1、引例引例1 1求解线性方程组求解线性方程组xxxx12122123 解解3121211312221xxx313521xx130121 3110121 31103501消元得消元得回代得回代得方程组有解，解是唯一的方程组有解，解是唯一的引例引例2 2 求解线性方程组求解线性方程组解解9244232321xxxxx)29(41)4(2132321xxxxx消元得消元得回代得回代得12442321321xxxxxx11244112924041122494873231xxxx492110221211492110874101cxcxcx321249487方程组有无穷多个解方程组有无穷多个解 线性方程组线
2、性方程组32222353132432143214321xxxxxxxxxxxx解：消元得解：消元得322122351311321104501045011321引例引例314514513232324321xxxxxxxx 20000104501132120145132324321xxxxxx故方程组无解故方程组无解二、消元法解方程组二、消元法解方程组nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb11112211211222221122 mn2m1mn22221n11211aaaaaaaaaA m21bbbb m21xxxXbAX 其中，记其中，记则方程组可写为：则方程
3、组可写为：1、bA mmn2m1m2n222211n11211baaabaaabaaa称为增广矩阵称为增广矩阵2、求解步骤：、求解步骤：写出增广矩阵写出增广矩阵 化为阶梯形化为阶梯形 判断是否有解，如有解判断是否有解，如有解 进行回代进行回代 0000d0dx axaxadx axaxaxadx axaxaxaxa1rrnrn1r1rrrrr2nn21r1r2rr22221nn11r1r1rr1212111化为阶梯形化为阶梯形0d1r 时，方程组无解时，方程组无解)bA(r)A(r 0d1r 时，方程组有解时，方程组有解nr 时，方程组有唯一解时，方程组有唯一解nr 时，方程组有无穷多解时，方
4、程组有无穷多解)bA(r)A(r n)bA(r)A(r n)bA(r)A(r 即：即：)bA(r)A(r 线性方程组化为阶梯形后，有线性方程组化为阶梯形后，有0d1r 时，方程组无解时，方程组无解)bA(r)A(r 无解无解n)bA(r)A(r n)bA(r)A(r 唯一解唯一解无穷多解无穷多解三、线性方程组求解三、线性方程组求解1、定理、定理3.1 线性方程组有解的充分必要条件是：线性方程组有解的充分必要条件是：)bA(r)A(r，且当，且当n)A(r 时，有无穷多解。时，有无穷多解。时，有唯一解；当时，有唯一解；当n)A(r 例例1 求解求解 6xxx3x24x2xxx34xx3x2x1x
5、3x2xx4321432143214321解解 61132421134132113211bA 875107117405411013211 3360027273005411013211 515100027273005411013211因为因为n4)bA(r)A(r 所以方程组有唯一解，回代得所以方程组有唯一解，回代得 11000991005411013211 11000001001011020211 11000001001001020011 11000001001001010001所以方程组的解为所以方程组的解为 1x0 x1x1x4321例例2 求解求解 7x7x3x9x1xxx8x33x3x
6、x2x1xxx5x4321432143214321 77391111833312111151bA 00000000004427011151n2)bA(r)A(r 所以方程组有无穷多解，回代得所以方程组有无穷多解，回代得因为因为 0000000000747472107137137301得同解方程组得同解方程组 74x74x72x713x713x73x432431取取2413,cxcx，其中，其中2c,c1为任意常数，则方程组为任意常数，则方程组的全部解为的全部解为 2413212211cxcxc74c7274xc713c73713x四、齐次线性方程组的求解四、齐次线性方程组的求解1、定理、定理3
7、.2 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件齐次线性方程组有非零解的充分必要条件n)A(r 是：是：例例5 解齐次线性方程组解齐次线性方程组 0 x7x9x3x0 xx8xx30 x3x2xx0 xx5xx4321432143214321解解 7931181332111511A 000000004720151142)A(r ，故方程组有非零解，故方程组有非零解回代回代 000000002271012301得方程组的同解方程组得方程组的同解方程组027023432431xxxxxx设设13cx 24c,x，其中，其中2c,c1为任意常数，则方程组为任意常数，则方程组有非零解有非零解 2413212211cxcxc2x72xcc23x作业：作业：1（3）、（）、（7）；）；2（2）
