1、第第 4 节节 二次函数性质的再研究与幂函数二次函数性质的再研究与幂函数 最新考纲 1.理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的 关系解决简单问题；2.了解幂函数的概念；结合函数 yx，yx2，yx3，yx 1 2， y1 x的图像，了解它们的变化情况. 知 识 梳 理 1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)ax2bxc(a0). 顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为 f(x)的零点. (2)二次函数的图像和性质 函数 yax2bxc(a0) yax2bxc(a0
2、 时，幂函数的图像都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增； 当 0， 0，当 ab. 答案 A 5.(2019 衡水中学月考)若存在非零的实数 a，使得 f(x)f(ax)对定义域上任意的 x 恒成立，则函数 f(x)可能是( ) A.f(x)x22x1 B.f(x)x21 C.f(x)2x D.f(x)2x1 解析 由存在非零的实数 a，使得 f(x)f(ax)对定义域上任意的 x 恒成立，可得 函数图像的对称轴为 xa 20.只有选项 A 中，f(x)x 22x1 关于 x1 对称. 答案 A 6.(2018 渭南月考)幂函数 f(x)(m24m4) xm 26m8 在(0，
3、)上为增函数，则 m 的值为_. 解析 由题意知 m 24m41， m26m80， 解得 m1. 答案 1 考点一 幂函数的图像和性质 【例 1】 (1)幂函数 yf(x)的图像过点(4， 2)， 则幂函数 yf(x)的大致图像是( ) (2)若 a 1 2 2 3，b 1 5 2 3，c 1 2 1 3，则 a，b，c 的大小关系是( ) A.a0)，已知 f(m)0 D.f(m1)0，所以 f(x)的大致图像如图所示. 由 f(m)f(0)0. 答案 (1)A (2)C 规律方法 1.研究二次函数图像应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中 有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对
4、称的两个点，常取与 x 轴的 交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向. 2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图像特征，分析不等关 系成立的条件. 【训练 3】 一次函数 yaxb 与二次函数 yax2bxc 在同一坐标系中的图像 大致是( ) 解析 A 中，由一次函数 yaxb 的图像可得 a0，此时二次函数 yax2bx c 的图像应该开口向上，A 错误； B 中，由一次函数 yaxb 的图像可得 a0，b0，此时二次函数 yax2bxc 的图像应该开口向上，对称轴 x b 2a0， b 2a1， f（1）ab10， 解得 a1， b2. 所以 f(
5、x)x22x1， 由 f(x)(x1)2知，函数 f(x)的单调递增区间为1，)， 单调递减区间为(，1. (2)由题意知，x22x1xk 在区间3，1上恒成立，即 k0 时， b 2a0b0，y2axb 的图像可能是 C； 当 a0. 故 a4b2 4ab2， 当且仅当 a4b，即 a1，b1 4时等号成立. 所以 a4b 的取值范围是2，). 答案 2，) 8.已知二次函数 f(x)满足 f(2x)f(2x)， 且 f(x)在0， 2上是增函数， 若 f(a)f(0)， 则实数 a 的取值范围是_. 解析 由题意可知函数 f(x)的图像开口向下，对称轴为 x2(如图)，若 f(a)f(0)
6、， 从图像观察可知 0a4. 答案 0，4 三、解答题 9.已知奇函数 yf(x)定义域是 R，当 x0 时，f(x)x(1x). (1)求出函数 yf(x)的解析式； (2)写出函数 yf(x)的单调递增区间.(不用证明，只需直接写出递增区间即可) 解 (1)当 x0， 所以 f(x)x(1x). 又因为 yf(x)是奇函数， 所以 f(x)f(x)x(1x). 综上 f(x) x（1x），x0， x（1x），x0)，当1x1 时，|f(x)|1 恒成立，则 f 2 3 _. 解析 当 x1，1时，|f(x)|1 恒成立. |f（0）|1|n|11n1； |f（1）|1|2n|13n1， 因
7、此 n1，f(0)1，f(1)1. 由 f(x)的图像可知：要满足题意，则图像的对称轴为直线 x0， 2m0，m2， f(x)2x21，f 2 3 1 9. 答案 1 9 14.已知二次函数 f(x)满足 f(x1)f(x)2x，且 f(0)1. (1)求 f(x)的解析式； (2)当 x1，1时，函数 yf(x)的图像恒在函数 y2xm 的图像的上方，求实 数 m 的取值范围. 解 (1)设 f(x)ax2bx1(a0)， 则 f(x1)f(x)2x，得 2axab2x. 所以，2a2 且 ab0，解得 a1，b1， 又 f(0)1，所以 c1. 因此 f(x)的解析式为 f(x)x2x1. (2)因为当 x1，1时，yf(x)的图像恒在 y2xm 的图像上方， 所以在1，1上，x2x12xm 恒成立； 即 x23x1m 在区间1，1上恒成立. 所以令 g(x)x23x1 x3 2 2 5 4， 因为 g(x)在1，1上的最小值为 g(1)1， 所以 m1.故实数 m 的取值范围为(，1).
