1、第四章第四章 机械振动机械振动 振动振动是自然界中最普遍的一种运动形式。物体在平衡是自然界中最普遍的一种运动形式。物体在平衡位置附近做往复的周期性运动，称为机械振动。电流、电位置附近做往复的周期性运动，称为机械振动。电流、电压、电场强度和磁场强度围绕某一平衡值做周期性变化，压、电场强度和磁场强度围绕某一平衡值做周期性变化，称为电磁振动或电磁振荡。称为电磁振动或电磁振荡。一般地说，任何一个物理量的值不断地经过极大值和一般地说，任何一个物理量的值不断地经过极大值和极小值而变化的现象，称为振动。极小值而变化的现象，称为振动。虽然各种振动的具体物理机制可能不同，但是作为振虽然各种振动的具体物理机制可能
2、不同，但是作为振动这种运动的形式，它们却具有共同的特征。动这种运动的形式，它们却具有共同的特征。本章主要讨论简谐振动和振动的合成，并简要介绍阻本章主要讨论简谐振动和振动的合成，并简要介绍阻尼振动、受迫振动和共振现象以及非线性振动。尼振动、受迫振动和共振现象以及非线性振动。简谐振动：简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移位置的位移 x（或角位移或角位移）随时间）随时间 t 按余弦（或正弦）按余弦（或正弦）规律变化的振动。规律变化的振动。0cos()xAt 简谐振动的运动学定义简谐振动的运动学定义x 可以是位移、电流、场强、温度可以是位移、电流
3、、场强、温度一、弹簧振子模型一、弹簧振子模型弹簧振子：弹簧振子：弹簧弹簧 物体系统物体系统 平衡位置：平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置弹簧处于自然状态的稳定位置轻轻弹簧弹簧 质量忽略不计，形变满足胡克定律质量忽略不计，形变满足胡克定律 物体物体 可看作质点可看作质点 简谐振动的判据简谐振动的判据kxOmxkxF 受力受力22dtxdmkx 微分方程微分方程2km 令令 2220d xxdt 单摆单摆结论：结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。单摆的小角度摆动振动是简谐振动。22glTlg 当当 时时 sin sinmglM 二、微振动的简谐近似二、微振动的简谐近似mgfTCO22dmglm
4、ldt 摆球对摆球对C点的力矩点的力矩 mglM 2gl 令令 2220ddt 角频率，振动的周期分别为：角频率，振动的周期分别为：复摆：复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体绕不过质心的水平固定轴转动的刚体结论：结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。复摆的小角度摆动振动是简谐振动。sin当当 时时 mghCO22dmghJdt 2mghJ 令令 2220ddt 22mghJTJmgh 角频率，振动的周期分别为：角频率，振动的周期分别为：例例4.1 证明竖直弹簧振子的振动是简谐振动（自学）证明竖直弹簧振子的振动是简谐振动（自学）其通解为：其通解为：一、简谐振动的运动学方程一、简谐振动的运动学方
5、程0cos()xAt 0222 xdtxd 简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程 简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程00cos()sin()2tt 20 令令 sin()xAt 二、二、描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量0cos()xAt 1 1、振幅、振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。移（或角位移）的绝对值。0sin()dxvAtdt 000vv,xx,t 若已知初始条件若已知初始条件00 cosAx 00sinvA 2200()vAx 由初始条件和系统本身情况决定由初始条件和系统本身情况决定频率频率 ：单位时间内振
6、动的次数。单位时间内振动的次数。2、周期周期、频率、圆频率频率、圆频率对弹簧振子对弹簧振子12T 角频率角频率 22T kmT 2 mk 21 mk 固有周期、固有频率、固有角频率固有周期、固有频率、固有角频率周期周期T：物体完成一次全振动所需时间。物体完成一次全振动所需时间。00cos()cos()AtAtT 2T 2、周期周期、频率、圆频率频率、圆频率对弹簧振子对弹簧振子12T 22 TkmT 2 mk 21 mk 固有周期、固有频率、固有角频率固有周期、固有频率、固有角频率 2 T单摆单摆glT 2 lg 21 lg 复摆复摆mghIT 2 Imgh 21 Imgh 0 是是 t=0 时
