩阵，即存在矩阵)t2,1j(Q),s2,1i(Pji 使使IQQAQPPPt21s21 则则11121t11121sQQIQPPPA 即，即，A可以表示成一些初等矩阵的乘积可以表示成一些初等矩阵的乘积11121t11121sQQQPPPA 再证充分性再证充分性因为因为A可以表示成初等矩阵乘积，而初等矩阵均可逆可以表示成初等矩阵乘积，而初等
10、矩阵均可逆所以所以A可逆，结论成立。可逆，结论成立。1021100111011121)1(1,2(I:1101 )1(2(I:1001 )2(2,1(I:1021 2.初等矩阵求逆法初等矩阵求逆法若若A可逆，则可逆，则1A 可表示成初等矩阵的乘积，即可表示成初等矩阵的乘积，即k211GGGA 因为因为IAA1 ，有，有(IA)GGG(k21 1k21AI)GGG(即即)AI()IA)(GGG(1k21 经过若干次经过若干次初等行变换初等行变换，A变为变为I，I变为变为1A 例例18 求矩阵求矩阵 523012101A的逆矩阵。的逆矩阵。解解 100523010012001101)IA(1002
11、200102100011011312r3r,r2r 12720001221000110123r2r 2112710001221000110121r3 21127100115010211250013132rr,r2r所以所以 2112711521125A1例例19 利用上题中的利用上题中的A，求，求1)AI(五、小结五、小结、矩阵的初等变换（、矩阵的初等变换（Elementary transformationElementary transformation）初等行初等行(列列)变换变换 ;ijijrrcc ;iirk ck .ijijrkrckc 2 2、初等矩阵初等矩阵利用初等行变换可把矩阵
12、利用初等行变换可把矩阵 化为化为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵.A利用初等行变换，也可把矩阵化为利用初等行变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵行最简形矩阵.3 3利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩阵阵化为化为标准形矩阵标准形矩阵.4 4、利用初等变换求逆矩阵、利用初等变换求逆矩阵作业v27（3）、（4）、（6）例例4 4 将下列矩阵利用初等变换化为将下列矩阵利用初等变换化为行阶梯形行阶梯形,再再化化为为行最简形行最简形,最后最后化为标准形化为标准形.97963422644121121112A 注意：化矩阵为行阶梯形或行最简形时仅能用注意：化矩阵为行阶梯形
13、或行最简形时仅能用初等行变换初等行变换.化矩阵为标准形时，初等行变换和初化矩阵为标准形时，初等行变换和初等列变换均可以使用等列变换均可以使用.21rr 23 r21112112144622436979A 11214211122311236979 13322rrrr 143rr 11214022200553603343 23225rrr 243rr 3100062000011104121143rr 342rr 100000310000111041211B 200000310003011040101B 21rr 32rr 000003100001110412111B214ccc 3215334cc
14、cc 43 cc 300000001000001000001B 行阶梯形和行最简形矩阵。行阶梯形和行最简形矩阵。2B最后得到的矩阵最后得到的矩阵 是是 的标准形，的标准形，3BA,1B2B依次为依次为定义定义经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵 ，如果矩阵如果矩阵ABAB与与等等价价就称矩阵就称矩阵，记作，记作AB等价关系的性质：等价关系的性质：;AA,ifABBA；,C.ifAB B CA具有上述三条性质的关系就称为具有上述三条性质的关系就称为等价等价（1 1）反身性：）反身性：（2 2）对称性：）对称性：（3 3）传递性：）传递性：3 3经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵 ，如果矩阵如果矩阵ABAB与与等等价价就称矩阵就称矩阵，记作，记作AB4 4矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质;反反身身性性;对对称称性性.传传递递性性
