1、第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3.1 3.1 刚体的运动刚体的运动 3.2 3.2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 3.3 3.3 转动惯量的计算转动惯量的计算 3.4 3.4 刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用 3.5 3.5 转动中的功和能转动中的功和能 3.6 3.6 刚体的角动量和角动量守恒定律刚体的角动量和角动量守恒定律卡尔文森号卡尔文森号3.1 刚体运动的描述刚体运动的描述 o ooo刚体质点间的相对运动只刚体质点间的相对运动只能是绕某一轴转动能是绕某一轴转动（rotationrotation）的结果。的结果。M参参考考方方向向X00v)(tdtd22dtd
2、dtdtdt00tdt00角速度矢量角速度矢量M参参考考方方向向X00vvrrv.const)(2 )(020222100tttdtrdrdtddtvda旋转加速度向轴加速度MX00vrrsinrv rv 2 ranrdtdvat 定轴转动定轴转动：退化为代数量，刚体上任意退化为代数量，刚体上任意点都绕同一轴作圆周运动，且点都绕同一轴作圆周运动，且，都相同。都相同。,ntaavrMsin=F r 一、力矩一、力矩3.2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 1.力在转动平面内力在转动平面内=F rtFrdMFtMrF FrM只能引起轴的只能引起轴的2.力不在转动平面内力不在转动平面内FM=rF=1
3、2rF)(+Fr转动转动平面平面变形，对转动无贡献。变形，对转动无贡献。F1rF+=21rrFFF212FrMz sin2rF 在定轴动问题中，如不加说明，所指的力在定轴动问题中，如不加说明，所指的力 矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。3.多个力作用的情形多个力作用的情形 F1F2F3r3r2r1 1 2 3332211FrFrFrMz.sinsinsin333222111FrFrFr.332211tttFrFrFritiFr00二、转动定律二、转动定律rimii对对m质点质点应用牛顿第二定律：应用牛顿第二定律：iF外力外力if内力内力Fiifii
4、iiiiamfFitiititamfFiniininamfF00rimiitiititamfFiniininamfF对运动状态（转动）对运动状态（转动）改变没有影响改变没有影响刚体上各点都有这样的运动方程，应把所有方程迭加才刚体上各点都有这样的运动方程，应把所有方程迭加才是刚体整体运动规律，但应切向力分别作用于各个质点是刚体整体运动规律，但应切向力分别作用于各个质点上，且方向各不相同，因而求代数和没有意义上，且方向各不相同，因而求代数和没有意义令：令：iiitiititrmamfF2iiitiitirmfrFriiiiitiitirmfrFr2)(iiiiitirmMFr2iiirmJ2iii
5、fiF转动定律：转动定律：讨论：讨论：4.J 和转轴有关，同一个物体对不同转和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转动惯量不同。轴的转动惯量不同。3.J 和质量分布有关。和质量分布有关。2.M 的符号：使刚体向规定的转动正方的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的力矩为正。向加速的力矩为正。惯性大小的量度。惯性大小的量度。M=Jddt=J转动惯量是转动转动惯量是转动1.M 一定一定，J3.3 转动惯量的计算转动惯量的计算)(2分立iirmJJ由质量对轴的分布决定由质量对轴的分布决定。dmrmmdmrJ)(2连续rJ=m2c5.回转半径回转半径：假想将物体的质量集中在半径为：假想将物体的质量集中在半径
6、为 rc 的细的细圆环上，而保持转动惯量不变，称这圆环半径为物体的圆环上，而保持转动惯量不变，称这圆环半径为物体的回转半径回转半径。即任何物体的转动惯量为：。即任何物体的转动惯量为：例：如图系统的转动惯量，轻杆质量忽略例：如图系统的转动惯量，轻杆质量忽略R1R2m2m1R2R1m1m2222211rmrmJ222211rmrmJ 例例 均质细圆环的转动惯量。均质细圆环的转动惯量。=mR2J2=R dm2=RdmRm00(1)、(2)、XY Rrdmdm=m/(2 R)Rd dJ=r dm2dJJdmr22022)cos(RdRmR20222cosdmR221mR 例例 质量为质量为m，半径为半