7、刻的位相时刻的位相 初位相初位相3、位相和初位相位相和初位相 位相，位相，决定谐振动物体的运动状态决定谐振动物体的运动状态0t 0cos()xAt 0sin()dxvAtdt 22202cos()d xaAtxdt 00cosxA 00sinvA 000tanvx 由初始条件和系统本身情况决定由初始条件和系统本身情况决定位相差位相差 两振动位相之差。两振动位相之差。12 当当=2k ,k=0,1,2,两振动步调相同两振动步调相同,称称同相同相当当 =(2k+1),k=0,1,2.两振动步调相反两振动步调相反,称称反相反相0当当 2 超前于超前于 1 或或 1 滞后于滞后于 2 位相差反映了两个
8、振动不同程度的参差错落位相差反映了两个振动不同程度的参差错落 三、简谐振动的三、简谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法 0t=0Ax t+0t=tA0cos()xAt ox旋转矢量旋转矢量 确确定定 和研究振动合成很方便和研究振动合成很方便xv0 00 x0A/202xA 00v 03 例如，已知例如，已知x参考圆参考圆(circle of reference)0AA 0t+ox tt=0 x=A cos(t+)3 则由左图则由左图给出给出用旋转矢量表示相位关系用旋转矢量表示相位关系x1A2A x1A2A x1A2A 同相同相反相反相200cos()cos()maAtat 0cos()xAt
9、00sin()cos()2mvAtvt 谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系toTa vx.avxT/4T/4)2cos(tvvmx)2cos(tA)cos(taamx)cos(2 tA由图可见：由图可见：2av 超超前前2vx 超超前前x t+o Amv ma 090090例：例：如图如图m=210-2kg，弹簧的静止形变为弹簧的静止形变为 l=9.8cm，取平衡，取平衡位置为坐标原点。位置为坐标原点。t=0时，时，x0=-9.8cm,v0=0（1）取开始振动时为计时零点，写出振动方程；取开始振动时为计时零点，写出振动方程；（2）若取）若取x0=0
10、，v00为计时零点，为计时零点，写出振动方程并计算频率。写出振动方程并计算频率。xOmx解：解：平衡位置处平衡位置处作谐振动作谐振动 设振动方程为设振动方程为0cos()xAt s/rad.lgmk10098089 mgmgk lkl 在坐标为在坐标为 x处处,受力为受力为()Fmgklxkx 例：例：如图如图m=210-2kg，弹簧的静止形变为弹簧的静止形变为 l=9.8cm，取平衡，取平衡位置为坐标原点。位置为坐标原点。t=0时，时，x0=-9.8cm,v0=0（1）取开始振动时为计时零点，写出振动方程；取开始振动时为计时零点，写出振动方程；（2）若取）若取x0=0，v00为计时零点，为计
11、时零点，写出振动方程并计算频率。写出振动方程并计算频率。xOmx10/rads 由初条件得由初条件得000()0,varctgx 2200()0.098vAxm 由由 x0=Acos 0=-0.098 0 cos 0 0 x0=Acos 0=0,cos 0=0，0=/2,3/2 v0=-A sin 0 ,sin 0 0,取取 0=3 /2对同一谐振动取不同的计时起点对同一谐振动取不同的计时起点 0不同，但不同，但、A不变不变11.622gHzl 固有频率固有频率239.810cos(10)2xt 例：例：如图所示，振动系统由一倔强系数为如图所示，振动系统由一倔强系数为k的的 轻弹簧、轻弹簧、一
12、半径为一半径为R、转动惯量为转动惯量为I的的 定滑轮和一质量为定滑轮和一质量为m的的 物物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期试证物体作简谐振动，并求其周期T.TmTmga2F moxkJR解：取位移轴解：取位移轴ox，m在平在平衡位置时，设弹簧伸长量衡位置时，设弹簧伸长量为为 l，则则0 lkmg TmTmga2F moxkJR当当m有位移有位移x时时maTmg RaJRxlkT )(联立得联立得aRJRkx 2 0222 xRJmkdtxd物体作简谐振动物体作简谐振动 22RJmk kRJmT222
13、例：例：已知某简谐振动的已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线速度与时间的关系曲线如图所如图所示，试求其振动方程。示，试求其振动方程。431.431.715.715.01)(st)(1 cmsv解：设振动方程为解：设振动方程为00sin15.7vA 0cos()xAt 00cos0 xA 31.4mAv 0015.71sin31.42vA 0566 或或000,cos0a 则则06 115.7tv 1sin()62mvvAv 711666 或或100,cos()0 x 则则766 13.14s 31.4103.14mvAcm 故振动方程为故振动方程为10 cos()6xtcm 以弹簧振子为例以
