1、第第 2 节节 函数的单调性与最函数的单调性与最大大(小小)值值 最新考纲 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函 数的图像分析函数的性质. 知 识 梳 理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 在函数 yf(x)的定义域内的一个区间 A 上，如果对于任意两数 x1，x2A 当 x10)在公共定义域内与 yf(x)，y 1 f（x）的单调性相反. 2.“对勾函数”yxa x(a0)的单调增区间为(， a)，( a，)；单调减 区间是 a，0)，(0， a. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)对于函数 f(x
2、)，xD，若对任意 x1，x2D，且 x1x2有(x1x2)f(x1)f(x2)0， 则函数 f(x)在区间 D 上是增函数.( ) (2)函数 y1 x的单调递减区间是(，0)(0，).( ) (3)对于函数 yf(x)，若 f(1)f(1) B. f(m)0，所以 m1，所以 f(m)f(1). 答案 A 6.(2017 全国卷)函数 f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是( ) A.(，2) B.(，1) C.(1，) D.(4，) 解析 由 x22x80，得 x4 或 x0)， 易知 tx2ax3a 在 ，a 2 上单调递减， 在 a 2， 上单调递增. ylog1 2(x 2ax
3、3a)在区间(2，)上是减函数， tx2ax3a 在(2，)上是增函数，且在(2，)上 t0， 2a 2，且 42a3a0，a4，4. 答案 D (2)判断并证明函数 f(x)ax21 x(其中 10，即 f(x2)f(x1)， 故当 a(1，3)时，f(x)在1，2上单调递增. 规律方法 1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如 例 1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达， 且图像不连续的单调区间要用 “和” “， ”连接. 2.(1)函数单调性的判断方法有：定义法；图像法；利用已知函数的单调性； 导数法. (2)函数 yfg(x)的单调性应根据外层函数 y
4、f(t)和内层函数 tg(x)的单调性判 断，遵循“同增异减”的原则. 【训练 1】 (一题多解)试讨论函数 f(x) ax x1(a0)在(1，1)上的单调性. 解 法一 设10，即 f(x1)f(x2)，函数 f(x)在(1，1)上单调递减； 当 a0，且 a1)在1，2上的最大值与最小值 之和为 loga26，则 a 的值为( ) A.1 2 B.1 4 C.2 D.4 (2)已知函数 f(x) x2 x3，x1， lg(x21)，x0，所以 a2. (2)f(3)lg(3)21lg 101， ff(3)f(1)0， 当 x1 时，f(x)x2 x32 23，当且仅当 x 2时，取等号，
5、此时 f(x)min 2 231 时，f(x2)f(x1) (x2x1)ab B.cba C.acb D.bac 解析 由于函数 f(x)的图像向左平移 1 个单位后得到的图像关于 y 轴对称，故函 数 yf(x)的图像关于直线 x1 对称， 所以 af 1 2 f 5 2 . 当 x2x11 时，f(x2)f(x1)(x2x1)ac. 答案 D 角度 2 求解函数不等式 【例 32】 (2018 全国卷)设函数 f(x) 2 x，x0， 1，x0. 则满足 f(x1)0， 所以 yf(x)在(，)上是增函数. 所以 2a0， a1， (2a)11a， 解得3 2a220.8，且 yf(x)在
6、 R 上是增函数，所以 abc. (2)因为 f(x)x22ax(xa)2a2在1，2上为减函数，所以由其图像得 a1，g(x) a x1， g(x) a （x1）2， 要使 g(x)在1，2上为减函数，需 g(x)0， a1， 即 a1. 答案 1，) 8.(一题多解)(2019 成都诊断)对于任意实数 a，b，定义 mina，b a，ab， b，ab. 设 函数 f(x)x3，g(x)log2x，则函数 h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_. 解析 法一 在同一坐标系中， 作函数 f(x)，g(x)图像， 依题意，h(x)的图像如图所示的实线部分. 易知点 A(2，1)为图像的最高
7、点， 因此 h(x)的最大值为 h(2)1. 法二 依题意，h(x) log 2x，02. 当 02 时，h(x)3x 是减函数， 因此 h(x)在 x2 时取得最大值 h(2)1. 答案 1 三、解答题 9.已知函数 f(x)1 a 1 x(a0，x0). (1)求证：f(x)在(0，)上是增函数； (2)若 f(x)在 1 2，2 上的值域是 1 2，2 ，求 a 的值. (1)证明 设 x2x10，则 x2x10，x1x20， f(x2)f(x1) 1 a 1 x2 1 a 1 x1 1 x1 1 x2 x2x1 x1x2 0，f(x2)f(x1)， f(x)在(0，)上是增函数. (2
8、)解 f(x)在 1 2，2 上的值域是 1 2，2 ， 又由(1)得 f(x)在 1 2，2 上是单调增函数， f 1 2 1 2，f(2)2，易得 a 2 5. 10.函数 f(x)loga(1x)loga(x3)(00，得30； 当 a0 时，g(x)x 在区间(1，)上为增函数，此时，g(x)ming(1)1： 当 00， 此时 g(x)ming(1)1a； 综上，g(x)在区间(1，)上单调递增. 答案 D 13.已知 f(x) x 24x3，x0， x22x3，xf(2ax)在a，a1上恒成立， 则实数 a 的取值范围是_. 解析 二次函数 y1x24x3 的对称轴是 x2，所以该函数在(，0上单调 递减，所以 x24x33，同样可知函数 y2x22x3 在(0，)上单调递 减，所以x22x3f(2ax)得到 xa0. f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2). f(x)在 R 上单调递增. (3)f(x)是奇函数，f(x)f(x)， 即 a 2 2 x1a 2 2x1， 解得 a1(或用 f(0)0 去解). f(ax)f(2)即为 f(x)f(2)， 又f(x)在 R 上单调递增，x2. x 的取值范围是(，2).