7、径为R 的均质圆盘的的均质圆盘的转动惯量。转动惯量。R=m2dJ2=r dmm22R1=RmdSrdrd rdrd dm=dS=3r drd=J0rdrR302 d 方法一、方法一、方法二、方法二、dm=2rdrR=m2dJ2=r dm32r drm22R1Rm=J0r dr2 R3rdJR思考球体、锥体绕轴转动的转动惯量思考球体、锥体绕轴转动的转动惯量 例例 质量为质量为m,长度为长度为 L 的均质细杆的转动惯量。的均质细杆的转动惯量。dmdmdJ2=xLm=dxx dxL2=mJ00L112Lm22=xmLL0dx13Lm=2=JCxdxCAml2l2 1.对同一轴对同一轴J具有可叠加性具
8、有可叠加性Jm rzi ii 2J=Ji 2.平行轴定理平行轴定理Jm roiii 2平行平行CdmJCJomiri rimOC r iii 2()m dm d rm riiiii222 mdJmd rcii22OCxmd rmxiiii 0JJm dc 2 计算计算 J 的几条规律的几条规律 3.对薄平板刚体的正交对薄平板刚体的正交 轴定理轴定理Jm rzi i 2 例：已知圆盘例：已知圆盘JmR z 122求对圆盘的一条直径的求对圆盘的一条直径的J Jx x （或（或 J y）。）。由由JJJJJJJmRzyxxyxy 142即即 JJJxy y rix z yi xi mi yx z R
9、 C mim xm yiiii 22例例.计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半径为半径为r，摆杆质量也为摆杆质量也为m，长度为长度为2r）ro摆杆转动惯量：摆杆转动惯量：22134231mrrmJ摆锤转动惯量：摆锤转动惯量：22222219321mrrmmrmdJJc2222166521934mrmrmrJJJ已知：已知：R=0.2m，m=1kg，vo=0，h=1.5m，绳轮无相对滑动，绳，绳轮无相对滑动，绳不可伸长，下落时间不可伸长，下落时间 t=3s。求：轮对求：轮对O 轴轴J=？3.4 转动定律应用举例转动定律应用举例 定轴定轴ORthmv0
10、=0绳绳TGRNmgT =-T ma对轮：对轮：TRJ (1),对对 ：m mg Tma (2)解：动力学关系：解：动力学关系：运动学关系：运动学关系：aR(3)hat 122(4)(1)(4)联立解得：联立解得：JgthmR ()2221 (.).9832151102114222kg m分析：分析：单位对；单位对；1.、一定，一定，合理；，合理；2.hmJt 若若，得，得，正确。，正确。30122.Jhgt TRJ (1)mg T ma (2)例：例：飞轮的质量为飞轮的质量为60kg，直径为直径为0.50m，转速为转速为1000rmin，现要求在现要求在 5s内使其制内使其制动，求制动力动，
11、求制动力 F,假定闸瓦与飞轮之间的摩擦假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数系数=0.4，飞轮的质量全部分布在轮的外飞轮的质量全部分布在轮的外周上。尺寸如图所示。周上。尺寸如图所示。Fd闸瓦闸瓦0.5m0.75m=3.75kg.m20t=100060n=202=104.7 r/s5t=0fNFNfl1l2RJm2=60(0.25)2 解：解：104.720.9 r/s250t=0l1+=()Fl2N l10=RJfm=NRl1=Fl1+l2mRJ=314Nm=NRJ=J122mrTgm22=m2a1m a1TT2+m1TT2rr=1T1mgmmm12rTT12m2T22gmagm1T11maa=r 例例
12、 在图示的装置中求在图示的装置中求：T a,12滑轮可视作均质圆盘。滑轮可视作均质圆盘。TJa2mmmmmg1212=+()(Tmg21122=22+()mmm1mm+g122=2T)(m1mm+mmm222)mmmmg22211=+()mr 例例 在图示的装置中，质量为在图示的装置中，质量为m和和2m、半径为半径为r和和2r的的两均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘两均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量9mr2/2，大大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端挂有一质量为小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下