14、弹簧振子为例谐振动系统的能量谐振动系统的能量=系统的系统的动能动能Ek+系统的系统的势能势能Ep某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为位移为x0sin()vAt 0cos()xAt 212kEmv 2201sin()2kAt 212pEkx 2201cos()2kAt 谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数动动能能221mvEk)t(sinkA02221 势势能能212pEkx)t(coskA02221 情况同动能情况同动能maxmin,pppEEE0min kE2114t TkktEE dtkAT 2max21kAEk 机械能机械能221kA
15、EEEpk 简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒由起始能量求振幅由起始能量求振幅022EEAkk212EkA xtTEoEtEk(1/2)kA2Ep实际振动系统实际振动系统 系统沿系统沿x轴振动，势能函数为轴振动，势能函数为Ep(x)，势能曲线存在，势能曲线存在极小值，该位置就是系统的稳定平衡位置。极小值，该位置就是系统的稳定平衡位置。在该位置（取在该位置（取x=0）附近将势能函数作级数展开附近将势能函数作级数展开222001()(0)2ppppxxdEd EExExxdxdx 微振动系统一般可以当作谐振动处理微振动系统一般可以当作谐振动处理00pdExdx ，有有22201()(0)
16、2pppxd EExExdx ()pdExFdx 220pxd Exdx ()kx 一、同方向、同频率谐振动的合成一、同方向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动，其频率仍为合振动是简谐振动，其频率仍为 22121220102cos()AAAAA 112201122sinsintgcoscosAAAA 1110()cos()xtAt 2220()cos()xtAt 合振动合振动:1xxx 0cos()xAt 22121220102cos()AAAAA 112201122sinsintgcoscosAAAA 1110()cos()xtAt 2220()cos()xtAt 用旋转矢量法讨论用旋转矢量
17、法讨论2200()vAx 0cos()xAt 1AA1 0 20 0 2Ax2x1x x如如 A1=A2,则则 A=0,kk21021020 两分振动相互加强两分振动相互加强21AAA ,k)k(210121020 两分振动相互减弱两分振动相互减弱21AAA 讨论讨论若两分振动同相：若两分振动同相：若两分振动反相若两分振动反相:22121220102cos()AAAAA 合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动式中式中21()2cos()2A tAt 随随t 缓变缓变21cos()cos()2tt 随随t 快变快变合振动可看作振幅缓变的准简谐振动合振动可看作振幅缓变的准简谐振动二二、同方向不同频率
18、简谐振动的合成、同方向不同频率简谐振动的合成分振动分振动11cos()xAt 22cos()xAt合振动合振动11222cos()cos(2)2Atxt 12xxx当当 2 1时时,()cos()xA tt 则则：1212 拍拍 合振动忽强忽弱的现象合振动忽强忽弱的现象拍频拍频 单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数xt tx2t tx1t t21拍拍212 拍拍拍拍11222cos()cos(2)2Atxt *三、振动的频谱分析三、振动的频谱分析振动的分解：把一个振动分解为若干个简谐振动。振动的分解：把一个振动分解为若干个简谐振动。谐振分析：将任一周期性振动分解为各个谐振动之和。谐
19、振分析：将任一周期性振动分解为各个谐振动之和。若周期振动的频率为若周期振动的频率为:0则各分振动的频率为则各分振动的频率为:0、2 0、3 0(基频基频,二次谐频二次谐频,三次谐频三次谐频,),)按傅里叶级数展开按傅里叶级数展开)t(x)Tt(x 01()(cossin)2nnnax tan tbn t T 22 方波的分解方波的分解x0t0tx1t0 x3t0 x5t0 x1+x3+x5+x0222sinsin3sin5235AAAAxttt xo ot t锯齿波锯齿波A 0 03 3 0 05 5 0 0锯齿波频谱图锯齿波频谱图 一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续一个非周期性振动可分
20、解为无限多个频率连续变化的简谐振动。变化的简谐振动。xo ot t阻尼振动曲线阻尼振动曲线阻尼振动频谱图阻尼振动频谱图o o A*四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成质点合振动的质点合振动的轨迹方程：轨迹方程：222201020102212122cos()sin()xyxyA AAA 分振动分振动110cos()xAt 220cos()yAt (1)20100 212()0 xyAA 21AyxA 合振动的轨迹为通过原点且合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线在第一、第三象限内的直线12AA斜斜率率质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移讨