13、端挂有一质量为m的重物的重物，求盘的角加速度大小。，求盘的角加速度大小。2rr2mmmmT1T222maTgm11magmT2/9)2(212mrrTrTra1)2(2ra)19/(2rg 例：如图所示，两物体例：如图所示，两物体1和和2的质量分别的质量分别为为m1与与m2，滑轮的转动惯量为滑轮的转动惯量为J,半径为半径为 r。（1）如物体如物体2与桌面间的摩擦系数为与桌面间的摩擦系数为，求系统的加速度求系统的加速度 a 及绳中的张力及绳中的张力 T2 与与 T2（设绳子与滑轮间无相对滑动）；设绳子与滑轮间无相对滑动）；（2）如物体）如物体2与桌面间为光滑接触，求系与桌面间为光滑接触，求系统的
14、加速度统的加速度 a 及绳及绳中的张力中的张力 T1与与 T2。m22T1Tm1fm=Ngm2m=1T=m a1gm12T=m a2fa=r+=r2+m2mgm1m2J()r2+m1m2J1T+=r2+m1mgm2m1J()r2+m1m2J2TmNgf2Tm2m22T1Tagm11Tm10N=gm2Jr=1T2T rr2+a=gm2mgm1m1m2J解得：解得：解：解：(1)gm1r2+m1m2Ja=+=r2gm1m2J()r2+m1m2J1T=gm2m1r2+m1m2J2T(2)m=0=（）LL22mg 例例 一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于水平位一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于
15、水平位置，然后让它自由下落。求：置，然后让它自由下落。求：MJ=J=M解解：Lg/sin300dd02cos3dLg3/cos22mLLmgLg2cos3dtddddtdddRe例：质量为例：质量为 m,半径为半径为 R的均质圆盘，初始时有的均质圆盘，初始时有 0，盘与，盘与桌面间的摩擦系数为桌面间的摩擦系数为 m m，问经多长时间圆盘才停止转动？，问经多长时间圆盘才停止转动？此时圆盘转过的角度此时圆盘转过的角度?解：解：由由 t考虑考虑 r r+dr 环环dM=r d fmrdmgmgrmR eerdr22 222mmgrRdrMmgrRdrR2220m23mmgRJmR122RmgJMm3
16、4gRm83202020rdr 例：例：弧形闸门更省力弧形闸门更省力gmGORT据试验重心距绞链处为据试验重心距绞链处为 0.7R对对O的总转动惯量为的总转动惯量为28.0 mRJ 设：弧形门叶以切向加速度设：弧形门叶以切向加速度at=0.1g 转动转动JRmgRT7.0RamRRmgRTt28.07.0mggmmgT78.01.08.07.0TgmG如以同样加速度提升同如以同样加速度提升同样重量的平面闸门样重量的平面闸门mamgTmgmamgT1.1 一、力矩的功一、力矩的功M=d对于恒力矩：对于恒力矩：功率功率:dAF=.dsFdscosardsFd00a3.5 定轴转动中的功能关系定轴转
17、动中的功能关系 F r=dt0MdA MAdtMddtdANM二、动能定理二、动能定理MddA dJddtdJdJ21MdA21dJ1221kkEEMdA21222121JJ 刚体定轴转刚体定轴转动力矩的功动力矩的功等于刚体动等于刚体动能的增量能的增量221JEk22)(21iiikrmE)(212iiivm三三.定轴转动的功能原理定轴转动的功能原理质点系功能原理对刚体仍成立质点系功能原理对刚体仍成立：W外外+W内非内非=（Ek2+Ep2）（Ek1+Ep1）刚体重力势能：刚体重力势能：Ep mghc mghii mgmhmii ChchimiEp=0若若dW外外+dW内非内非=0，则则Ek+E
18、p=常量。常量。=（）解：解：=Lmg12sin2=A01J2=Lgsin3）LL22mg 例例 一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于水平位置，然后让它自由下落。于水平位置，然后让它自由下落。求：求：d=Lmg0cos12=dAM=LmgMcos2例例.一质量为一质量为M，半径半径R的圆盘，盘上绕由细绳，一端的圆盘，盘上绕由细绳，一端挂有质量为挂有质量为m的物体。问物体由静止下落高度的物体。问物体由静止下落高度h时，时，其速度为多大？其速度为多大？mgmM解：解：2022121JJTR2022121vvmmThmgh RhRv2,0,0200RMJ v解得
19、：解得：mMmgh22vT例例10.长为长为 l 的均质细直杆的均质细直杆OA，一端悬于，一端悬于O点铅直下点铅直下垂，如图所示。一单摆也悬于垂，如图所示。一单摆也悬于O点，摆线长也为点，摆线长也为l，摆，摆球质量为球质量为m。现将单摆拉到水平位置后由静止释放，。现将单摆拉到水平位置后由静止释放，摆球在摆球在 A 处与直杆作完全弹性碰撞后恰好静止。试处与直杆作完全弹性碰撞后恰好静止。试求：求：细直杆的质量细直杆的质量M；碰撞后细直杆摆动的最碰撞后细直杆摆动的最大角度大角度。（忽略一切阻力）。（忽略一切阻力）解解 lmlAO 按角动量守恒定律按角动量守恒定律 MMmmJJ系统的动能守恒系统的动能
20、守恒222121MMmmJJMmJJ解得解得2231Mlml系统的机械能守恒，有系统的机械能守恒，有)cos1(2lMgmgl31cos31arccos5.70例例例：一脉冲星质量为例：一脉冲星质量为1.5l030kg，半径为半径为 20km。自自旋转速为旋转速为 2.1 r/s，并且以并且以1.010-15 r/s 的变化率减慢的变化率减慢。问它的转动动能以多大的变化率减小？如果这一变化。问它的转动动能以多大的变化率减小？如果这一变化率保持不变，这个脉冲星经过多长时间就会停止自旋？率保持不变，这个脉冲星经过多长时间就会停止自旋？设脉冲星可看作匀质球设脉冲星可看作匀质球体。体。ERJkd52=
21、tddtd2dtd解：解：=1.981025 J/s=t=kEEkdtd2J2Ekdtd=1.9810251.051015 s212.41038(4.2)2=例：如图，弹簧的劲度系数为例：如图，弹簧的劲度系数为 k=2.0N/m，轮子的转动惯量为轮子的转动惯量为 0.5kg.m2，轮子轮子半径半径 r=30cm。当质量为当质量为60kg的物体落下的物体落下40cm时的速率是多大？假设开始时物体静时的速率是多大？假设开始时物体静止而弹簧无伸长。止而弹簧无伸长。gxmk2+=xr2vJ22m2609.80.4 +=2(0.4)2 600.5(0.3)2=7.18=v2.68 m/s解：由功能定理解
22、：由功能定理gxmk221+xm221vJ221=若要求加速度（角加速度）如何进行运算？若要求加速度（角加速度）如何进行运算？O3.6 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律对点：对点：一、一、对轴的角动量对轴的角动量riri miRivi Li mi对对O点的角动量为点的角动量为 LiiiiivRmLiiiivrrm)(iiLLziizLLcosiiLiiiivrm2iiirmJ对于既有刚体又有质点的系统对于既有刚体又有质点的系统ziiizvmrJL)(轴的角动量对为刚体ZJLz iiiivRmL二、角动量原理二、角动量原理质点系的角动量原理质点系的
23、角动量原理mm12f1f2F1F2dtLdMMie111dtLdMMie222.jjjijeMMMjjeMjjdtLdjjLdtddtLd00LLdtMtt为质点系的角动量原理为质点系的角动量原理等式左、右两边相加等式左、右两边相加zzttzLLdtM00iiiiJJ00二、角动量守恒二、角动量守恒 若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动，动，当当 Mz 0 时，时，Jconst.izi 2Lm2m1u例：例：设设m1与与m2作弹性碰撞，求碰后棒作弹性碰撞，求碰后棒的角速度的角速度 和小球的回和小球的回弹速度弹速度v2Lm2m1um1gNNumvmdtgmNm)
24、(:1umvmumvmdtgmN11111)()(JLNdtMdtm:2Ngm1JLvmuLm11)1(11LvmJuLm系统对轴角动量守恒：系统对轴角动量守恒：系统机械能守恒：系统机械能守恒：)2(21212121221vmJum联立方程（联立方程（1）、（）、（2）求解可得）求解可得 例例 人和转盘的转人和转盘的转J2rr10,rr12mmI01求：双臂收缩求：双臂收缩为为初始转速为初始转速为的质量的质量,m动惯量为动惯量为械能械能变为变为哑铃哑铃时的时的由由角速度及机角速度及机增量。增量。非保守内力作正功非保守内力作正功，机械能增加，机械能增加rr12mmJ01J=1()0+212mrJ