21、论讨论yx222212cos()SxyAAt 222201020102212122cos()sin()xyxyA AAA (2)2010 212()0 xyAA 21AyxA 合振动的轨迹为通过原点且合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线在第二、第四象限内的直线12AA 斜斜率率质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移yx222212cos()SxyAAt 222201020102212122cos()sin()xyxyA AAA (3)20102 12212 AyAx合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴轴为轴线的椭圆为轴线的椭圆110cos()xAt 质点沿椭圆的运动
22、方向是顺时针的。质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。yx110cos()2yAt 222201020102212122cos()sin()xyxyA AAA yx(4)20102 合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴轴为轴线的椭圆为轴线的椭圆110cos()xAt 质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。110cos()2yAt 222201020102212122cos()sin()xyxyA AAA =5/4 =3/2 =7/4 =0 =/2 =3/4Q =/4P .0 时，逆时针方向转动。时，逆时针方向转动。0时，顺时针方向转动。时，顺时针方向转动。*五、五
23、、垂直方向不同频率垂直方向不同频率 可看作两频率相等而可看作两频率相等而 随随t 缓慢变化，合运动轨缓慢变化，合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。迹将按上页图依次缓慢变化。yxA1A2o o-A2-A1)()(xyxyt 两分振动频率相差很小两分振动频率相差很小为整数比为整数比xymn 合成轨迹为稳定的闭合曲线合成轨迹为稳定的闭合曲线 李萨如图李萨如图xxyyxy达达到到最最大大的的次次数数达达到到最最大大的的次次数数例如右图：例如右图：32xy x y2 13 13 2 x=0：y=08 y 4 y 83 y 2 y y x0一、阻尼振动一、阻尼振动阻阻尼尼振振动动能量随时间减小的振动称阻尼振
24、动或减幅振动。能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。摩擦阻尼：摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。作用，系统的动能转化为热能。辐射阻尼：辐射阻尼：振动以波的形式向外传波，使振动能量振动以波的形式向外传波，使振动能量向周围辐射出去。向周围辐射出去。阻尼振动的振动方程阻尼振动的振动方程（系统受到弱介质阻力而衰减）（系统受到弱介质阻力而衰减）振子动力学方程振子动力学方程22dtxdmdtdxkx 振子受阻力振子受阻力dtdxvfr 022022 xdtdxdtxd 0km令令系统固有角频率系统固有角频率m2 阻尼系数阻尼系数
25、弱介质阻力是指振子运动速度较低时，介质对物弱介质阻力是指振子运动速度较低时，介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比体的阻力仅与速度的一次方成正比 阻力系数阻力系数其解分三种情形其解分三种情形t弱阻尼弱阻尼)(tx1、弱阻尼、弱阻尼 每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，周期越接近于谐振动。周期越接近于谐振动。0 )tcos(eAxt00 220 0220222 T阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的准周期阻尼振动的准周期2、临界阻尼、临界阻尼t)(tx临界阻尼临界阻尼系统不作往复运动，而是较快地系统不作往复运动，而是较快地回到平衡
26、位置并停下来回到平衡位置并停下来0 12()txcc t e 过阻尼过阻尼t)(tx3、过阻尼、过阻尼系统不作往复运动，而是非常缓系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置慢地回到平衡位置0 220220()1()2ttxc ec e 二、受迫振动二、受迫振动受迫振动受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动振动系统在周期性外力作用下的振动弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程ptcosFtddxkxtdxdm022 tpcosfxtddxtdxd 20222 令令000,2Fkfmmm 周期性外力周期性外力策动力策动力0cosFFpt