25、=21(0+)Ek22222rmJ1)10+2(2212rmJJJ=20+(1(0002111+)221J22mmrr2rm22JJ=0+)(11222(0+)2rm22mr由角动量守恒由角动量守恒J20+22)(rm2 例例 一质量为一质量为M长度为长度为L的均质细杆可的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为状态。现有一质量为m的橡皮泥以速度的橡皮泥以速度v 和和杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。起。试求：试求：1.碰撞后系统的碰撞后系统的角速度；角速度；2.碰撞后杆子能碰撞后杆子
26、能上摆的最大角度。上摆的最大角度。）Lv4mM3L 碰撞过程角动量守恒碰撞过程角动量守恒,得：得：mv34L=mMJJ)(+MM3JL2=1mm34JL2=)(mv4916LLL22=+133mML916+13mM4mvL3 上摆过程机械能守恒，得：上摆过程机械能守恒，得：J22()+1mJM=+cos)(43mgL 1=max3LL4vmMcos2(MLg1)M34916L222)(+1m4MLgg(3mm+119163M)m varc cos2JJ=1122JJ+12)(由角动量守恒得：由角动量守恒得：JJJ=+12211J21+)(1JJ222+11122(JJ12222)J=+2(J
27、JJ122)11201221JJ摩擦力矩作负功，有机械能损失。摩擦力矩作负功，有机械能损失。例例 两摩擦轮对接。若对接前两轮的角两摩擦轮对接。若对接前两轮的角12、速度速度;速度分别为速度分别为2.对接过程中的机械能损失。对接过程中的机械能损失。求：求：1.对接后共同的角对接后共同的角Ek=aAOvl0R+=()aRJmvl20cos+m+()Rl例例*：OA为一均质木棒，为一均质木棒，R为一木球，两者固定在为一木球，两者固定在一起，可绕水平的一起，可绕水平的O轴转轴转动。它们对动。它们对O轴总的转动轴总的转动惯量为惯量为J，一子弹以一子弹以角射入木球角射入木球 R，并嵌入在球心。并嵌入在球心
28、。求：子弹嵌入后，两者共同的角速度。求：子弹嵌入后，两者共同的角速度。a+()aRmvl0cosJ2+m+()Rl=例例*：在自由旋转的水平圆盘边上，站一：在自由旋转的水平圆盘边上，站一质量为质量为 m的人。圆盘的半径为，转动惯量为的人。圆盘的半径为，转动惯量为J，角速度为角速度为。如果这人由盘边走到盘心，如果这人由盘边走到盘心，求角速度的变化及此系统动能的变化。求角速度的变化及此系统动能的变化。+=J2RmJEk=Ek Ek=2RmJ21=J+J()2Rm2J22=21J+J2Rm2()2Rm解：系统角动量守恒解：系统角动量守恒+=J()2RmJ(1)21=+J()2Rm2J2(2)21=J
29、2Ek例例如图示已知：如图示已知：M=2m，h，=60求：碰撞后瞬间盘的求：碰撞后瞬间盘的 0？P 转到转到 x 轴时盘的轴时盘的=?a a?解：解：m下落：下落：mghmv 122vgh 2(1)碰撞碰撞 t 极小，对极小，对 m+盘系统，冲力远大于重力，盘系统，冲力远大于重力，故重力对故重力对O力矩可忽略，角动量守恒：力矩可忽略，角动量守恒：mvRJocos (2)JMRmRmR 122222 (3)由由(1)(2)(3)得：得：oghR 22cos (4)对对 m+M+地球系统，只有重力做功，地球系统，只有重力做功，E守恒，守恒，则则：P、x 重合时重合时EP=0。令令1mgRJJosi
30、n 12222(5)由由(3)(4)(5)得：得：ghRgR222cossin 1224 3RghR.()()60o oa a MJmgRmRgR222 求：棒从碰撞求：棒从碰撞开始到停止转动所开始到停止转动所用的时间。用的时间。例：例：质量为质量为m1,长度为长度为 l 的均匀细棒，静止平的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可的水平桌面上，它可绕端点绕端点O转动。另有一水平运动的质量为转动。另有一水平运动的质量为m2的的小滑块，它与棒的小滑块，它与棒的A端相碰撞，碰撞前后的速端相碰撞，碰撞前后的速度分别为度分别为及及m mv1v2。Amvl1v21m2O13=m1l2+=Jm vl21m v l22=+mv21mvl123()AOmvl1v21m2解：由角动量守恒得解：由角动量守恒得Jm vl21=m vl22棒上棒上dx段与桌面间的摩擦力为：段与桌面间的摩擦力为：gxmdm1=lfd=dMfdx=gxmdm1lxdx段所产生摩擦力力矩为：段所产生摩擦力力矩为：JM0=gxmdm1lxl12=gmm1l=+mv21mvl122()mt摩擦力力矩为：摩擦力力矩为：dM=gxmdm1lx由角动量原理：由角动量原理：M0=ttdMt013m1l2=)=13m1l2+mv21mvl123(.所用的时间为：所用的时间为：