27、设设该方程的解为该方程的解为00(cos)cos()txA etApt 稳定解稳定解cos()xApt (1)频率频率:等于策动力的频率等于策动力的频率(2)振幅振幅:022222 1/20()4fApp(3)初相初相:2202pptg 特点：特点：稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化00(cos)cos()txA etApt 阻尼振动阻尼振动简谐振动简谐振动三、三、共振共振在一定条件下在一定条件下,振幅出现极大值振幅出现极大值,振动剧烈的现象。振动剧烈的现象。1、位移共振、位移共振(1)共振频率共振频率:2202 rp(2)共振振幅共振振幅:22002 f
28、Ar2、速度共振、速度共振一定条件下一定条件下,速度振幅极大的现象。速度振幅极大的现象。速度共振时，速度与速度共振时，速度与策动力同相，一周期策动力同相，一周期内策动力总作正功，内策动力总作正功，此时向系统输入的能此时向系统输入的能量最大。量最大。0vp 20fvmr sin()vpApt 0222220()4mpfvpApp 不能用线性微分方程描述的振动称为非线性振动。不能用线性微分方程描述的振动称为非线性振动。1、内在的非线性因素、内在的非线性因素发生非线性振动的原因：发生非线性振动的原因：振动系统内部出现非线性回复力振动系统内部出现非线性回复力振动系统的参量不能保持常数，振动系统的参量不
29、能保持常数，如漏摆、荡秋千。如漏摆、荡秋千。一、非线性振动概述一、非线性振动概述单摆（或复摆）单摆（或复摆）的回复力矩的回复力矩)!(mglM 5353 自激振动自激振动 2、外在的非线性影响、外在的非线性影响非线性阻尼的影响非线性阻尼的影响策动力为位移或速度的非线性函数策动力为位移或速度的非线性函数如如33221vkvkvkfr 如如)v,v,v,x,x,x(FF3232 线性振动与非线性振动的最大区别：线性振动与非线性振动的最大区别：线性振动满足叠加原理线性振动满足叠加原理非线性振动不满足叠加原理非线性振动不满足叠加原理近似简化、图解、计算机处理近似简化、图解、计算机处理研究方法：研究方法
30、：微扰法微扰法二、非线性振动研究的方法及意义二、非线性振动研究的方法及意义相平面法相平面法7.4 非谐振动的傅氏分解非谐振动的傅氏分解 频谱频谱任何一个周期性复杂振动都可分解为一系列任何一个周期性复杂振动都可分解为一系列 谐振动的叠加谐振动的叠加例如例如:方波：方波：（基频为（基频为v0）由傅里叶理论，有由傅里叶理论，有x(t)tttt00010sin546sin342sin4)(x结论：结论：1.1.方波可分解为方波可分解为 v0，3 v0，5 v0 等等 谐振动的叠加。谐振动的叠加。2.2.谐频次数越高的项振幅越小。谐频次数越高的项振幅越小。Avv03v0 5v0方波频谱图方波频谱图7v0
31、OO方方波波的的分分解解图图v03v05v0（基频为（基频为v0）x1+x3+x5方方 波波OOOOO北京大钟寺内的巨钟的频谱图北京大钟寺内的巨钟的频谱图0100200300400500v(Hz)7.5 两个自由度系统自由振动简介两个自由度系统自由振动简介一一.多自由度振动系统多自由度振动系统(三自由度振动系统三自由度振动系统)二二.两自由度振动系统两自由度振动系统两摆的运动微分方程为两摆的运动微分方程为)(212112kamglml)cos(11tA)(212222kamglml)cos(22tA其特解为其特解为（1）（2）(二自由度振动系统二自由度振动系统)由由(1)、(2)两式决定的特解
32、表示两摆以相同的频率两式决定的特解表示两摆以相同的频率 作作简谐振动的情况，振幅分别为简谐振动的情况，振幅分别为A1、A2。将特解代入微分方程，可求出振幅比和频率：将特解代入微分方程，可求出振幅比和频率：221222)(AkaAkamglml122222)(AkaAkamglml2222222221kakamglmlkamglmlkaAA)(2222kamglmlka2222mlkalg 1、2分别为第一和第二简正分别为第一和第二简正频率频率lg112221221kamglmlkaAA12222221kamglmlkaAA)cos()cos(2221111tAtA结论：结论：(1)当两摆以相同的频率当两摆以相同的频率 1振动时，振振动时，振幅相等、相位相同，如图所示。幅相等、相位相同，如图所示。(2)当两摆以相同的频率当两摆以相同的频率 2 振动时，振振动时，振幅相等、相位相反，如图所示。幅相等、相位相反，如图所示。)cos()cos(2221112tAtA(3)一般情况下耦合摆的运动是两简谐振动的叠加，即一般情况下耦合摆的运动是两简谐振动的叠加，即
